1、.美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2：模式、函數(shù)和代數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)包括關(guān)注模式、函數(shù)、符號(hào)和數(shù)學(xué)模型，以便所有學(xué)生能夠 理解各種類型的模式和函數(shù)關(guān)系； 使用符號(hào)形式表示和分析數(shù)學(xué)情形和結(jié)構(gòu)； 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型以及分析在實(shí)際和抽象的背景下的數(shù)學(xué)模型變化。說(shuō)明：幼兒園前-12年級(jí)模式、函數(shù)和代數(shù)包括系統(tǒng)地使用符號(hào)，數(shù)學(xué)體系的代數(shù)特征，現(xiàn)象的模型以及對(duì)變化的數(shù)學(xué)。這些概念不僅彼此互相關(guān)聯(lián)，而且還與數(shù)、運(yùn)算以及幾何緊密相聯(lián)。它們對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都是至關(guān)重要的，并且它們組成表達(dá)數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)里的思想觀念形成了學(xué)校課程的主要組成部分。在方程解的研究中，代數(shù)有根。這個(gè)科目已向幾個(gè)方向發(fā)展，它包括方程的學(xué)習(xí)，抽

2、象事物的推理，歸納，以及符號(hào)概念的中心意思。所有這些發(fā)展都應(yīng)在學(xué)校課程中得到反映。對(duì)模式、函數(shù)和代數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)在低年級(jí)非正式地開(kāi)始，然后在學(xué)校的學(xué)習(xí)中逐步向深度和廣度發(fā)展。早期接觸模式、函數(shù)和代數(shù)的概念，能為在初中后階段和整個(gè)高中階段更深入細(xì)致地關(guān)注這個(gè)領(lǐng)域的學(xué)生提供部分理解基礎(chǔ)（Smith 1998）。 理解各種類型的模式和函數(shù)關(guān)系制作、認(rèn)識(shí)和拓展模式對(duì)兒童們來(lái)說(shuō)是非常自然的活動(dòng)。早期接觸模式的工作是識(shí)別規(guī)律性，認(rèn)識(shí)不同形式的相同模式，以及應(yīng)用模式去推測(cè)數(shù)值。例如，紅-藍(lán)-藍(lán)-紅-藍(lán)-藍(lán)-紅-藍(lán)-藍(lán)與ABBABBABB具有相同的模式，所以其第12個(gè)元素是藍(lán)。從簡(jiǎn)單的狀況出現(xiàn)的模式是函數(shù)和序列的

3、萌芽。例如，如果1個(gè)玩具2美元，那么1個(gè)玩具，2個(gè)玩具，3個(gè)玩具，n個(gè)玩具多少美元？隨后接觸的一個(gè)是增長(zhǎng)的模式，例如，1，3，6，10，15，一個(gè)是重復(fù)的模式，例如1，1，3，1，1，3，上述這些例子加深了對(duì)模式概念的理解。到了初中和高中，隱藏在模式和序列下的規(guī)律性變得越來(lái)越復(fù)雜，包括那些以指數(shù)方式增長(zhǎng)的模式。接觸作為函數(shù)的例子-序列，在中學(xué)得到擴(kuò)展的目的是建立極限和無(wú)窮序列這些概念的基礎(chǔ)。在低年級(jí)，學(xué)生注意到每一項(xiàng)通過(guò)前一項(xiàng)而得到，來(lái)描述象2，4，6，8，這樣的模式，在這種情況下，后一項(xiàng)=前一項(xiàng)+2。這是遞推思維的開(kāi)始。以后，學(xué)生能夠研究被定義的序列以及通過(guò)遞推得到的序列，如Fibonacc

4、i序列1，1，2，3，5，8，在這個(gè)序列中，每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)的和。在許多科目中，遞推數(shù)列非常自然地出現(xiàn)，并可通過(guò)技術(shù)手段來(lái)研究。912年級(jí)的學(xué)生研究由遞推產(chǎn)生的函數(shù)和模式。最初接觸模式時(shí)，一個(gè)重要的步驟是，學(xué)生經(jīng)?？陬^地表述隱含的規(guī)律性，而不是應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示（English and Warren 1998）。學(xué)生數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)是基于口語(yǔ)表述，提供給學(xué)生足夠的經(jīng)歷，使他們舒適地、流利地使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示歸納的結(jié)果。函數(shù)的早期萌芽和它們的表示，包括這樣一些活動(dòng)，記錄日常氣溫或在圖表中隨時(shí)表示隨著平面高度的變化產(chǎn)生溫度的變化。在低年級(jí)可以使用函數(shù)圖象來(lái)描述函數(shù)。在68年級(jí)線性函數(shù)和對(duì)函數(shù)圖象

