1、機械振動學(xué)總結(jié)第一章 機械振動學(xué)基礎(chǔ)第2節(jié) 機械振動的運動學(xué)概念機械振動是種特殊形式的運動。在這運動過程中，機械振動系統(tǒng)將圍繞其平衡位置作往復(fù)運動。從運動學(xué)的觀點看，機械振動式研究機械系統(tǒng)的某些物理量在某一數(shù)值近旁隨時間t變化的規(guī)律。用函數(shù)關(guān)系式 來描述其運動。如果運動的函數(shù)值，對于相差常數(shù)T的不同時間有相同的數(shù)值，亦即可以用周期函數(shù) 來表示，則這一個運動時周期運動。其中T的最小值叫做振動的周期，定義為振動的頻率。簡諧振動式最簡單的振動，也是最簡單的周期運動。一、簡諧振動物體作簡諧振動時，位移x和時間t的關(guān)系可用三角函數(shù)的表示為 式中：A為振幅，T為周期，和稱為初相角。如圖所示的正弦波形表示了

2、上式所描述的運動，角速度稱為簡諧振動的角頻率 簡諧振動的速度和加速度就是位移表達式關(guān)于時間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即可見，若位移為簡諧函數(shù)，其速度和加速度也是簡諧函數(shù)，且具有相同的頻率。因此在物體運動前加速度是最早出現(xiàn)的量。 可以看出，簡諧振動的加速度，其大小與位移成正比，而方向與位移相反，始終指向平衡位置。這是簡諧振動的重要特征。在振動分析中，有時我們用旋轉(zhuǎn)矢量來表示簡諧振動。圖P6旋轉(zhuǎn)矢量的模為振幅A，角速度為角頻率若用復(fù)數(shù)來表示，則有 用復(fù)指數(shù)形式描述簡諧振動，給計算帶來了很多方便。因為復(fù)指數(shù)對時間求導(dǎo)一次相當(dāng)于在其前乘以，而每乘一次j，相當(dāng)于有初相角。2 周期振動滿足以下條件：1) 函數(shù)在

3、一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個間斷點，且間斷點上函數(shù)左右極限存在；2) 在一個周期內(nèi)，只有有限個極大和極小值。則都可展成Fourier級數(shù)的形式，若周期為T的周期振動函數(shù)，則有 式中 三、簡諧振動的合成 一、同方向振動的合成1. 倆個同頻率的簡諧振動 ， 它們的合成運動也是該頻率的簡諧振動 2. 倆個不同頻率振動的合成 若，則合成運動為 若 ，對于 ,則有 上式可表示為 二、 兩垂直方向振動的合成1. 同頻率振動的合成如果沿x方向的運動為沿y方向的運動為2不同頻率振動的合成對于倆個不等的簡諧運動它們的合成運動也能在矩形中畫出各種曲線。第三節(jié) 構(gòu)成機械運動的基本元素構(gòu)成機械振動的基本元素有慣性、恢復(fù)

4、性和阻尼。慣性就是能使物體當(dāng)前運動繼續(xù)下去的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運動的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡位置的性質(zhì)。第四節(jié) 自由度與廣義坐標系統(tǒng)受到約束時，其自由度數(shù)為系統(tǒng)無約束時的自由度數(shù)與約束條件數(shù)之差。對于n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，個質(zhì)點的位移可用3n個直角坐標來描述。當(dāng)有r個約束條件時，約束方程為為了確定各質(zhì)點的位置，可選取N=3n-r個獨立的坐標來代替3n個直角坐標，這種坐標叫做廣義坐標。第二章 單自由度系統(tǒng)第二節(jié) 無阻尼自由振動單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動方程令，系統(tǒng)的運動方程可表示為函數(shù)x(t)必須具有這樣的性質(zhì)：在微分過程中不改變其形式。因而假定方程的解為的形式是合理的。

