1、內(nèi) 容 摘 要金融市場中風(fēng)險無處不在，投資者為了獲取投資收益的最大化，就要進(jìn)行有效的風(fēng)險管理，而管理的首要任務(wù)就是對金融風(fēng)險進(jìn)行度量。作為一種有效的金融風(fēng)險度量手段，風(fēng)險價值法由于其概念簡單易懂、計算方便的優(yōu)點而獲得了廣泛的應(yīng)用。由于傳統(tǒng)風(fēng)險價值計算模型在假設(shè)方面存在與現(xiàn)實情況不符的缺陷，我們選用了更為有效合理的Copula-GARCH模型來計算組合的風(fēng)險價值。本文研究內(nèi)容包括兩部分，第一部分是理論知識，對Copula函數(shù)、邊際分布函數(shù)和VaR的基本理論作了簡單的介紹。第二部分為實證分析，利用Eviews和Matlab軟件對上證指數(shù)和深圳成指構(gòu)建的資產(chǎn)組合做實證分析，選用GARCH（1，1）模

2、型和t-GARCH(1,1)模型描述變量的邊際分布，選用合適的Copula函數(shù)刻畫資產(chǎn)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，最后將兩者結(jié)合計算投資組合的風(fēng)險價值。關(guān)鍵詞：風(fēng)險價值 Copula GARCH模型基于Copula的風(fēng)險管理實證分析一、 緒論（一）選題背景及意義國家間貿(mào)易往來越來越頻繁，全球金融市場之間的聯(lián)系更加的緊密，任何地區(qū)的金融波動都有可能迅速波及到其他地區(qū)金融市場，進(jìn)而引起全球性的金融危機(jī)。近年來盛行的金融創(chuàng)新活動，更是增加了市場波動的可能性，同時使得風(fēng)險更加的隱蔽，金融風(fēng)險的破壞力也大大提高。面對波動劇烈的金融市場，要想獲取最大化的收益，就必須進(jìn)行有效的風(fēng)險管理，而進(jìn)行管理的第一步就是對金融風(fēng)險進(jìn)

3、行度量。過去學(xué)者們提出了各種風(fēng)險度量方法，按照性質(zhì)進(jìn)行劃分可以將其分為三大類：彈性法、波動性法和風(fēng)險價值VaR法。在這三種風(fēng)險管理方法中，VaR法較為基本和實用。VaR就是指給定置信水平下投資組合損失的最大值，此法能夠用一個確定的數(shù)字對風(fēng)險狀況進(jìn)行描述，且概念較易理解，因此得到了廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的VaR法假設(shè)單個資產(chǎn)變量服從正態(tài)分布，且資產(chǎn)變量之間都是用線性相關(guān)系數(shù)進(jìn)行描述，但現(xiàn)實情況是，金融市場各資產(chǎn)收益率分布并不簡單的服從正態(tài)分布，常常表現(xiàn)出“高峰厚尾”的性質(zhì)，同時資產(chǎn)之間常常表現(xiàn)出非線性相關(guān)關(guān)系，在如此復(fù)雜的市場狀況下，傳統(tǒng)的金融計量模型由于假設(shè)過于偏離實際情況，在此假設(shè)下計算出的風(fēng)險價

4、值的準(zhǔn)確性就有待商榷，因此迫切的需要一種能夠準(zhǔn)確的描述金融資產(chǎn)間相關(guān)性的模型。Copula模型的出現(xiàn)正好解決了這一問題。Copula函數(shù)能夠?qū)⒆兞康倪呺H分布和變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開進(jìn)行考慮，且沒有限制邊際分布的類型，這極大地提高了模型擬合的準(zhǔn)確性和結(jié)果的精度，基于Copula的優(yōu)勢，本文選用Copula進(jìn)行相關(guān)投資組合的實證分析中。（二）文獻(xiàn)綜述Copula的研究始于Frchet，統(tǒng)計學(xué)家Sklar（1959）首次使用了Copula這個名稱，并給出了著名的Sklar定理。Copula理論指出任一聯(lián)合分布函數(shù)都可以由單變量的邊際分布和一個Copula函數(shù)組合構(gòu)成，Copula函數(shù)表示變量間的相關(guān)

