2025.2026學(xué)年山東省臨沂市蘭山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.漢字是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要載體，在幾千年的發(fā)展演變過(guò)程中，篆體是其發(fā)展中的重要階段.在下列

篆體文字中，可以看作軸對(duì)稱圖形的是（）

3.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小華想用鉛筆支起一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法

來(lái)幽定這個(gè)平衡點(diǎn)的位置，其中做法正確的是（）

A.畫出三角形薄板的三條中線，取其交點(diǎn)

B.畫出三角形薄板的三條高線，取其交點(diǎn)

C.畫出三角形薄板的三條角平分線，取其交點(diǎn)

D.畫出三角形薄板三邊的垂直平分線，取其交點(diǎn)

4.2025年9月3日，我國(guó)隆重舉行紀(jì)念中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)暨世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)勝利80周年閱兵式，多種

自主研發(fā)新型裝備首次亮相.如圖,以重型殲-20戰(zhàn)斗機(jī)E所在的直線為x軸、過(guò)點(diǎn)4日垂直千。E的百

線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系/Oy.若中型殲-35A戰(zhàn)斗機(jī)所在位置為點(diǎn)8（孫〃），殲-16。電子戰(zhàn)飛機(jī)所

在位置。與點(diǎn)8到x軸的距離相等，到y(tǒng)軸的距離也相等，則殲-16。電子戰(zhàn)斗機(jī)所在位置。的坐標(biāo)為

()

y

A

B??C

DOEx

A.(m,n)B.(-m,-n)C.(m,-n)D.(-〃?,〃)

5.下列條件不能確定是直角三角形的是（）

A.”=90°-ZCB.乙4+48="

C.z./4=2z^=3zCD.Z.A：Z.B：Z.C=I：2：3

6.如圖，在△48。中，點(diǎn)力，E,/分別是AC,BD,AE的中點(diǎn)，若陰影部分

的面積為4,則△ABC的面積是（）

A.32

B.36

C.28

D.3()

7.如圖，為了估計(jì)池塘兩岸A,3間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)P,測(cè)得

24=19米，P8=10米，那么人，8間的距離不可能是（）

A.11米

B.15.8米

C.26米

D.30.5米

8.如圖是某海域內(nèi)三處觀測(cè)站4,C,￡的分布圖，經(jīng)測(cè)量可得C處在A處的A

南偏西40。方向，在A處向南偏東25°方向可觀測(cè)到E處，而E處在。處的

北

北偏東80°方向，則在E處觀測(cè)A處和C處的視線夾角乙4EC為（）

南

A.60°

B.70°C

C.75°

D.80°

9.如圖，△ABC中，外角乙MAC,乙4CN的角平分線4。，C。交于點(diǎn)

。，點(diǎn)P在8N上，乙班。+乙。？8=180°,過(guò)點(diǎn)。作。E14B,垂足為

E,連接B。，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.8。平分乙48c

政。。平分〃。/5

C.BP-2AE=AB

D.MDAB：S7)B(尸AB：BC

10.如圖，在△回（7中，〃8C=45°,過(guò)點(diǎn)C作CQL4B于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作

BML4C于點(diǎn)M,連接MO,過(guò)點(diǎn)。作。M_LOM交于點(diǎn)N.C。與相交于

點(diǎn)E,若點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）

①AD二DE；

②DM二DN；

③44"。二45。；

@EM：MC：NE=\：2：3.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.如圖所示，AB=AD,Z1=Z2,在不改變圖形的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使

△ABgXAOE、則需添加的條件是一

12.如圖是蠟燭的平面鏡成像示意圖，以桌面所在直線為x軸，鏡面所在直線為白，軸建立平面直角坐標(biāo)系,

若火焰頂部P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,1.5）,則對(duì)應(yīng)虛像火焰頂部。點(diǎn)的坐標(biāo)是—.

13.在△八〃C中，AB-3,。。邊上的中線人力-4,則邊人C的取值范圍是—.

14.某班開(kāi)展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示的作圖痕跡如下，其中，射線。。為

乙404的平分線的有—.

①④

15.如圖，在乙40B的邊。4,0B上取點(diǎn)M,N,連接MN,MP平分乙4MMNP

平分乙MNB,若MN=2,的面積是4,△0MN的面積是6,則0M+0N的

長(zhǎng)是.

0

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A3C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-3,1),B(-5,-2),C(-2,-4).

(1)畫出△48C關(guān)于y軸對(duì)稱的△AdiG，寫出點(diǎn)Bi的坐標(biāo)；

(2)求出△A8C的面積；

(3)在〉，柚上找一點(diǎn)P,使產(chǎn)人+PC最小，并寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

17.（本小題8分）

風(fēng)箏又稱紙魚(yú)，是中國(guó)民間傳統(tǒng)工藝美術(shù)品的杰出代表，由骨架、蒙面、提線和尾巴等部分構(gòu)成.如圖所

示,風(fēng)箏的兩側(cè)骨架底部骨架8c=3。，點(diǎn)E在四的延長(zhǎng)線上.求證：乙CBE=^DBE.

18.（本小題8分）

如圖所示，△ABC是等邊三角形，。點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)8c到E,使CE=CD

（I）求NE的度數(shù)？

（2）用尺規(guī)作圖的方法，過(guò)。點(diǎn)作。M_L8E,垂足為M.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）求證：BM=EM.

19.（木小題8分）

如圖，在△ABC中，484c=130°,AB的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)E,F,AC的垂直平分線分別交

AC,BC于點(diǎn)M,N,直線EHMN交于點(diǎn)P.

