1、1,通信原理,2,通信原理,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,3,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,10.1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性 以二進(jìn)制為例研究接收電壓的統(tǒng)計(jì)特性。 假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有 P(0) + P(1) = 1 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號(hào)抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。 設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個(gè)抽樣值：，則有k 2fHTs。,4,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,由于每

2、個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為 式中，n 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。 設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個(gè)抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,5,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為 當(dāng)k 很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成,6,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,利用上式關(guān)系，并注意

3、到 式中 n0 噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為： 式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。 需要注意，f(n)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時(shí)間變量t無關(guān)。n是一個(gè)k維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。,7,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,在碼元持續(xù)時(shí)間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量： 由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些則無錯(cuò)。,

4、8,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t) 則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中 r = s + n k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽 樣值； s k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。,9,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 順

5、便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進(jìn)制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當(dāng)發(fā)送碼元是si時(shí)，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 仍需記住，以上三式中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時(shí)間t的函數(shù)，并且是一個(gè)標(biāo)量，而r 仍是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)矢量。,10,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,10.2 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 “最佳”的準(zhǔn)則：錯(cuò)誤概率最小 產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。 判決規(guī)則 設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 式中 Pe1

6、= P(0/1) 發(fā)送“1”時(shí)，收到“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送“0”時(shí)，收到“1”的條件概率； 上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。,11,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可以用一個(gè)k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對(duì)每個(gè)接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是“1”。 由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r 當(dāng)作1維矢量畫出。）： 可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”； 若接收矢量落在區(qū)域A1

7、內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。,12,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個(gè) 互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū) 域的邊界r0確定后，錯(cuò)誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫為 式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1”時(shí)，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0”時(shí)， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率 這兩個(gè)條件概率可以寫為： 這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。,13,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點(diǎn)r0，將上式對(duì)r0求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于0， 求出最佳分界點(diǎn)r0的條件

8、：,14,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,即 當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即P(1) = P(0)時(shí)，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的r 值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域A0應(yīng)判為收到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時(shí)有： 若 則判為“0” ； 反之， 若 則判為“1” 。 在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡(jiǎn)化為：,15,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。按照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。 以上對(duì)于二進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可以推廣到多進(jìn)制信號(hào)的場(chǎng)合。設(shè)在一個(gè)M 進(jìn)制數(shù)字

9、通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是si時(shí)，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 于是，若 則判為si(t)，其中，,16,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,10.3 確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī) 確知信號(hào)：指其取值在任何時(shí)間都是確定的、可以預(yù)知的信號(hào)。 判決準(zhǔn)則 當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 當(dāng)發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡(jiǎn)化，得到：,17,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若 則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩

10、端分別取對(duì)數(shù)，得到若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即 所以上式還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。,18,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,若 式中 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子。 最佳接收機(jī) 按照上式畫出的最佳接收機(jī)原理方框圖如下：,19,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,20,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則上式 簡(jiǎn)化為 最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡(jiǎn)化成,21,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,由上述討論不難推出M 進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 上面的最佳

11、接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。 由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。,22,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收的誤碼率 總誤碼率 在最佳接收機(jī)中，若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時(shí)，若上式成立，則將發(fā)生錯(cuò)誤判決。所以若將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯(cuò)誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的計(jì)算結(jié)果如下,23,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,式中 同理，可以求出發(fā)送s0(t)時(shí)，判決為收到s1(t)的條件

12、錯(cuò)誤概率 式中,24,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,因此，總誤碼率為 先驗(yàn)概率對(duì)誤碼率的影響 當(dāng)先驗(yàn)概率P(0) = 0及P(1) = 1時(shí)，a = - 及b = ，因此由上式計(jì)算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時(shí)由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。,25,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)： P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡(jiǎn)為 式中 上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對(duì)于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關(guān)，而與波形本

13、身無關(guān)。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。 當(dāng)先驗(yàn)概率不等時(shí)： 由計(jì)算表明，先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)的誤碼率。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。,26,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,先驗(yàn)概率相等時(shí)誤碼率的計(jì)算 在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個(gè)參量，即碼元的相關(guān)系數(shù) ，其定義如下： 式中 E0、E1為信號(hào)碼元的能量。 當(dāng)s0(t) = s1(t)時(shí)，1，為最大值；當(dāng)s0(t) = -s1(t)時(shí)，1，為最小值。所以 的取值范圍在-1 +1。,27,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,當(dāng)兩碼元的能量相等時(shí)，令E0 = E