5、結(jié)構(gòu)關(guān)系， Sklar同時證明了在各邊際分布是連續(xù)的情況下Copula函數(shù)的唯一性。在Sklar定理的基礎(chǔ)之上，之后的學(xué)者對理論做了進(jìn)一步的發(fā)展， Nelson于1999年對Copula函數(shù)的定義及構(gòu)造方法作了系統(tǒng)的介紹，對Copula函數(shù)的性質(zhì)和類型作了全面總結(jié)歸納，從理論上對Copula應(yīng)用于度量相關(guān)性及構(gòu)建變量聯(lián)合分布領(lǐng)域作了深入的討論，自此，Copula得到了更多的重視。1999年，Embrechts等學(xué)者將Copula函數(shù)應(yīng)用于金融數(shù)量分析中，在研究金融變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)問題時創(chuàng)新性的使用了Copula函數(shù)，并將之與傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)度量結(jié)果進(jìn)行比較，總結(jié)了用Copula函數(shù)度量相關(guān)

6、結(jié)構(gòu)的優(yōu)點。之后經(jīng)過不斷的創(chuàng)新與發(fā)展，Copula理論被成功的引入了金融市場，應(yīng)用于各個領(lǐng)域的研究當(dāng)中。2001年，Bouy深入研究了Copula函數(shù)在金融市場風(fēng)險管理中的應(yīng)用，Rockinger等將GARCH（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity）模型與Copula相結(jié)合，將構(gòu)建金融變量聯(lián)合分布分為兩個步驟，利用GARCH模型構(gòu)建邊際分布，用Copula函數(shù)描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，建立了Copula-GARCH模型, 對金融變量的相依性和風(fēng)險加以研究，發(fā)現(xiàn)t-Copula能較為準(zhǔn)確的刻畫金融變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。200

7、1年，Patton將Copula函數(shù)從不變參數(shù)拓展到變參數(shù)的情況，2006年，Jondeau等將Copula-GARCH模型應(yīng)用于國際股票市場的相關(guān)研究當(dāng)中，經(jīng)過不斷地發(fā)展，Copula函數(shù)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，漸漸也被應(yīng)用于投資組合風(fēng)險價值的計算當(dāng)中。在國內(nèi)，2002年，張堯庭首次向國內(nèi)學(xué)者介紹了Copula函數(shù)，作者重點介紹了Copula函數(shù)在金融市場特別是股票市場中的應(yīng)用，作者認(rèn)為可以將市場中所有股票價格的聯(lián)合分布拆分成股票市場不同板塊的聯(lián)合分布，再用合適的Copula函數(shù)將這些板塊整合在一起，從而將股票市場的風(fēng)險進(jìn)行分解，并展望了Copula在金融風(fēng)險中的應(yīng)用前景。此后， Cop

8、ula函數(shù)受到了國內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，但國內(nèi)很多學(xué)者的研究大多只停留在理論層面，對Copula理論的應(yīng)用還有待進(jìn)行更深一步的探討。（三）研究框架本文主要內(nèi)容為利用Copula函數(shù)對國內(nèi)股票指數(shù)的風(fēng)險價值做相應(yīng)的實證分析。由于金融市場中金融資產(chǎn)收益率的厚尾性和資產(chǎn)之間非線性相關(guān)的特征，本文選用恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)對金融資產(chǎn)相關(guān)性進(jìn)行描述，用GARCH模型描述資產(chǎn)的邊際分布，兩者結(jié)合對投資組合的多元聯(lián)合分布進(jìn)行描述，據(jù)此計算投資組合的風(fēng)險價值。本文內(nèi)容大致可以分兩大塊。第一部分簡要介紹了Copula以及VaR的基本理論，給出了Copula函數(shù)的定義和Sklar定理，并列舉了幾種將會在本文的實證研究中用