5、的解釋是學(xué)習(xí)過(guò)程中特別重要的東西。對(duì)912年級(jí)的學(xué)生來(lái)講，盡管已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)其他一些函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，但對(duì)函數(shù)圖象的解釋仍然是重要的。在高中，這種系統(tǒng)的學(xué)習(xí)應(yīng)建立在學(xué)生早期有過(guò)的代數(shù)思想的經(jīng)歷上。熟悉函數(shù)的解析表示、數(shù)值表示以及圖象表示是非常重要的。在這些表示中，能力是向思維深度和容易的方向發(fā)展。坐標(biāo)幾何使函數(shù)和關(guān)系的圖象表示以及觀察函數(shù)和關(guān)系的幾何性質(zhì)，如圖象的對(duì)稱性，成為可能。圖形計(jì)算器和計(jì)算機(jī)能夠幫助學(xué)生進(jìn)行圖象和數(shù)值表示方面的實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)和對(duì)比函數(shù)的不同性質(zhì)。包括兩、三個(gè)變量的函數(shù)之間的關(guān)系可以有幾何表示，在y-z平面內(nèi)，當(dāng)拋物線z=y2繞z 軸旋轉(zhuǎn)會(huì)得到什么？所得

6、圖象如何用代數(shù)表示？許多學(xué)生首次理解函數(shù)的概念是通過(guò)如下一系列教學(xué)過(guò)程，任給一個(gè)n ，如 n=0，1，2，3時(shí)，求2n的值（Vinner and Dreyfus 1989）為了幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)函數(shù)概念的更深的理解，對(duì)函數(shù)的多種表示-如數(shù)值表示、圖象表示、解析表示有相當(dāng)豐富的經(jīng)歷是必需的。 使用符號(hào)形式表示和分析數(shù)學(xué)情形和結(jié)構(gòu)數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表示是代數(shù)的靈魂。概括地說(shuō)，它能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)被簡(jiǎn)明地表達(dá)出來(lái)，而且符號(hào)和表達(dá)式能夠提供探索和發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑。然而，這種作用也遇到會(huì)一系列概念障礙，例如，變量的概念是相當(dāng)復(fù)雜的。在低年級(jí)，典型的一個(gè)例子是在下面式子中空位處的一個(gè)特定的數(shù)字是一個(gè)變量+2=11。

7、以后，學(xué)生會(huì)學(xué)到方程3x+2=11中的變量x ，方程中的變量x ，這兩個(gè)變量的意義是不同的，而且它們與公式中的變量 的意義不同。完全理解變量的概念需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，它需要豐富的實(shí)踐經(jīng)歷作為基礎(chǔ)（Wagner and Parker 1993）。另一個(gè)在理解數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表示的概念困難是關(guān)于相等的概念。相等的符號(hào)可以以不同的方式被察覺(jué)。例如，對(duì)在算術(shù)計(jì)算中廣泛經(jīng)歷的相等符號(hào)的結(jié)果。學(xué)生一個(gè)典型的察覺(jué)是，把相等符號(hào)作為計(jì)算的符號(hào)（Kieran 1981）。然而，在高中之前，學(xué)生也需要學(xué)習(xí)到把相等符號(hào)作為相等和平衡的符號(hào)?？傊?，如果學(xué)生在發(fā)展他們工作中固定的概念基礎(chǔ)之前，學(xué)生被要求從事較多的符號(hào)演算，

8、但他們不能進(jìn)行更多地機(jī)械性的演算（Wagner and Parker 1993）。關(guān)于符號(hào)概念有意義的工作基礎(chǔ)需要持續(xù)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，從低年級(jí)開(kāi)始，直到初中或高中階段正式接觸“代數(shù)”這門課程。當(dāng)兒童接觸數(shù)時(shí)，他們常常采納在本質(zhì)上是代數(shù)化的策略。教師們可以以相似的方式建立這種自然的趨勢(shì)。例如，一個(gè)兒童可能注意到“4+5=4+4+1”和“5+6=5+5+1”等等。把他或她觀察到的介紹給另一個(gè)兒童時(shí)，學(xué)生可能畫出如圖32所示的圖： 圖32 2+1使用圖形作為一個(gè)范例以及不是一個(gè)孤立事件的記錄使代數(shù)表示圖象化?；蛘?，兒童可能會(huì)說(shuō)“2+1”，因?yàn)檫@種表達(dá)表示的是一個(gè)歸納，它就是代數(shù)化。在68年級(jí)，代數(shù)表示