5、式中B和是待定常數(shù)，代入方程中方程決定于方程叫做系統(tǒng)的特征方程或頻率方程，它有一對共軛虛根：，叫做系統(tǒng)的特征值或固有值，方程的倆個獨立的特接分別為式中和是任意常數(shù)。方程的通解為方程的通解從物理意義上說，表達了系統(tǒng) 對于確定的初始條件，系統(tǒng)發(fā)生某種確定的運動為它是由倆個相同頻率的簡諧運動所組成。再將這倆個相同頻率的簡諧運動合成為式中A為振幅，為初相角。線性系統(tǒng)自由振動振幅的大小只決定于施加給系統(tǒng)的初始條件和系統(tǒng)本身的固有頻率，而與其他因素?zé)o關(guān)。線性系統(tǒng)自由振動的頻率只決定于系統(tǒng)本身參數(shù)，與初始條件無關(guān)，因而叫做系統(tǒng)的固有頻率或無阻尼固有頻率。第三節(jié) 能量法一個無阻尼的彈簧系統(tǒng)做自由振動時，由于不

6、存在阻尼，沒有能量從系統(tǒng)中散逸，沒有能量輸入，系統(tǒng)機械能守恒。T+U=E=常數(shù)最大動能和最大勢能為 由于，并定義，故可得。第4節(jié) 有阻尼自由振動在實際系統(tǒng)中總存在著阻尼，總是有能量的散逸，系統(tǒng)不可能持續(xù)作等幅的自由振動，而是隨著時間的推移振幅將不斷減小，這種自由振動叫做有阻尼自由振動。最常見的阻尼有粘性阻尼、庫倫阻尼或干摩擦阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。1、 粘性阻尼的一個粘性阻尼器，直徑為d，長為L的活塞，帶有倆個直徑為D的小孔，油的粘度為，密度為。 作用于活塞上阻力的大小近似地表示為這表明，粘性阻尼器的阻尼力與速度成正比，方向和速度相反。這是，阻尼系數(shù)為 2、 粘性阻尼自由振動具有粘性阻尼的單自由度系統(tǒng)

7、的理論模型，粘性阻尼力與相對速度成正比，應(yīng)用牛頓定律，可列出系統(tǒng)的運動方程其中無阻尼固有頻率和阻尼比分別是動力學(xué)方程：系統(tǒng)的特征方程或頻率方程方程的特征值的表達式可寫成當(dāng)1，這時，系統(tǒng)叫做過阻尼系統(tǒng)或強阻尼系統(tǒng)，其特征值為倆個實數(shù)，即3、 結(jié)構(gòu)阻尼內(nèi)摩擦所消耗的能量等于滯回環(huán)所圍面積其中k是等效彈簧常數(shù)，A是振幅，等效粘性阻尼系數(shù)是其中是無量綱的結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)第5節(jié) 簡諧激勵作用下的強迫振動1、 簡諧激勵力作用下的強迫振動單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的強迫振動的理論模型系統(tǒng)的運動方程為式中F為激勵力振幅，w為激勵頻率。方程是一個非齊次方程，在一般情況下，還受到初始條的作用，實部和虛部分別與和相

8、對應(yīng)受力分析振動微分方程為X為復(fù)數(shù)變量，分別與和相對應(yīng)，對于此方程的通解等于齊次微分方程的通解與非齊次微分方程特解之和，即暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)假定方程的特解為式中為復(fù)振幅，代入方程中，有式中X為振幅，是復(fù)振幅的模，繼而得到方程的相角，是復(fù)振幅的幅角，有因此，方程的特解為對于欠阻尼系統(tǒng)，齊次方程的通解為因此，對于弱阻尼系統(tǒng)，方程的通解為定義強迫振動的振幅X與Xo的比為放大因子，用M表示，則有式中Xo=F/k,r=w/,Xo叫做等效靜位移，r叫做頻率比。（類似）當(dāng)r0是，M1，而與阻尼無關(guān)，這意味著，當(dāng)激勵頻率接近于零時，振幅與靜位移相近。當(dāng)r時，M0，也與阻尼大小無關(guān)，在激勵頻率很高時，振幅趨于零

