專(zhuān)題08解析幾何（選填題）目錄第一部分題型解碼微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例剖析目錄第一部分題型解碼微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例剖析方法提煉變式題型01直線(xiàn)與圓的相關(guān)問(wèn)題 題型02圓錐曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)題型03直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系題型04離心率的取值與范圍問(wèn)題題型05圓錐曲線(xiàn)中范圍、最值問(wèn)題題型06新定義問(wèn)題第二部分強(qiáng)化實(shí)訓(xùn)整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01直線(xiàn)與圓的相關(guān)問(wèn)題【例1-1】（2025·全國(guó)一卷·高考真題）已知圓上到直線(xiàn)的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)有且僅有個(gè)，∵圓心到直線(xiàn)的距離為：，

故由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線(xiàn)的距離等于；當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線(xiàn)的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于.故選：B.【例1-2】（2025·四川涼山·一模）已知曲線(xiàn)上存在點(diǎn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則r的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，又，直線(xiàn)的方向向量，而，因此，即，消去得，整理得，即，于是點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，而曲線(xiàn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，，依題意，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，即這兩個(gè)圓相交或相切，因此，即，解得，所以r的取值范圍為.故選：C1.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系幾何法:圓心到直線(xiàn)的距離，則：代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r二、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形幾何特征代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解公切線(xiàn)條數(shù)43210【變式1-1】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）單位圓上有7個(gè)不同的點(diǎn)，則任意兩點(diǎn)間距離平方和的最大值為（

）A．42 B．49 C．56 D．64【答案】B【詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，?dāng)7個(gè)點(diǎn)均勻分布在單位圓上時(shí)，根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有，則，因此所求的最大值為49．故選：B．【變式1-2】（2025·浙江·一模）已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓心到直線(xiàn)的距離為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍為，由，得到.故選：B.【變式1-3】（2025·四川達(dá)州·一模）已知圓，若過(guò)點(diǎn)有且僅有兩條直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓的圓心，半徑，令過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓所截弦長(zhǎng)為的弦中點(diǎn)為，則，，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，此時(shí)為圓的切線(xiàn)，依題意，過(guò)點(diǎn)可以作圓的兩條切線(xiàn)，則點(diǎn)在圓外，于是，解得或，所以的取值范圍是.故選：B題型02圓錐曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)【例2-1】（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)，則點(diǎn)到的漸近線(xiàn)的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知，且焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，故點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離．故選：D.【例2-2】（2025·上海奉賢·一模）曲線(xiàn)的方程為（、不同時(shí)為0），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線(xiàn)不可能是直線(xiàn)B．當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)是橢圓C．若曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與無(wú)關(guān)D．曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)【答案】C【詳解】A．當(dāng)時(shí)，，所以為兩條直線(xiàn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．因?yàn)?，所以曲線(xiàn)是半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)?，，所以曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，則，則漸近線(xiàn)，故C正確；D．因?yàn)榍€(xiàn)，、不同時(shí)為0，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是兩條相交直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是兩條相交直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)不存在；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是圓；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)不存在；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)不存在；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)；所以曲線(xiàn)不能是拋物線(xiàn)，故D錯(cuò)誤；故選：C.1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注意：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．2.橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)、、焦距離心率通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）3.雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)）．用集合表示為．注意：①若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線(xiàn)僅為雙曲線(xiàn)中的一支．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．③時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．4.雙曲線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于，軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)坐標(biāo)，，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線(xiàn)方程令，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為通徑通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為5.拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)叫拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．注意：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)．6.拋物線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱(chēng)軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對(duì)稱(chēng)軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑【變式2-1】（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，若滿(mǎn)足，則（）A．16 B． C． D．9【答案】C【詳解】在拋物線(xiàn)中，，則，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故，，且,又，則解得．故選：C.【變式2-2】（2025·貴州六盤(pán)水·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上且，則點(diǎn)到軸的距離是.【答案】【詳解】由橢圓定義可得，由，則，則，即，又，即有，解得，故點(diǎn)到軸的距離是.故答案為：.【變式2-3】（2025·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知是雙曲線(xiàn)和橢圓的左?右焦點(diǎn)，為與在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A．的漸近線(xiàn)方程為B．的短軸長(zhǎng)是的虛軸長(zhǎng)的倍C．的離心率和的離心率的積為1D．的面積為【答案】ACD【詳解】由題意，得，所以.在中，由余弦定理得，即（為半焦距），所以，所以，所以，所以的漸近線(xiàn)方程為，故A正確；由題意，，得.從而的短軸長(zhǎng)為的虛軸長(zhǎng)，則，故B錯(cuò)誤；由，知的離心率為的離心率為，二者的積為1，故C正確；由，，得，故D正確.故選：ACD.題型03直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系【例3-1】（2025·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則（

