一、從生活場景到數(shù)學(xué)模型：理解“兩端都栽”的本質(zhì)演講人CONTENTS從生活場景到數(shù)學(xué)模型：理解“兩端都栽”的本質(zhì)從具體到抽象：構(gòu)建“兩端都栽”的解題步驟從單一到綜合：典型例題與易錯點(diǎn)分析從知識到能力：鞏固練習(xí)與思維提升總結(jié)與升華：“兩端都栽”的核心思想目錄2025小學(xué)五年級數(shù)學(xué)上冊兩端都栽解題步驟課件各位老師、同學(xué)們，今天我們要共同探究的是五年級數(shù)學(xué)上冊“植樹問題”中最基礎(chǔ)也最典型的一類——兩端都栽的解題步驟。作為一名有十年小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，我深知這類問題既是“間隔問題”的入門鑰匙，也是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思維的重要載體。接下來，我將結(jié)合教材要求、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)以及教學(xué)實(shí)踐中的常見問題，系統(tǒng)梳理這一問題的解題邏輯與操作步驟。01從生活場景到數(shù)學(xué)模型：理解“兩端都栽”的本質(zhì)1生活中的“兩端都栽”現(xiàn)象在正式講解解題步驟前，我們先回到生活場景中尋找原型。還記得上周學(xué)校組織的“綠化校園”活動嗎？同學(xué)們在教學(xué)樓前的小路旁植樹，王小明同學(xué)問：“老師，這條小路長20米，如果每隔5米栽一棵樹，需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？”這個問題看似簡單，卻隱含了“兩端都栽”的典型特征——起點(diǎn)和終點(diǎn)各有一棵。類似的場景還有：道路兩旁的路燈、小區(qū)門口的廣告牌、操場邊的彩旗……這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是“首尾都有物體”，數(shù)學(xué)上我們將其抽象為“兩端都栽”的模型。2與其他植樹問題的區(qū)分要準(zhǔn)確掌握“兩端都栽”的解題方法，首先需要明確它與“一端栽一端不栽”“兩端都不栽”的區(qū)別。通過表格對比（見表1），我們能更直觀地理解三者的差異：|類型|特征描述|典型場景|關(guān)鍵區(qū)別||--------------|---------------------------|------------------------|------------------------||兩端都栽|起點(diǎn)和終點(diǎn)都有物體|小路植樹、路燈安裝|首尾必須有物體||一端栽一端不栽|起點(diǎn)或終點(diǎn)僅有一個物體|圓形花壇邊緣、一端有墻|首尾僅有一個物體|2與其他植樹問題的區(qū)分|兩端都不栽|起點(diǎn)和終點(diǎn)都沒有物體|兩座樓之間植樹|首尾均無物體|通過觀察生活場景并對比類型，我們可以總結(jié)：“兩端都栽”的核心是“首尾必有”，這是后續(xù)推導(dǎo)公式的關(guān)鍵前提。02從具體到抽象：構(gòu)建“兩端都栽”的解題步驟1步驟一：明確已知條件與所求問題任何數(shù)學(xué)問題的解決都需要先“讀題”，但這里的“讀題”不是簡單地認(rèn)字，而是要提取關(guān)鍵信息。以王小明的問題為例：“小路長20米，每隔5米栽一棵樹，兩端都栽，需要多少棵樹苗？”我們需要提取的信息包括：總長度（總長）：20米間隔距離（間距）：5米1步驟一：明確已知條件與所求問題栽樹要求：兩端都栽所求問題：樹苗數(shù)量（棵數(shù)）教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生容易忽略“兩端都栽”這一關(guān)鍵條件，直接用“總長÷間距”得出答案，這是典型的“信息遺漏”錯誤。因此，第一步的核心是圈畫關(guān)鍵條件，確保對問題要求的準(zhǔn)確把握。2步驟二：計(jì)算間隔數(shù)間隔數(shù)是連接總長與棵數(shù)的橋梁。