9、，質(zhì)量不能跟上力的快速變化，將停留在平衡位置不動。當(dāng)r=1時，=0，在理論上M,將產(chǎn)生共振現(xiàn)象。強迫振動和激勵力之間有相位差，方程可改寫成下圖便是以為參數(shù)，相角隨r，即w變化的曲線2、 旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強迫振動在許多旋轉(zhuǎn)機械中，轉(zhuǎn)動部分總存在著質(zhì)量不平衡，所以構(gòu)建了如下圖的系統(tǒng)列出系統(tǒng)的運動方程為系統(tǒng)的放大因子可表示為其關(guān)系曲線表示在圖上第6節(jié) 簡諧激勵強迫振動理論的應(yīng)用1、 隔振用來消除對機器、儀器和設(shè)備的工作性能產(chǎn)生有害影響振動的措施叫做隔振，隔振分為倆種，積極隔振和消極隔振。積極隔振：把震源與地基隔離開來以減少它對周圍的影響而采取的措施叫做積極隔振。 消極隔振：為了減少外界震動對設(shè)備

10、的影響而采取的隔振措施叫做消極隔振。 2、 振動測試儀器1、位移傳感器2、 加速度傳感器 3、 速度傳感器 第7節(jié) 非簡諧激勵作用下的系統(tǒng)響應(yīng)1、 奏起激勵作用下的強迫振動對于線性系統(tǒng)在受到周期激勵作用時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計算為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 2、 非周期激勵作用下的系統(tǒng)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)受到單位脈沖的激勵作用下的系統(tǒng)響應(yīng)為第三章 兩自由度系統(tǒng)第1節(jié) 無阻尼自由振動1、 固有模態(tài)振動凡需要用倆個獨立坐標來描述其運動的系統(tǒng)都是兩自由度系統(tǒng)。由圖建立坐標，坐標和是倆個獨立的坐標，它們完全描述了系統(tǒng)在任何時刻的運動。根據(jù)牛頓定律得常數(shù)矩陣和分別叫做質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。第2節(jié) 無阻尼強迫振動對于兩自由度系統(tǒng)

11、，無阻尼強迫振動運動方程的一般形式可表示為把強迫振動方程寫成簡明的形式用代替方程的解為由于現(xiàn)在討論的事物阻尼系統(tǒng)，和表達中 各元素都是實數(shù)，因此，與單自由度系統(tǒng)無阻尼強迫振動相同，對于不同的激勵頻率，相角和值分別為0或，這些曲線分別叫做幅頻特性曲線和相頻特性曲線。第3節(jié) 無阻尼吸振器設(shè)計安裝一個由質(zhì)量和彈簧都不同的輔助系統(tǒng)吸振器 。形成的兩自由度系統(tǒng)，運動方程為解方程，得式中，為主系統(tǒng)的固有頻率，為吸振器的固有頻率，為主系統(tǒng)的等效靜位移。吸振器質(zhì)量與主系統(tǒng)質(zhì)量的比。 第4節(jié) 有阻尼振動一、自由振動一個具有粘性阻尼的兩自由度系統(tǒng) 如下圖所示把方程寫成矩陣形式對于阻尼系統(tǒng)，自由振動運動方程一般形式

12、表示為假定方程的解為有阻尼振動分別有自由振動、強迫振動組成。與有阻尼單自由度系統(tǒng)相同，由初始條件引起的自由自由振動系統(tǒng)的運動，將隨時間不短減小。這表明系統(tǒng)的運動將是振幅按指數(shù)函數(shù)衰減的簡諧運動。兩自由度有阻尼系統(tǒng)強迫振動運動對于線性系統(tǒng)，疊加原理在這里也成立，對于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，用復(fù)指數(shù)法求解。第5節(jié) 位移方程1、 柔度影響系數(shù)定義彈簧常數(shù)為k的彈簧的柔度系數(shù)為d=1/k則對于前面討論的系統(tǒng)的運動方程表示為或其中叫做柔度矩陣，其元，叫做柔度影響系統(tǒng)，定義為 即，值在j點作用已單位力時，在i點引起的位移的大小。利用柔度影響系數(shù)的定義，就可以確定系統(tǒng)的柔度矩陣。對于系統(tǒng)的剛度矩陣，其元素，也叫做剛