）A．32 B．28 C．20 D．16【答案】A【詳解】如圖，設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，由題意結(jié)合拋物線(xiàn)的定義可知，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，即是直角三角形，且，顯然，所以，故選A.【例3-2】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，分別與漸近線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，則平行四邊形OAPB的面積是（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】漸近線(xiàn)方程為，方程為，與漸近線(xiàn)聯(lián)立，得，；點(diǎn)到的距離所以平行四邊形OAPB的面積.故選：A.1.直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0直線(xiàn)和橢圓相交直線(xiàn)和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②Δ＝0直線(xiàn)和橢圓相切直線(xiàn)和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③Δ＜0直線(xiàn)和橢圓相離直線(xiàn)和橢圓無(wú)公共點(diǎn)．2.直線(xiàn)與橢圓的相交弦設(shè)直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==同理可得3.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系將直線(xiàn)的方程與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若即，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)平行，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于一點(diǎn)；若即，①Δ＞0直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相交直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相切直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相離直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)．4.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相交弦設(shè)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==5.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn)；若①Δ＞0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)．6.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交弦設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==同理可得【變式3-1】（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，不妨設(shè)在軸下方，因?yàn)?，且所以，由拋物線(xiàn)方程可得，則，所以直線(xiàn)方程為：，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程消去得：，化簡(jiǎn)得：，所以，則，到直線(xiàn)的距離，所以的面積為，故選：B【變式3-2】（2025·浙江紹興·二模）已知橢圓，雙曲線(xiàn)．A，B分別為的左，右頂點(diǎn)．過(guò)A作直線(xiàn)l與及的右支分別交于點(diǎn)P，Q．若，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【詳解】

由題意可得直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為，設(shè)，由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)可得直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，消去可得，，，代入直線(xiàn)方程可得，所以同理，聯(lián)立，消去可得，，，代入直線(xiàn)方程可得，所以，因?yàn)椋?，即，即，解得，所?故選：D.【變式3-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出與橢圓和拋物線(xiàn)都相切的一條直線(xiàn)的方程為.【答案】或.【詳解】由已知，公切線(xiàn)斜率不為0，設(shè)公切線(xiàn)方程為.聯(lián)立，其判別式，即，①聯(lián)立..其判別式，②聯(lián)立①②，解得，所以橢圓和拋物線(xiàn)的公切線(xiàn)方程為或.故答案為：或.題型04離心率的取值與范圍問(wèn)題【例4-1】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率小于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率小于，所以，則，，設(shè)，則所以；由于，因?yàn)?，所以，則，則，因?yàn)?，所以，故選：B【例4-2】（2025·河南·一模）已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接，因?yàn)闉闄E圓的上頂點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，故，解得，設(shè)，，則，，由余弦定理有，即，解得，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即，整理得，解得，故B正確.故選：B．1.橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為橢圓的離心率.用表示，即.

(2)離心率的范圍：.2.雙曲線(xiàn)的離心率(1)定義：雙曲線(xiàn)的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫作雙曲線(xiàn)的離心率.

(2)雙曲線(xiàn)離心率的范圍：.