間隔數(shù)指的是“相鄰兩個物體之間的間隔數(shù)量”，計(jì)算公式為：間隔數(shù)=總長÷間距以王小明的問題為例：間隔數(shù)=20米÷5米=4（個）這里需要注意單位的統(tǒng)一，若題目中出現(xiàn)“總長是300分米，間距是5米”，需先將單位統(tǒng)一為“米”（300分米=30米），再計(jì)算間隔數(shù)（30÷5=6個）。教學(xué)中我曾遇到學(xué)生因單位不統(tǒng)一導(dǎo)致錯誤的情況，因此特別強(qiáng)調(diào)“單位一致性”是計(jì)算間隔數(shù)的前提。3步驟三：推導(dǎo)棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系“兩端都栽”時，棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系是解題的核心。我們可以通過“畫圖法”或“列舉法”直觀推導(dǎo)：3步驟三：推導(dǎo)棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系3.1畫圖法驗(yàn)證假設(shè)總長10米，間距5米，兩端都栽：起點(diǎn)（0米）栽第1棵3步驟三：推導(dǎo)棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系5米處栽第2棵終點(diǎn)（10米）栽第3棵此時，間隔數(shù)=10÷5=2（個），棵數(shù)=3棵，關(guān)系為：棵數(shù)=間隔數(shù)+13步驟三：推導(dǎo)棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系3.2列舉法歸納通過不同長度的例子驗(yàn)證（見表2）：|總長（米）|間距（米）|間隔數(shù)（個）|棵數(shù)（棵）|棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系||------------|------------|--------------|------------|---------------------||5|5|1|2|2=1+1||10|5|2|3|3=2+1||15|5|3|4|4=3+1||20|5|4|5|5=4+1|3步驟三：推導(dǎo)棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系3.2列舉法歸納通過歸納可以得出：兩端都栽時，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。這一公式的推導(dǎo)過程需要學(xué)生親自動手畫圖或列舉，避免死記硬背。我在教學(xué)中常讓學(xué)生用草稿紙畫出不同長度的線段，標(biāo)注間隔和棵數(shù)，通過直觀操作理解“為什么加1”——因?yàn)槠瘘c(diǎn)和終點(diǎn)各多了一棵樹，相當(dāng)于在間隔數(shù)的基礎(chǔ)上“首尾各補(bǔ)1棵”。4步驟四：代入公式計(jì)算并驗(yàn)證明確公式后，即可代入已知條件計(jì)算。仍以王小明的問題為例：間隔數(shù)=20÷5=4（個）棵數(shù)=4+1=5（棵）計(jì)算完成后，需要驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際。例如，若小路長20米，每隔5米栽一棵，從0米開始，栽樹位置應(yīng)為0米、5米、10米、15米、20米，共5個點(diǎn)，對應(yīng)5棵樹，與計(jì)算結(jié)果一致，說明答案正確。03從單一到綜合：典型例題與易錯點(diǎn)分析1基礎(chǔ)例題示范驗(yàn)證：栽樹位置為0米、6米、12米、18米、24米、30米、36米，共7棵，正確。例題1：一條公路長36米，在公路一側(cè)每隔6米栽一棵楊樹，兩端都栽，需要多少棵楊樹？解題步驟：提取信息：總長=36米，間距=6米，兩端都栽，求棵數(shù)。