（1）求/E4N的度數(shù)；

（2）求證：點(diǎn)P在線段8c的垂直平分線E

20.（本小題10分）

如圖，在△ABC中，。為△ABC外一點(diǎn)，AC平分484。，CEL4B于點(diǎn)E,乙B+乙4。。=180°.

（1）求證：BC=CD；

（2）若乙4c8=90°,連接C。，人8=8,BE=2,乙A4Q=30°,求AQ的長(zhǎng).

21.（本小題10分）

【材料閱讀】

己知直線/同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A,B,要在/上確定一個(gè)點(diǎn)C,使得AC+CB最短.小明的做法如卜.：作4關(guān)于直

線〕的對(duì)稱點(diǎn)A',根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)于/上任意一點(diǎn)C,都有AC=AC,因此連接A，8與直線/的交點(diǎn)

（1）上述材料中小明判斷AC+BC最短的依據(jù)是；

【知識(shí)應(yīng)用】

（2）如圖2,有兩條河AO和BO在村莊。處交匯，它們的夾角乙4OB=30°,距離村莊500米處有一個(gè)種

植園P，現(xiàn)計(jì)劃建立兼具灌溉排水功能的環(huán)形水渠，P-M-N-P,則水渠總長(zhǎng)度最短為米；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖4,在△A8C中，AC=6,8C=8,人8=10,乙4c8=90°,人。平分48人。，M,N分別是人Q,AC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，求CM+MN的最小值.

22.（本小題11分）

【問(wèn)題背景】

半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等手較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等.通過(guò)翻折、旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)

補(bǔ)短等方法，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，從而構(gòu)建模型，解決問(wèn)題.

如圖1,在四邊形A4CO中，AB=AD,4氏4及=120°,AB=AADC=9（）°,點(diǎn)￡F分別是AC,CQ上的

點(diǎn)，月/￡4尸=60°,連接E6探究線段BE,EF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）探究發(fā)現(xiàn)：小雨同學(xué)的方法是延長(zhǎng)尸D到點(diǎn)G.使OG=B￡連結(jié)AG,先證明△ABE也△AOG,再證明

且△AGF,從而得出結(jié)論：_:

（2）拓展延伸：如圖2,在四邊形A8CO中，AB^AD,^+zD=180°,E,尸分別是邊BC,CO上的點(diǎn)，

旦-E.U\^13AD,請(qǐng)問(wèn)（I）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

23.（本小題12分）

【數(shù)學(xué)建模】

某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知：在△A8C中，

zRAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,直線/、CE1直線入垂足分別為點(diǎn)O,E.

B

A

圖2圖3

(1)請(qǐng)直接寫出DE,BO和CE之間的關(guān)系

【變式探究】

(2)小麗認(rèn)為當(dāng)△/WC不是直角三角形時(shí)，上述結(jié)論仍然成立.如圖2,在△ABC中，AB=AC,D,A,E

三點(diǎn)都在直線/上，并且有匕BD4=〃EC=/8AC,可得。E=8D+C￡你同意小麗的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)小華認(rèn)為上述結(jié)論可以用來(lái)解決等功三角形中的問(wèn)題.如圖3,AAB/和aAC/均為等功三角形，點(diǎn)

D,A,E是同一直線/上不重合的三點(diǎn)，乙BDA二乙AECSAC,請(qǐng)說(shuō)明△￡)￡尸為等腰三角形.

1.【答案】A

2.【答案】4

3.【答案】4

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】AC=AE

12」答案】(-3,1.5)

13.【答案】5VAeVII

14?【答案】①②③④

15.【答案】5

?,1

16.【答案】(1)如圖，即為所求，點(diǎn)與的坐標(biāo)(5,-2)(2)ZVIBC的面積二.；；

17.【答案】證明：在△4BC和中,

(AC-AD

\DCBD,

IAH-Alf

'./\ABC^AABD(S55),

.?.乙IBC=乙48。，

???點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，

.?.”BC+4C8E=180°,zABD+^DBE=]SO°,

:.乙CBE=^DBE.

18.【答案】(1)解：???△48。是等邊三角形,

.-.rACB=ZABC=6O°,

又CD=CE,乙4C8為△OC￡的外角，

.-.zE=zCDE=30°；

（2）如右圖所示:

（3）證明：???△A8C是等邊三角形，。是AC中點(diǎn)，

：.Z.DBC=Z-ABD=30°,XzE=30°,

:.乙DBC=￡E,

'.BD=ED,

又DM1BE,

19.【答案】（1）80°（2）連接RA、PB、PC,

???￡P(guān)是A8的垂直平分線，MP是AC的垂直平分線，

:.PB=PA,PC=PA,

:TB=PC,

.?.點(diǎn)P在線段8c的垂直平分線上

20.【答案】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。作CELAO丁點(diǎn)尸,

???48+〃。。=180°,zCDF+zL4DC=180t,,

.?.乙B=^CDF,

???AC平分Z8/I。，CELAB,CF1AD,

:CF=CE,LCFD=LCEB=W,

在△CFQ和△CE8中，

￡CDF-ZB

<"http://)

,CF=C￡

:?△CFDeXCEB(AAS),

：.BC=CD(2)4

21.【答案】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短500(3)CM+MN的最小值為?

<>

22.1答案IEF=BE+FD(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:

如圖2中，延長(zhǎng)CB至M,使8M=。凡連接AM.

圖2

???UBC+乙止180°,Z.1+Z