3.求離心率或其取值范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于,,的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式.【變式4-1】（24-25高三下·甘肅·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，從而，由正弦定理，得，所以，由余弦定理，得

，化簡(jiǎn)得，所以.故選：A.【變式4-2】（24-25高三上·甘肅慶陽(yáng)·月考）已知雙曲線(xiàn)的上、下焦點(diǎn)分別為、，是的上支上的一點(diǎn)（不在軸上），與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)該內(nèi)切圓在、上的切點(diǎn)分別為、，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，，，又，，則，即，解得，由，即，得，所以．故選：A.【變式4-3】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）離心率為的橢圓和離心率為的雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)構(gòu)成四邊形，的漸近線(xiàn)與的交點(diǎn)構(gòu)成四邊形，若四邊形與四邊形全等，則（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】由圖，因四邊形與四邊形全等，則.將橢圓方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立：，則，則；注意到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為：，將橢圓方程與漸近線(xiàn)方程聯(lián)立：，則.因，則，即.所以故選：C.題型05圓錐曲線(xiàn)中范圍、最值問(wèn)題【例5-1】（24-25高三下·江蘇泰州·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)，單位圓O分別相切于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，，，則，切線(xiàn)為即，直線(xiàn)又與單位圓相切，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)即，即，時(shí)取“”.故選：【例5-2】（2025·上海普陀·一模）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的最大值是5 B．的最小值是5C．的最大值是7 D．的最小值是7【答案】D【詳解】如圖，由點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，故，由雙曲線(xiàn)知，，故，右焦點(diǎn)，所以，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支無(wú)交點(diǎn)，故，故AC錯(cuò)誤；由雙曲線(xiàn)的定義，，所以，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值7，故B錯(cuò)誤D正確.故選：D1.處理圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：①幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.②代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，2.圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題的解題思路①建立函數(shù)模型，求解函數(shù)的值域或最值(切莫忘記定義域的考查)；②構(gòu)建不等關(guān)系.【變式5-1】（2025·山西·二模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為.點(diǎn)在上，過(guò)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn).當(dāng)外接圓面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，，故，將代入可得，故則過(guò)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)為：，又準(zhǔn)線(xiàn)為：，故中，令得，可得點(diǎn).又，所以，所以為直角，為外接圓的直徑，.令，則可得，由，當(dāng)?shù)?，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，即所求外接圓的面積最小，此時(shí)點(diǎn).故選：B【變式5-2】（2025·安徽·三模）設(shè)A為橢圓上一點(diǎn)，，則當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)樵跈E圓上，所以，則，將代入，得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值．故選：C.【變式5-3】（2025·四川成都·一模）（多選題）已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，，為雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足依次為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的內(nèi)心到軸的距離為C． D．【答案】ABD【詳解】由雙曲線(xiàn)，可得，則，且其漸近線(xiàn)方程為，對(duì)于A中，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，由雙曲線(xiàn)的定義，可得，所以，則，又由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，可得，所以，即的最大值為，所以A正確；對(duì)于B，如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓與軸，的切點(diǎn)分別為，可得，又由，可得，又由，可得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即圓心的橫坐標(biāo)為，所以的內(nèi)心到軸的距離為，所以B正確；對(duì)于C，設(shè)，則滿(mǎn)足，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，到直線(xiàn)的距離為，則，因?yàn)椋遗c的夾角為，所以，所以，所以C不正確；對(duì)于D，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即，同理可得，所以，因?yàn)?，代入可得，又因?yàn)?，可得，所以，所以D正確.故選：ABD.題型06新定義問(wèn)題【例6-1】（24-25高三下·山西·開(kāi)學(xué)考試）畫(huà)法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直直線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心，以長(zhǎng)半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根為半徑的圓，稱(chēng)該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.設(shè)A，B為橢圓E：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)上，若恒成立，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，得橢圓E的蒙日?qǐng)A方程為，其上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線(xiàn)互相垂直，因此當(dāng)直線(xiàn)與圓相離時(shí)，，由，解得.所以離心率.故選：A【例6-2】（2025·上海浦東新·二模）已知圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，若對(duì)于上的任意一點(diǎn)，均存在上兩點(diǎn)，，使得原點(diǎn)到直線(xiàn)，和的距離都相等，則稱(chēng)曲線(xiàn)為“完美曲線(xiàn)”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“完美曲線(xiàn)”；②存在雙曲線(xiàn)是“完美曲線(xiàn)”．下列判斷正確的是（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①②都是真命題 D．①②都是假命題【答案】A【詳解】判斷命題①：已知過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作以原點(diǎn)為圓心的圓的切線(xiàn)，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，連接.根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，當(dāng)與圓相切時(shí)，滿(mǎn)足給定條件.當(dāng)與圓相交時(shí)，因?yàn)閳A的圓心是固定的原點(diǎn)，我們可以通過(guò)縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近，直到與圓相切；同理，當(dāng)與圓相離時(shí)，擴(kuò)大圓的半徑，也能使圓靠近直至相切.所以從直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)調(diào)整角度可知，一定能找到合適的圓半徑使得與圓相切，故①正確.