計(jì)算間隔數(shù)：36÷6=6（個）計(jì)算棵數(shù)：6+1=7（棵）0304050601022變式例題拓展例題2：學(xué)校教學(xué)樓前有一條長50米的走廊，計(jì)劃在走廊兩側(cè)每隔5米放一盆綠蘿（兩端都放），一共需要多少盆綠蘿？解題步驟：提取信息：總長=50米，間距=5米，兩端都放，兩側(cè)都放，求總盆數(shù)。計(jì)算單側(cè)間隔數(shù)：50÷5=10（個）計(jì)算單側(cè)盆數(shù)：10+1=11（盆）計(jì)算兩側(cè)總盆數(shù)：11×2=22（盆）驗(yàn)證：單側(cè)位置為0米、5米……50米，共11盆；兩側(cè)共22盆，正確。3常見易錯點(diǎn)總結(jié)通過多年教學(xué)觀察，學(xué)生在“兩端都栽”問題中易犯以下錯誤，需重點(diǎn)提醒：3常見易錯點(diǎn)總結(jié)3.1混淆“間隔數(shù)”與“棵數(shù)”的關(guān)系糾正方法：通過畫圖法直觀展示間隔與棵數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，強(qiáng)調(diào)“兩端都栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)多1”。例：總長10米，間距5米，錯誤答案為2棵（正確應(yīng)為3棵）。錯誤表現(xiàn)：直接用“總長÷間距”作為棵數(shù)，忽略“+1”。CBA3常見易錯點(diǎn)總結(jié)3.2忽略“兩側(cè)”或“多段”的情況錯誤表現(xiàn)：題目要求“兩側(cè)栽樹”時，僅計(jì)算單側(cè)數(shù)量。糾正方法：讀題時圈畫“兩側(cè)”“兩邊”等關(guān)鍵詞，明確問題范圍。例：例題2中，錯誤答案為11盆（正確應(yīng)為22盆）。3常見易錯點(diǎn)總結(jié)3.3單位不統(tǒng)一導(dǎo)致計(jì)算錯誤錯誤表現(xiàn)：總長單位為“分米”，間距單位為“米”時，直接相除。01例：總長30分米（3米），間距1米，錯誤計(jì)算間隔數(shù)=30÷1=30（個）（正確應(yīng)為3÷1=3個）。02糾正方法：建立“單位統(tǒng)一”的意識，計(jì)算前先轉(zhuǎn)換單位（如1米=10分米）。0304從知識到能力：鞏固練習(xí)與思維提升1基礎(chǔ)鞏固題一條直路長25米，每隔5米種一棵柳樹（兩端都種），需要多少棵柳樹？小區(qū)門口的人行道長48米，計(jì)劃每隔8米安裝一盞路燈（兩端都安裝），需要安裝多少盞路燈？2綜合拓展題學(xué)校環(huán)形跑道（非封閉）長100米，在跑道一側(cè)每隔10米插一面彩旗（兩端都插），需要多少面彩旗？若在跑道兩側(cè)插旗，共需要多少面？工人叔叔要在一條長60米的管道兩側(cè)安裝檢修口（兩端都安裝），每隔12米安裝一個，一共需要多少個檢修口？3思維挑戰(zhàn)題王爺爺在一條長30米的籬笆旁種花，已知他從起點(diǎn)開始，每隔3米種一株月季花（兩端都種），同時在每兩株月季花之間種2株菊花。王爺爺一共種了多少株花？（提示：先算月季花數(shù)量，再算菊花數(shù)量，最后求和。）05總結(jié)與升華：“兩端都栽”的核心思想總結(jié)與升華：“兩端都栽”的核心思想回顧今天的學(xué)習(xí)，我們從生活場景出發(fā)，通過“明確條件—計(jì)算間隔數(shù)—推導(dǎo)棵數(shù)—驗(yàn)證結(jié)果”四步，掌握了“兩端都栽”問題的解題方法。其核心公式“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的本質(zhì)是：在首尾都有物體的情況下，物體數(shù)量比間隔數(shù)量多1。這一模型不僅適用于植樹問題，還能解決路燈安裝、廣告牌設(shè)置、樓梯臺階計(jì)數(shù)等多種實(shí)際問題。作為教師，我希望同學(xué)們不僅記住公式，更要理解“間隔”與“物體”的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)會用畫圖、列舉等方法驗(yàn)證結(jié)論。數(shù)學(xué)的魅力在