14、1 = Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到 為了將上式變成實(shí)用的形式，作如下的代數(shù)變換： 令 則有,28,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,于是上式變?yōu)?式中 利用下式中2和n0關(guān)系 代入上式，得到誤碼率最終表示式：,29,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,式中 誤差函數(shù) 補(bǔ)誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關(guān)系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。 上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對(duì)不可能超過它。,30,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,誤碼率曲線,dB,31,第10章

15、數(shù)字信號(hào)最佳接收,最佳接收性能特點(diǎn) 誤碼率僅和Eb / n0以及相關(guān)系數(shù)有關(guān)，與信號(hào)波形及噪聲功率無直接關(guān)系。 碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實(shí)際上相當(dāng)于信號(hào)噪聲功率比Ps/Pn。因?yàn)槿粝到y(tǒng)帶寬B等于1/Ts， 則有 按照能消除碼間串?dāng)_的奈奎斯特速率傳輸基帶信號(hào)時(shí)，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對(duì)于已調(diào)信號(hào)，若采用的是2PSK或2ASK信號(hào)，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號(hào)帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號(hào)噪聲功率比看待。,32,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,相關(guān)系數(shù) 對(duì)于誤碼率的影響很大。當(dāng)兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，即 = 1

16、時(shí)，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率Pe = 1/2。因?yàn)檫@時(shí)兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即 = -1時(shí)，誤碼率最小。這時(shí)的最小誤碼率等于 例如，2PSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。 當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) 等于0時(shí)，誤碼率等于 例如，2FSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。,33,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號(hào)，則 誤碼率為 比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號(hào)的性能比2FSK信號(hào)的性能差3dB，而2FSK信號(hào)的性能又比2PSK信號(hào)的性能差3dB。,34,第10章 數(shù)字信號(hào)

17、最佳接收,多進(jìn)制通信系統(tǒng) 若不同碼元的信號(hào)正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計(jì)算結(jié)果如下： 式中，M 進(jìn)制數(shù)； E M 進(jìn)制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。 由于一個(gè)M 進(jìn)制碼元中含有的比特?cái)?shù)k 等于log2M，故每個(gè)比特的能量等于 并且每比特的信噪比為 下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。,35,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,誤碼率曲線 由此曲線看出，對(duì)于 給定的誤碼率，當(dāng)k 增大時(shí)，需要的信噪 比Eb/n0減小。當(dāng)k 增 大到時(shí)，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時(shí)只要Eb/n0等于 0.693(-1.6 dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。,36,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳

18、接收,10.5 隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收 假設(shè)： 2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)； 通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲； 接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。 因此，可以將此信號(hào)表示為： 及將此信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度表示為：,37,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有 在討論確知信號(hào)的最佳接收時(shí)，對(duì)于先驗(yàn)概率相等的信號(hào)，按照下式條件作判決： 若接收矢量r使f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式

19、經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：,38,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,若接收矢量r 使M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r 使M02 d) 。設(shè)接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，則有,80,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,上式中的積分值是一個(gè)實(shí)常數(shù)，我們假設(shè)其等于1，即假設(shè) 故有 這樣假設(shè)并不影響對(duì)誤碼率性能的分析。由于接收濾波器是一個(gè)線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)等于 對(duì)上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過d 的概率：,81,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收

20、,上式中已作了如下變量代換： 將上式代入誤碼率公式，得到,82,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,現(xiàn)在，再將上式中的Pe和d/的關(guān)系變換成Pe和E/n0的關(guān)系。由上述討論我們已經(jīng)知道，在M 進(jìn)制基帶多電平最佳傳輸系統(tǒng)中，發(fā)送碼元的頻譜形狀由發(fā)送濾波器的特性決定： 發(fā)送碼元多電平波形的最大值為 等。這樣，利用巴塞伐爾定理 計(jì)算碼元能量時(shí)，設(shè)多電平碼元的波形為Ax(t)，其中x(t)的最大值等于1，以及,83,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,則有碼元能量等于 因此，對(duì)于M 進(jìn)制等概率多電平碼元，求出其平均碼元能量E等于 因此有 于是得到誤碼率的最終表示式：,84,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,當(dāng)M2時(shí)， 上式是在理想信道中，消除碼間串?dāng)_條件下，二進(jìn)制雙極性基帶信號(hào)傳輸?shù)淖罴颜`碼率。 M進(jìn)制多電平信號(hào)的誤碼率曲線： 由此圖可見，當(dāng)誤碼率 較低時(shí)，為保持誤碼率 不變，M值增大到2倍， 信噪比大約需要增大 7 dB。,85,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,10.