判斷命題②：當(dāng)在雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作圓的切線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于另外兩點(diǎn)，.由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知，雙曲線(xiàn)在頂點(diǎn)附近的形狀特點(diǎn)決定了，過(guò)頂點(diǎn)作圓的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交得到的線(xiàn)段，其整體位置與以原點(diǎn)為圓心的圓是相離的.這是因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)性質(zhì)以及頂點(diǎn)處的曲線(xiàn)走向，使得從頂點(diǎn)出發(fā)的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交形成的線(xiàn)段不會(huì)與圓相切，所以②不正確.

故選：A.常見(jiàn)圓錐曲線(xiàn)新定義問(wèn)題處理思路1.將新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題.例如“分隔線(xiàn)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系的判定.2.反客為主：若直接求解困難，可逆向分析.例如黃金橢圓中通過(guò)切線(xiàn)斜率之積反推離心率.3.新定義曲線(xiàn)建立方程→分類(lèi)討論→驗(yàn)證性質(zhì)4.新定義交匯題聯(lián)立方程→參數(shù)法→幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化5.幾何模型應(yīng)用題識(shí)別模型（如阿基米德三角形）→應(yīng)用性質(zhì)（如中線(xiàn)平行、面積最小值）【變式6-1】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）雙紐線(xiàn)，也稱(chēng)伯努利雙紐線(xiàn)，伯努利雙紐線(xiàn)的描述首見(jiàn)于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類(lèi)比來(lái)處理．橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵形線(xiàn)則是由到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為伯努利雙紐線(xiàn)．已知曲線(xiàn)C（如圖所示）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿(mǎn)足到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．點(diǎn)在C上，則C．點(diǎn)N在橢圓上，若，則D．過(guò)作x軸的垂線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，則【答案】ACD【詳解】由題意，，即，對(duì)于A，因曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，將代入，解得，故A正確；對(duì)于B，由點(diǎn)在上，得，化簡(jiǎn)得，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，由，得：，則，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，而，則，又根據(jù)勾股定理得，則，化簡(jiǎn)得，解得，因此，故D正確；故選：ACD．【變式6-2】（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知，若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)P的軌跡為雙紐線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙紐線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B．的面積的最大值為C． D．直線(xiàn)與雙紐線(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn)【答案】AD【詳解】對(duì)于A，由，則曲線(xiàn)方程為，由關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，顯然當(dāng)滿(mǎn)足方程時(shí)，也滿(mǎn)足方程，則雙紐線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，由方程，整理可得關(guān)于的方程，由，解得，由，則其最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)不在原點(diǎn)，則構(gòu)成，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將代入方程，整理可得，解得或，故D正確.故選：AD.【變式6-3】（2025·河北滄州·一模）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，若，，則稱(chēng)“”為M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”，若動(dòng)點(diǎn)E到兩定點(diǎn)，的“曼哈頓距離”之和為定值，則稱(chēng)點(diǎn)E的軌跡為“曼哈頓橢圓”，若點(diǎn)P為該“曼哈頓橢圓”上一點(diǎn)，則（

）A．的周長(zhǎng)為 B．面積的最大值為C．該“曼哈頓橢圓”的面積為 D．該“曼哈頓橢圓”的周長(zhǎng)為【答案】BCD【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則P，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”，，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”，則，易得“曼哈頓橢圓”關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，可以先研究第一象限及x軸和y軸非負(fù)半軸上點(diǎn)的軌跡，，作曲線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可作出如圖“曼哈頓橢圓”，則，，，對(duì)于A，B，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的周長(zhǎng)為，此時(shí)的面積最大為，故A不正確，B正確；對(duì)于C，梯形的面積為，所以該“曼哈頓橢圓”的面積為，故C正確；對(duì)于D,又，所以該“曼哈頓橢圓”的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：BCD.