9、到的Copula函數(shù)，同時介紹了金融時間序列的邊際分布模型以及風(fēng)險價值的基本理論。第二部分為實證研究，本文選用上證和深成兩種股票指數(shù)為研究對象，計算其投資組合的風(fēng)險價值。進(jìn)行實證分析時，利用Eviews軟件對上證指數(shù)和深圳成指的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，然后選用恰當(dāng)?shù)腉ARCH模型作為收益率的邊際分布，并對其參數(shù)進(jìn)行了估計，利用MATLAB對選取的Copula函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計，最后將Copula函數(shù)與有關(guān)的GARCH模型結(jié)合起來計算投資組合的風(fēng)險價值。二、Copula和VaR基本理論（一）Copula函數(shù)介紹Copula函數(shù)刻畫了多個隨機(jī)變量的邊際分布函數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。根據(jù)在下文中將要介紹的

10、Sklar定理，多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布是某個Copula函數(shù)和各隨機(jī)變量的邊際分布的復(fù)合，這提供了研究聯(lián)合分布的直接方法。在具體應(yīng)用Copula函數(shù)時，將變量的邊際分布同各分量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開進(jìn)行估計和計算，用不同的函數(shù)對資產(chǎn)收益率做擬合，選擇的多樣性提高了擬合的準(zhǔn)確性，此法非常適合研究具有不同邊際分布的隨機(jī)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)信息。同時，Copula函數(shù)比相關(guān)系數(shù)提供了更多關(guān)于聯(lián)合分布函數(shù)的信息，可以更為全面和準(zhǔn)確的刻畫隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系。首先我們簡單介紹著名的Sklar定理以及多元Copula函數(shù)的定義。1、多元Copula函數(shù)的定義1999年，Nelson對n元Copula函數(shù)的性質(zhì)作了

11、如下總結(jié)：（1）定義域為：IN，即0,1N；（2）對于函數(shù)的任一變量，都是非減的，即固定其他變量的值，函數(shù)值隨其中一個變量的增加而增加，或者不變。同時，只要有一個變量的取值為0，則相應(yīng)的函數(shù)值為0，若有變量的取值為1，則函數(shù)值有完全由其他變量決定；（3）的邊際分布，且滿足：，其中，。2、多元分布的Sklar定理設(shè)為聯(lián)合分布函數(shù)，為其邊際分布為，則存在函數(shù)，滿足，且若連續(xù)，則函數(shù)C是唯一的。反過來說，若知道一元分布和相應(yīng)的Copula函數(shù)，那么我們可以構(gòu)造變量的聯(lián)合分布函數(shù)。根據(jù)以上定理，我們不僅可以通過邊際分布函數(shù)和相應(yīng)的Copula函數(shù)構(gòu)造聯(lián)合分布函數(shù)，還可以利用偽逆函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)來求解

12、相應(yīng)的Copula函數(shù)。3、幾類常見的Copula函數(shù)Copula函數(shù)分為以下四類：正態(tài)Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)、阿基米德Copula函數(shù)和極值Copula函數(shù)韋艷華,張世英.Copula理論及其在金融分析上的應(yīng)用M.北京:清華大學(xué)出版社,2008:16-20.。Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)是三類常用的阿基米德Copula函數(shù)。本文我們選取了五種Copula函數(shù)對隨機(jī)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。五種Copula函數(shù)的具體定義如下：（1）正態(tài)Copula函數(shù)。其中，為多元正態(tài)分布；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆函數(shù)；（2）t-Co

13、pula函數(shù)，其中，為多元分布，為分布的逆函數(shù)；（3）Gumbel Copula函數(shù)，其中，；（4）Clayton Copula函數(shù)，其中，；（5）Frank Copula函數(shù)，其中，時，。（二）邊際分布模型在構(gòu)建多個金融變量的Copula模型時，第一步就是要確定單個資產(chǎn)的邊際分布。波動是金融市場極為普遍的現(xiàn)象，它隨時間變化而變化，正確的邊際分布模型需要能夠全面刻畫這一特征。由于 GARCH模型可以較好刻畫這一波動性，因此本文我們選用GARCH模型對時間序列邊際分步進(jìn)行描述。設(shè)是金融變量的收益率序列，GARCH模型定義如下： （1） （2） （3）、其中，；，。表示收益率的均值，是過程殘差的函

