1、專題28 立體幾何的向量方法一、考綱要求：1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些簡單定理(包括三垂線定理).4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用二、概念掌握及解題上的注意點：1.利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系，準確寫出相關(guān)點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.2.用向量證明垂直的方法(1）)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.(2）)線面垂直：證明直線的

2、方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.(3）)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?3.利用向量法求異面直線所成的角的步驟(1）)選好基底或建立空間直角坐標系.(2）)求出兩直線的方向向量v1，v2.(3）)代入公式|cosv1，v2|求解.4.求線面角方法：(1）)線面角范圍，向量夾角范圍為0，.(2）)線面角的正弦值等于斜線對應向量與平面法向量夾角余弦值的絕對值.即sin .即斜向量，n為平面法向量. 例5.（2020天津卷）如圖，ADBC且AD=2BC，ADCD，EGAD且EG=AD，CDFG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=

3、DC=DG=2（）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN平面CDE；（）求二面角EBCF的正弦值；（）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60，求線段DP的長【答案】（）見解析；（）；（）（）解：依題意，可得，設(shè)為平面BCE的法向量，則，不妨令z=1，可得設(shè)為平面BCF的法向量，則，不妨令z=1，可得因此有cos=，于是sin=二面角EBCF的正弦值為；例6.（2020浙江卷）如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2（）證明：AB1平面A1B1C1；（）求直線AC1與平面

4、ABB1所成的角的正弦值【答案】（）見解析；（）【解析】：（I）證明：A1A平面ABC，B1B平面ABC，AA1BB1，AA1=4，BB1=2，AB=2，A1B1=2，又AB1=2，AA12=AB12+A1B12，AB1A1B1，同理可得：AB1B1C1，又A1B1B1C1=B1，AB1平面A1B1C1設(shè)平面ABB1的法向量為=（x，y，z），則，令y=1可得=（，1，0），cos=設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為，則sin=|cos|=直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值為例7.（2020上海卷）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2（1）設(shè)圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；（2）

5、設(shè)PO=4，OA、OB是底面半徑，且AOB=90，M為線段AB的中點，如圖求異面直線PM與OB所成的角的大小【答案】（1）；（2）arccos【解析】：（1）圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4，圓錐的體積V=設(shè)異面直線PM與OB所成的角為，則cos=arccos異面直線PM與OB所成的角的為arccos立體幾何向量方法一、選擇題1若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2,0，4)，則 ()AlBlClDl與相交【答案】B【解析】：n2a，a與平面的法向量平行，l. 18如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，PACD，PA1，PD，E為PD上

6、一點，PE2ED.(1)求證：PA平面ABCD；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由【答案】見解析則n(1,1，2)假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，且(01)，使得BF平面AEC，則n0.又(0,1,0)(，)(，1，)，n120，存在點F，使得BF平面AEC，且F為PC的中點19如圖，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M為CD的中點，求證：AM平面AA1B1B；(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值【答案】(1)見解析；(2)【解析】

7、：(1)證明：四邊形ABCD為菱形，BAD120，連接AC，則ACD為等邊三角形，又M為CD的中點，AMCD，由CDAB得AMAB.AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面AA1B1B. 設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則有令x1，則n(1，1)直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值sin |cosn，1|.20如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點求證：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.【答案】見解析【解析】：證明建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz.(2)(0

8、,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，0120(2)00，PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.21如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值【答案】(1) ；(2) (1)(，1，)，(，1，)，則cos，因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)解：平面A1DA的一個法向量為(，0,0)設(shè)m(x，y，z)為平面BA1D的一個法向量，又(，1，)，(，3,0)，則即因此二面角BA1DA的正弦值為. 22如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中點 (1)證明：直線CE平面PAB；(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角MABD的余弦值. 【答案】(1)見解析；(2) 【解析】：(1)證明：取PA的中點F，連接EF，BF.因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)解：由已知得BAAD，以A為坐標原點，的方向為x軸正