1.（2025·陜西西安·二模）已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上，若的內(nèi)切圓的圓心為，且滿(mǎn)足與的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為.【答案】【詳解】設(shè)，內(nèi)心為，依題意可設(shè)，所以，解得，由等面積可得，化簡(jiǎn)得，又，所以，因?yàn)?，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，所以，則，解得，所以的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)方程中，得，解得，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為，故答案為：．2.（2025·上海虹口·一模）已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)分別為和，若點(diǎn)為上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則點(diǎn)到的一條漸近線(xiàn)的距離為．【答案】【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)分別為和，所以，所以.因?yàn)?，，所以在中，?設(shè)，則由勾股定理可得，所以，所以，所以.又由，可得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.其漸近線(xiàn)方程為，即.取漸近線(xiàn)，則點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為.故答案為：3.（25-26高三上·廣東佛山·月考）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)射出的一條光線(xiàn)經(jīng)直線(xiàn)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且反射后的光線(xiàn)與在第四象限交于點(diǎn)．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)從點(diǎn)射出的一條光線(xiàn)射到直線(xiàn)的點(diǎn)為，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

所以點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率為，所以由，得，，中，根據(jù)余弦定理可知，整理為，即，，解得：所以橢圓的離心率為.故選：B4.（2025·湖南湘潭·一模）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，若圓上存在點(diǎn)使得的中點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，則，即，且雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，設(shè)為圓上一點(diǎn)，且圓心為，半徑，則的中點(diǎn)在其漸近線(xiàn)上，可得，即，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，所以直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，所以，即，可得，可得，所以，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率，所以，所以雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為.故選：B.5.（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知以為左右焦點(diǎn)的橢圓的短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到的最大距離是點(diǎn)到的最小距離的3倍，連接，并延長(zhǎng)與橢圓相交于點(diǎn)，其中說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的方程為 B．三角形的面積的最大值為C．三角形的周長(zhǎng)為8 D．【答案】AC【詳解】如圖：

對(duì)于選項(xiàng)A，由于，可得橢圓的方程為，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，的周長(zhǎng)，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)直線(xiàn)方程為時(shí)，由通徑的概念可得，所以，所以不能恒成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC6.（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知橢圓，右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的離心率為 B．面積的取值范圍為C． D．若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為8【答案】ABD【詳解】由題可得：,,設(shè)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得,對(duì)于A，，所以橢圓的離心率為,故A正確；對(duì)于B，到直線(xiàn)的距離,

，所以，因?yàn)?，則面積的取值范圍為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，

，由于，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可得橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)為：，設(shè)到橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以，則，所以，當(dāng)在橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，，所以的最大值為8，故D正確；故選：ABD7.（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知雙曲線(xiàn)，，為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，過(guò)作實(shí)軸的垂線(xiàn)l與C從下到上依次交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段與C的虛軸長(zhǎng)相等．則（

）A．雙曲線(xiàn)C的離心率B．以為直徑的圓與C的漸近線(xiàn)相切C．若點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)，的斜率之積的范圍是D．若點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，l分別與，交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則【答案】ABD【詳解】由題設(shè)，則代入雙曲線(xiàn)，有，可得，所以，可得，故，A對(duì)；以為直徑的圓的圓心為，半徑為，且漸近線(xiàn)為，所以到的距離，即，B對(duì)；令且，，則，，，所以，又，，則，顯然取不到1，C錯(cuò)；令，則，，又，，則，，，所以，所以，D對(duì).故選：ABD8.（2025·山東淄博·三模）（多選題）旋轉(zhuǎn)變換是原圖上所有的點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)朝同一方向，轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度.例如，對(duì)任意平面向量，把繞起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，這一過(guò)程叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知橢圓，繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到斜橢圓，則下列結(jié)論正確的是:（）A．已知點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)B．斜橢圓的離心率是C．斜橢圓方程是D．過(guò)斜橢圓在第一象限內(nèi)的焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，與斜橢圓交于點(diǎn)，則【答案】ACD【詳解】，由新定義可得，所以，A正確，由，可得，其離心率為：，故的離心率為，B錯(cuò)誤設(shè)上任意一點(diǎn)，繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由新定義可得：，所以，代入，可得：，也即斜橢圓方程是，C正確，，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得第一