14、數(shù)，是已知信息集，是過程的條件方差。根據(jù)以上幾式我們可以很容易的得到。式（2）還可以寫作以下兩式：，。其中稱為標(biāo)準(zhǔn)化殘差，這樣的模型被稱為GARCH（p，q）模型，而稱服從GARCH（p，q）過程。通常情況下，簡潔的GARCH（1，1）模型能滿足建模要求,而GARCH(1,1)-t模型能更好地描述一些金融時間序列分布的高峰厚尾現(xiàn)象，于是本文選用正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的GARCH模型估計股票指數(shù)收益率的邊際分布。下面我們簡單介紹一下本文具體用到的這兩個過程。1、GARCH(1,1)過程GARCH(1,1)是最簡單的GARCH過程，它的條件方差函數(shù)為 （4）其中。GARCH(1,1)是平穩(wěn)的充要條

15、件是。2、GARCH(1,1)-t過程GARCH(1,1)-t的條件方差函數(shù)與（4）式相同，不同的是過程殘差服從分布為：，其中表示自由度為的標(biāo)準(zhǔn)t分布。（三）VaR簡介1、VaR的定義設(shè)市場上的n個基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)，收益率向量為,資產(chǎn)配置權(quán)重為，設(shè)為資產(chǎn)組合的損失函數(shù)，損失L的分布函數(shù)為，則，對于選定的置信水平，組合在-置信水平下的VaR定義為損失函數(shù)的分位數(shù)，即：。2、VaR的計算方法本文利用Copula-GARCH模型構(gòu)建投資組合的聯(lián)合分布函數(shù)，結(jié)合模型與蒙特卡洛模擬，在一定投資權(quán)重的情況下計算VaR的步驟如下：（1）選取合適的邊際分布和Copula函數(shù)，利用收益數(shù)據(jù)估計函數(shù)參數(shù)。（2）產(chǎn)生服

16、從（0,1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)對u、w（3）令，、分別為變量的邊際分布函數(shù)，本文是指上證指數(shù)和深圳成指的邊際分布函數(shù)，求出隨機(jī)數(shù)對應(yīng)的資產(chǎn)收益的值。（4）根據(jù)數(shù)對(x,y)計算的值。其中為第一種資產(chǎn)在投資組合中所占的比重。（5）不斷重復(fù)以上步驟，對投資組合未來收益進(jìn)行模擬，由此可得到組合未來收益的經(jīng)驗分布，根據(jù)選取的置信水平進(jìn)行截斷，截斷點的值即為模擬出的投資組合的風(fēng)險價值。三、運(yùn)用Copula函數(shù)的實證分析（一）數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析本文從網(wǎng)易財經(jīng)門戶網(wǎng)站上獲取了上證綜合指數(shù)（SH）和深圳成份指數(shù)（SZ）每日收盤價為樣本，樣本時間段為2011年4月1日到2014年3月31日，共725組有效數(shù)據(jù)。定義日

17、收益率為：，其中是股指在t時刻的收盤價，假設(shè)采用等權(quán)重投資。下面是利用Eviews軟件對股指的收益率序列進(jìn)行相關(guān)的統(tǒng)計分析結(jié)果：圖1：SH收益率序列直方圖和統(tǒng)計量圖2：SZ收益率序列直方圖和統(tǒng)計量由以上的統(tǒng)計分析圖我們可以看出，上證指數(shù)偏度Skewness小于0,呈左偏分布，深圳成指偏度Skewness大于0，呈右偏分布。正態(tài)分布的峰度K=3，而上述收益率序列的峰度Kurtosis均大于3，說明序列分布的尾部比正態(tài)分布的尾部厚，其分布呈現(xiàn)出“高瘦”形狀，即“尖峰”。從J-B統(tǒng)計量的值和概率我們可以看出，序列并不是簡單地服從正態(tài)分布，因此在正態(tài)假設(shè)下的VaR的計算就會產(chǎn)生較大的誤差，需要找到合適

