1、1,第二章 復(fù)變函數(shù),1 解析函數(shù),1、導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù) 2、柯西-黎曼條件,2,本章學(xué)習(xí)要求,復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解析函數(shù)； 復(fù)變函數(shù)解析的必要條件，柯西黎曼條件； 解析的充分必要條件； 初等解析函數(shù)； 重點(diǎn)：函數(shù)解析的概念； 函數(shù)解析性的判斷； 難點(diǎn)：解析函數(shù)概念； 初等解析函數(shù)中的多值函數(shù)；,3,導(dǎo)數(shù),4,導(dǎo)數(shù)的分析定義：,5,解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)法則,6,7,解：,8,設(shè) 沿著平行于x軸的方向趨向于零，因而 ， ，這時(shí)極限 設(shè) 沿著平行于y軸的方向趨向于零，因而 ， ，這時(shí)極限 因此 導(dǎo)數(shù)不存在，原函數(shù)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)。,9,2函數(shù)解析與可導(dǎo)、連續(xù)、極限的關(guān)系 由解析函數(shù)定義可知，函數(shù)在

2、一點(diǎn)處解 析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的兩個(gè)概念.在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念； “解析”有時(shí)也稱為 “全純”、“正則”等 但是 區(qū)域解析等價(jià)于區(qū)域可導(dǎo),10,可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系 我們知道：若復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)極限一定存在，反之不一定成立.那么可導(dǎo)與連續(xù)有何關(guān)系？ 若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，必在該點(diǎn)連續(xù)但反之不一定成立. 如上例2 ，顯然在復(fù)平面上處處連續(xù)但在復(fù)平面處處不可導(dǎo).,11,四則運(yùn)算法則,12,證: 設(shè),則有,13,則有,14,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,15,反函數(shù)求導(dǎo)法則,16,利用這些法則，我們可以計(jì)算常數(shù)、多項(xiàng)式以 及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和高等數(shù)學(xué)的結(jié)論基 本相同。 但有些必須用定義證明,17,Cauchy-Riemann條件：,18,定理3.1的證明（必要性）：,19,定理3.1的證明（充分性）：,20,復(fù)變函數(shù)的解析條件,21,和高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論不同，此定理表明解析 函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實(shí)部和虛部不是完全獨(dú)立 的，它們是柯西-黎曼方程的一組解； 柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件而 非充分條件（見反例）； 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡潔的形式：,22,反例：u(x,y)、v(x,y)如下：,23,24,例1 討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性：,25,26,27,例2,28,29,30,【解】 由 ，得 ，所以 容易看出，這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，