1、難點(diǎn)9 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會(huì)用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn)磁場(chǎng)()設(shè)f(x)=log2,F(x)=+f(x).(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；(2)若f(x)的反函數(shù)為f1(x),證明：對(duì)任意的自然數(shù)n(n3),都有f1(n);(3)若F(x)的反函數(shù)F1(x),證明：方程F1(x)=0有惟一解.案例探究例1已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)C、D和

2、原點(diǎn)O在同一條直線上；(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).命題意圖：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：(1)證明三點(diǎn)共線的方法：kOC=kOD.(2)第(2)問(wèn)的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo).錯(cuò)解分析：不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問(wèn)題.技巧與方法：本題第一問(wèn)運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問(wèn)運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)A的坐標(biāo).(1)證明：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,由題意知：x11,x21,則A、B縱坐標(biāo)分別為log8x1,log8x2.因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以,

3、點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以O(shè)C的斜率：k1=,OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一條直線上.(2)解：由BC平行于x軸知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,x13=3x1.又x11,x1=,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log8).例2在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)

4、的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形.(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列Cn前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由.命題意圖：本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)、最值等知識(shí)點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個(gè)思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對(duì)綜合知識(shí)分析和運(yùn)用的能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識(shí).錯(cuò)解分析：考生對(duì)綜合知識(shí)不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.技巧

5、與方法：本題屬于知識(shí)綜合題，關(guān)鍵在于讀題過(guò)程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，并會(huì)運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)去解決問(wèn)題.解：(1)由題意知：an=n+,bn=2000().(2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn,即()2+()10,解得a5(1).5(1)a10.(3)5(1)a10,a=7bn=2000().數(shù)列bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n2,Bn=bnBn1.于是當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1,當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1,因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿(mǎn)足不等式bn1且bn+11時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1a)x

6、的圖象只可能是( )二、填空題3.()已知函數(shù)f(x)=.則f-1(x1)=_.4.()如圖，開(kāi)始時(shí)，桶1中有a L水，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=aent,那么桶2中水就是y2=aaent,假設(shè)過(guò)5分鐘時(shí)，桶1和桶2的水相等，則再過(guò)_分鐘桶1中的水只有.三、解答題5.()設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x3a)(a0且a1),當(dāng)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q(x2a,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點(diǎn).(1)寫(xiě)出函數(shù)y=g(x)的解析式；(2)若當(dāng)xa+2,a+3時(shí)，恒有|f(x)g(x)|1,試確定a的取值范圍.6.()已知函數(shù)f(x)=logax(a0且a1),(x(

7、0,+),若x1,x2(0,+),判斷f(x1)+f(x2)與f()的大小，并加以證明.7.()已知函數(shù)x,y滿(mǎn)足x1,y1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0且a1),求loga(xy)的取值范圍.8.()設(shè)不等式2(logx)2+9(logx)+90的解集為M，求當(dāng)xM時(shí)函數(shù)f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：(1)由0,且2x0得F(x)的定義域?yàn)?1，1)，設(shè)1x1x21,則F(x2)F(x1)=()+(),x2x10,2x10,2x20,上式第2項(xiàng)中對(duì)數(shù)的真數(shù)大于1.因此F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1

8、),F(x)在(1，1）上是增函數(shù).(2)證明：由y=f(x)=得：2y=,f1(x)=,f(x)的值域?yàn)镽，f-1(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)n3時(shí)，f-1(n).用數(shù)學(xué)歸納法易證2n2n+1(n3),證略.(3)證明：F(0)=,F1()=0,x=是F1(x)=0的一個(gè)根.假設(shè)F1(x)=0還有一個(gè)解x0(x0),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0).這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)又g(x)+h(x)=lg(10x+1).即g(x)+h(x)=lg(10x+1)由得：g(x)=,h(x)=lg(10x

9、+1).答案：C2.解析：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a1時(shí)，y=(1a)x為減函數(shù).答案：B二、3.解析：容易求得f- 1(x)=,從而：f1(x1)=答案：4.解析：由題意，5分鐘后，y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=ln2.設(shè)再過(guò)t分鐘桶1中的水只有,則y1=aen(5+t)=,解得t=10.答案：10三、5.解：(1)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則x=x2a,y=y.即x=x+2a,y=y.點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=loga(x3a)的圖象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga.(2)由題意得x3a=(a+2)3a=2

10、a+20;=0,又a0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上為減函數(shù)，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上為減函數(shù)，從而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解.由loga(96a)1解得0a,由loga(44a)1解得0a,所求a的取值范圍是0a.6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax

11、2=logax1x2,x1,x2(0,+),x1x2()2(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào))，當(dāng)a1時(shí)，有l(wèi)ogax1x2loga()2,logax1x2loga()，(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào))當(dāng)0a1時(shí)，有l(wèi)ogax1x2loga()2,(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)）.7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐標(biāo)系uOv內(nèi)，圓弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)與平行直線系v=u+k有公共點(diǎn)，分兩類(lèi)討論.(1)當(dāng)u0,v0時(shí)，即a1時(shí)，結(jié)合判別式法與代點(diǎn)法得1+k2(1+);(2)當(dāng)u0,v0,即0a1時(shí)，同理得到2(1)k1.x綜上，當(dāng)a1時(shí)，logaxy的最大值為2+2，最小值為1+；當(dāng)0a1時(shí)，