18、的模型對邊際分布進(jìn)行更加準(zhǔn)確地估計。只有時間序列是平穩(wěn)的才能對其進(jìn)行估計，因此在估計股指收益率的邊際分布之前要對序列進(jìn)行單位根檢驗，利用Eviews軟件的檢驗結(jié)果如圖3、圖4所示：圖3：SH平穩(wěn)性檢驗結(jié)果圖4：SZ平穩(wěn)性檢驗結(jié)果由以上分析結(jié)果可以看出，由于兩序列的t統(tǒng)計量值相應(yīng)的概率值P非常小，因此可以認(rèn)為兩收益率序列均為平穩(wěn)的時間序列，因此可以直接用GARCH模型進(jìn)行擬合。圖5：SH方程回歸殘差的相關(guān)圖和Q統(tǒng)計量圖6：SZ方程回歸殘差的相關(guān)圖和Q統(tǒng)計量由以上分析圖可看到，收益率序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)大多數(shù)都在95%的置信區(qū)間內(nèi)，只有在滯后階數(shù)為6、7、10處超出了置信區(qū)間。從最后一列的概

19、率值可以看出Q統(tǒng)計量的值也不顯著，超出了10%的檢驗水平，由此我們可以推出收益率不存在自相關(guān)，因此，可以對收益率序列的均值方程建立如下的形式：。（二）邊際分布的估計在估計上證綜指和深圳成指的邊際分布時，我們選用了形式簡單的GARCH（1，1）模型進(jìn)行估計，在不知道殘差的具體分布時，假設(shè)GARCH模型的隨機(jī)誤差項的分布形式為正態(tài)分布和學(xué)生t分布兩種形式。對模型參數(shù)使用的估計方法為極大似然法。表1：SH邊際分布參數(shù)估計表自由度均值方程方差方程AICSICCC3-0.2.99E-05-0.0.-6.-6.4-0.2.39E-05-0.0.-6.-6.5-0.2.30E-05-0.0.-6.-6.6-

20、0.2.31E-05-0.0.-6.-6.7-0.2.35E-05-0.0.-6.-6.正態(tài)-0.3.30E-05-0.0.-6.-6.由以上參數(shù)估計結(jié)果可知，由于系數(shù)與之和小于但非常接近于1，符合約束條件，同時也說明受到?jīng)_擊的時間會較為持久，未來的預(yù)測都有會受到?jīng)_擊的影響。根據(jù)AIC和SIC的判斷標(biāo)準(zhǔn)，我們選用正態(tài)和自由度為3的GARCH函數(shù)作為擾動項殘差的邊際分布。表2：SZ邊際分布參數(shù)估計表自由度均值方程方差方程AICSICCC3-0.4.25E-050.0.-5.-5.4-0.3.21E-050.0.-5.-5.5-0.2.90E-050.0.-5.-5.6-0.2.77E-050.0

21、.-5.-5.7-0.2.70E-050.0.-5.-5.正態(tài)-0.2.32E-050.0.-5.-5.從上表我們可以看出，深圳成指同樣滿足參數(shù)的約束條件。同樣根據(jù)AIC和SIC的判斷標(biāo)準(zhǔn)，我們選用相同的GARCH函數(shù)類型作為擾動項殘差的邊際分布。（三）Copula函數(shù)的參數(shù)估計及VaR的計算估計出收益率序列的邊際分布后，下面需要對Copula函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行估計。用matlab編程估計出的參數(shù)值如下表所示：表3：Copula函數(shù)的參數(shù)估計結(jié)果Gaussian分布t分布正態(tài)copula函數(shù)0.93500.9205學(xué)生氏copula函數(shù)0.9385，6.42040.9431，4.6183Gumbel copula函數(shù)4.26815.3291Clayton copula函數(shù)4.19335.6712Frank copula函數(shù)14.970915.0438根據(jù)估計出的Copula函數(shù)的參數(shù)，利用Matlab軟件進(jìn)行蒙特卡洛模擬，求出的VaR結(jié)果如下表：表4：不同類型Copula函數(shù)和邊際分布函數(shù)情況下的風(fēng)險價值Copula 邊際分布類型函數(shù)類型正態(tài)分布VaRt分布VaR正態(tài)0.02680.0276t 0.0280.0279Gumbel 0.02810.0282Clayton 0.02710.0274Frank 0.02770.0283由以上實證分析結(jié)果