1、三角形中的最值問題 山東莘縣觀城中學(xué) 郭銀生解三角形問題，可以較好地考察三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，恒等變換，邊角轉(zhuǎn)化等知識點，是三角，函數(shù)，解析幾何和不等式的知識的交匯點，在高考中容易出綜合題，其中，三角形中的最值問題又是一個重點。其實，這一部分的最值問題解決的方法只有兩種，建立目標函數(shù)后，可以利用重要不等式解決，也可以利用三角函數(shù)的有界性。下面舉例說明： 例1要是斜邊一定的直角三角形周長最大，它的一個銳角應(yīng)是（ ） A /4 B. /3 C. /6 D.正弦值是1/3的銳角 解：解法1.（三角函數(shù)的有界性）設(shè)斜邊為c，其一個銳角是，周長是L,則兩個直角邊是csin 和ccos，故 L=c+csin

2、 +ccos =c+1.414csin(+ /4 ) 0/2 當+ /4 =/2時，Lmax=c+1.414c 故選A 解法2.設(shè)兩條直角邊為a,b,周長為L，則斜邊c=是定值。 L=a+b+=(+1) (當且僅當a=b時取等號)即三角形是等腰直角三角形，周長取得最大值時，其一個銳角是 /4 從而選A.例2已知直角三角形周長是1，其面積的最大值為 .方法.（三角函數(shù)的有界性）設(shè)該直角三角形的斜邊是c，一個銳角是A，面積是S，則兩條直角邊是csinA和ccosA，根據(jù)題意csinA+ccosA+c=1,即c= S=csinA*ccosA=sin2A (當且僅當A=/4時取等號)把A=/4代入得c

3、= S=*()=例3已知圓o的半徑是R，在它的內(nèi)接ABC中，有2R(sinA-sinC)=(a-b)sinB成立，求ABC的面積S的最大值。解：根據(jù)題意得： 2R(-)=(a-b)*化簡可得 c=a+b-ab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135-A)=(sin(2A+45)+10A135 452A+45315 當2A+4590即A=15時，S取得最大值。點評：（1）.對三角形面積S的表達式得處理，也可利用積化和差公式，但這一公式在新教材中已不作要求。（2）.利用余弦定理或正弦定理化角為邊體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想

4、。例4在ABC中，角A,B,C的對邊是a,b,c, ABC的外接圓半徑R=,且（1） 求B和b的值（2） 求ABC面積的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,邊b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(當且僅當a=b時取等號)即ac=9(當且僅當a=b=3時取等號)三角形得面積s=acsinB*9*sin60=三角形得面積的最大值是練習(xí)：ABC中，若AB=1,BC=2,則C的取值范圍是 （答案：解法1