9、變得越來(lái)越正規(guī)，因此在符號(hào)、肖像、具體和幾何之間再加上一個(gè)強(qiáng)有力的透視。當(dāng)它們被幾何化后，即使復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系也變得清晰起來(lái)。當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行系統(tǒng)的推理、復(fù)雜的代數(shù)符號(hào)演算時(shí)，學(xué)生很容易理解幾何表示。例如，圖33幫助我們解釋為什么前n個(gè)奇數(shù)的和等于n2。圖33學(xué)生能夠給出像“1+3+(2n-1)=n2”關(guān)系的符號(hào)表示，而且，以后學(xué)生能給出它的數(shù)學(xué)演繹證明。因此，這種代數(shù)歸納可以以兩種不同的方式得到發(fā)展和證實(shí)，一種在中學(xué)階段學(xué)生能夠接受，而另外一種需要較多的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。兩種方式互相補(bǔ)充，事實(shí)上，每種方式都能揭示不同的數(shù)學(xué)情形。代數(shù)和幾何彼此向?qū)Ψ綕B透，正如學(xué)生把幾何思想代數(shù)化。例如，一個(gè)半徑為r的土球被

10、加工成一個(gè)半徑為r的土圓錐，問(wèn)圓錐的高是多少？代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念來(lái)自于對(duì)數(shù)的演算的關(guān)注。理解封閉性（如兩個(gè)正整數(shù)的和仍是正整數(shù)，而兩個(gè)正整數(shù)的差不是正整數(shù)）和代數(shù)性（如加法符合交換律，而減法不符合交換律）對(duì)于學(xué)習(xí)諸多的系統(tǒng)，包括數(shù)系、多項(xiàng)式系統(tǒng)、函數(shù)系統(tǒng)和矩陣系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，是非常重要的。學(xué)生能夠?qū)\(yùn)算進(jìn)行推理，例如，他們發(fā)現(xiàn)減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算?？紤]一個(gè)復(fù)雜的數(shù)系時(shí)，詢問(wèn)關(guān)于數(shù)系的內(nèi)部互相聯(lián)系的問(wèn)題，以及找出這些問(wèn)題的解法，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常重要的。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中另一個(gè)重要的部分是同構(gòu)的概念，即表面看似不同，而實(shí)質(zhì)相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如，兩種不同的物理情形，可用相同的圖形把他們模型化。這顯示兩種不同的

11、過(guò)程具有相同重要的數(shù)學(xué)特征。 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型以及分析在實(shí)際和抽象的背景下的數(shù)學(xué)模型變化數(shù)學(xué)的一個(gè)強(qiáng)有力的應(yīng)用是現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用符號(hào)記法是模型化的中心。例如，分配律和交換律、物理定律、人口模型、以及對(duì)數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)都可以用符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)。在任何復(fù)雜的表格的使用中，代數(shù)是不明晰的。如果能夠很好地理解數(shù)集之間的關(guān)系，那么這種理解能用變量、函數(shù)、關(guān)系的語(yǔ)言表示出來(lái)?；谝陨鲜聦?shí)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，從低年級(jí)開(kāi)始，把眾多現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型化是非常重要的。隨著學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族的熟練程度，他們能夠應(yīng)用線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等把一些現(xiàn)象模型化，且可用它們進(jìn)行鑒別。三角函數(shù)表示周期現(xiàn)象是非常有用的。基于計(jì)算機(jī)的實(shí)驗(yàn)室的應(yīng)用能

12、夠使學(xué)生快速地從物理實(shí)驗(yàn)中獲得可靠的數(shù)據(jù)，這樣就能擴(kuò)大對(duì)狀況所作模型的使用范圍。計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的圖形、數(shù)值、或符號(hào)功能可被用于探討這個(gè)模型可能的變量的作用。在解決涉及這些變化的情形中，最大值和最小值是非常重要的。對(duì)變化的最終研究是在微積分中，但學(xué)生在正式學(xué)習(xí)微積分課程之前，已經(jīng)對(duì)變化討論了很長(zhǎng)時(shí)間。在幼兒園前2年級(jí)，一個(gè)描繪運(yùn)動(dòng)員跑的距離與時(shí)間圖形的學(xué)生能夠指出，在一段時(shí)間內(nèi)距離增長(zhǎng)得非常快，而在另一段時(shí)間內(nèi)距離增長(zhǎng)得較慢。這個(gè)過(guò)程依賴于時(shí)間函數(shù)y=f(t)，它在steep區(qū)域變化得非常快，而在shallow區(qū)域變化得非常慢。算術(shù)序列和幾何序列的不同之處在于，序列中每項(xiàng)的定義依它前一項(xiàng)的方式。對(duì)變化的學(xué)習(xí)與遞歸思想相連。低年級(jí)的學(xué)生能夠觀察到像5，8，11，14，