13、度影響系數(shù)，定義為 它表明只在j點產(chǎn)生一單位位移時，在i點需要施加的力的大小。利用這一定義可以確定系統(tǒng)的剛度矩陣。對于有阻尼系統(tǒng)，阻尼矩陣的元素阻尼影響系數(shù)也可按其定義以類似的方法確定。改寫為因而有 與位移方程相比較，得系統(tǒng)的柔度矩陣是系統(tǒng)剛度矩陣的逆矩陣，但系統(tǒng)的剛度必須是非奇異的。 第四章 多自由度系統(tǒng)第1節(jié) Lagrange 方程對于許多復(fù)雜的機械系統(tǒng)，利用Lagrange方程去建立系統(tǒng)的運動方程常常是非常有效的。Lagrange方程的一般形式可表示為 i=1,2,.,n式中是廣義坐標，對于n自由度系統(tǒng)有n個廣義坐標。沿廣義坐標方向作用的廣義力。T是系統(tǒng)的動能函數(shù)，U是系統(tǒng)的勢能函數(shù)，D

14、是系統(tǒng)的散逸函數(shù)。列出系統(tǒng)的勢能、動能和散逸函數(shù)后，由Lagrange方程可得到n自由度系統(tǒng)的運動方程第2節(jié) 無阻尼自由振動和特征值問題n個自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動方程為方程表明，時間函數(shù)和空間函數(shù)是可以分離的，方程左邊與下標i無關(guān)，方程右邊與時間無關(guān)，因此，其比值一定是一個常數(shù)。是時間的實函數(shù)，比值一定是一個實數(shù)，假定為，有把它寫成矩陣的形式，為式中也可表示為解上面兩個方程的問題叫做矩陣和的特征值問題。方程的通解為第3節(jié) 特征向量的正交性和主坐標對于一個n自由度系統(tǒng)，其第r階特征值對應(yīng)的特征向量為，其第s階特征值對應(yīng)的特征向量為，它們都滿足前面的方程，因而有由于，只有同理可以得到上兩個

15、方程表示了系統(tǒng)特征向量的正交關(guān)系，是對質(zhì)量矩陣 ，剛度矩陣加權(quán)正交。必須強調(diào)，正交性關(guān)系僅當(dāng)剛度和質(zhì)量矩陣為對稱矩陣時才成立。由于特征向量（r=1,2,.,n)的絕對值不是唯一的，振型矩陣也不是唯一的，所以描述系統(tǒng)運動的主坐標也不是唯一的，實際上，可能有無限多組主坐標。第4節(jié) 對初始條件的響應(yīng)和初值問題N自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動表達式為待定常數(shù)和，由施加于系統(tǒng)的初始條件決定。若施加于系統(tǒng)的初始條件，則有即第5節(jié) 半確定系統(tǒng)如果有一個系統(tǒng)，它的運動方程為變換，用主坐標描述系統(tǒng)的運動，運動的方程成為且有，可得因而有和為任意常數(shù)。方程表示，整個系統(tǒng)沿主坐標的運動是一個剛體運動，沒有發(fā)生彈性變形，它

16、也是系統(tǒng)的一個固有模態(tài)運動。當(dāng)有一個或幾個固有頻率等于零的系統(tǒng)叫做半確定系統(tǒng)。并且具有半正定剛度矩陣的系統(tǒng)是一個半確定系統(tǒng)。第6節(jié) 具有等固有頻率的系統(tǒng)機械系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)的對稱性或其他原因，系統(tǒng)可能具有重特征值，也就是有相等的固有頻率運動限于xy平面內(nèi)，兩個彈簧直交并相等。在微幅振動時，系統(tǒng)的運動方程為它們有兩個相等的固有頻率，是一個退化的系統(tǒng)。線性代數(shù)表明，無論系統(tǒng)是否具有重特征值，系統(tǒng)的所有特征向量有正交關(guān)系。對于重特征值，有下列關(guān)系式中為矩陣伴隨矩陣的（l-1）階導(dǎo)數(shù)。因而，對于重特征值的l列特征向量與的l列非零列成正比。可以利用來確定重特征值的特征向量。對于其余非重特征值，仍保持方程中的關(guān)系，利用來確定其對應(yīng)的特征向量。第7節(jié) 無阻尼強迫振動和模態(tài)分析一個n自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動方程為式中是外激勵力向量。如果外激勵力時簡諧激勵力、周期激勵力或不同頻率的簡諧激勵力的某種組合時，利用振型矩陣，把描述系統(tǒng)運動的坐標，從一般的廣義坐標變成主坐標，把運動方程變成一組n個獨立的方程，叫做模態(tài)分析法。使用它使得強迫振動運動方程的求解和分析大為簡化。要解矩