1、.,數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)矢量及其運(yùn)算,一、矢量的概念1.矢量的定義既有大小又有方向的量叫做矢量（向量）記號(hào)：大小表示：F標(biāo)量：僅有大小的量叫做標(biāo)量如：質(zhì)量m、時(shí)間t、路程s、動(dòng)能Ek、勢(shì)能Ep等。標(biāo)量?jī)H有大小沒(méi)有方向但有正負(fù)，如溫度t,AB,.,2.矢量的圖形表示：帶有箭頭的線段線段長(zhǎng)度矢量大小箭頭指向矢量的方向,F=5N，方向?yàn)樗较蛴?3.兩矢量相等的條件：大小相等，方向相同.與起點(diǎn)無(wú)關(guān),.,4.矢量可以平移,二.矢量的加法1.矢量加法的平行四邊形法則兩矢量與的和是以這兩個(gè)矢量為兩邊的平行四邊形的對(duì)角線矢量,記為：,5.負(fù)矢量?jī)墒噶康却蠓聪蚧シQ為負(fù)矢量,=,+,矢量加法的表示式,.,通常將這種用平

2、行四邊形的對(duì)角線來(lái)求出兩矢量和的方法叫矢量加法的平行四邊形法則.,稱為、的合矢量、稱為的兩個(gè)分矢量據(jù)余弦定理：,c矢量的大小,.,規(guī)定：矢量的方向是：與任一分矢量之間的夾角。矢量的定義:既有大小又有方向,加法運(yùn)算時(shí)滿足平行四邊形法則的物理量叫做矢量。,a,.,兩矢量相加，要將一個(gè)矢量的起點(diǎn)移到另一個(gè)矢量的終點(diǎn)，然后連結(jié)一矢量的始點(diǎn)和另一矢量的終點(diǎn),即為兩矢量的和。由于三個(gè)矢量構(gòu)成一個(gè)三角形，所以稱為矢量加法的三角形法則。應(yīng)當(dāng)注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分矢量,或,2.矢量加法的三角形法則,.,即三角形的任一邊可大于、等于、小于其它任一邊,.,依次作出各個(gè)矢量，其中后一個(gè)矢量的起點(diǎn)正好

3、是前一個(gè)矢量的終點(diǎn)，那么從第一個(gè)矢量的起點(diǎn)到最后一個(gè)矢量的終點(diǎn)所引的矢量，即它們的矢量和.此時(shí)所有的分矢量與合矢量圍成一個(gè)多邊形.所以稱為矢量加法的多邊形法則。,3.矢量加法的多邊形法則,.,在共點(diǎn)力的作用下，物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，合力為零，構(gòu)成一個(gè)封閉的多邊形多力平衡力多邊形自行封閉.,注：三力平衡時(shí)，構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形.三力平衡力三角形自行封閉,.,三.矢量的減法1.矢量減法的平行四邊形法則,可見(jiàn)求與的差即求與的和，可以按平行四邊形法則或三角形法則計(jì)算即矢量的減法實(shí)質(zhì)上仍是矢量的加法，矢量的加、減法統(tǒng)稱為矢量的合成.,.,2.矢量減法的三角形法則兩矢量相減，要將它們移到一個(gè)共同的起點(diǎn)，然后

4、從減項(xiàng)矢量的終點(diǎn)向被減項(xiàng)矢量的終點(diǎn)所引的矢量即為所求之差。如：,小結(jié)：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分矢量（減法），從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)就是求解三角形的邊和角的問(wèn)題,因此一切解算三角形的數(shù)學(xué)方法均可使用。,可見(jiàn)：,.,如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等邊三角形、相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。注意：.已知合矢量F的大小和方向與另一個(gè)分矢量F1的方向，則另一個(gè)分矢量F2與F1相互垂直時(shí)F2有極小值且.已知一個(gè)分矢量F1的大小和方向與合矢量F的方向，則另一個(gè)分矢量F2與合矢量F相互垂直時(shí)有極小值即：,F2,.,四.矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）,矢量的加、減法的平行四邊形

5、法則或三角形法則,均為矢量合成的幾何法，用幾何法處理兩個(gè)矢量的合成還是比較簡(jiǎn)單的，但對(duì)于多個(gè)矢量的合成問(wèn)題再用幾何法就顯得麻煩了.為解決此問(wèn)題人們引入了矢量合成的解析法正交分解合成法，從而將矢量計(jì)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算，使多個(gè)矢量的合成問(wèn)題變的簡(jiǎn)單了。1.正交分解：一個(gè)矢量a對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線，一個(gè)對(duì)角線對(duì)應(yīng)有無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形，而一個(gè)矢量可以由平行四邊形法則分解為無(wú)數(shù)對(duì)分矢量，在這無(wú)數(shù)對(duì)分矢量中必然包括一對(duì)相互垂直的分矢量。,.,將一個(gè)矢量在選定的直角坐標(biāo)系中，沿兩個(gè)坐標(biāo)軸的方向分解矢量的正交分解法。如右圖所示：矢量的方向：矢量的大小:,矢量a與x軸正向夾角,（可正、可負(fù)）,（可正、可負(fù)）,

6、.,注：已知一個(gè)矢量的大小和方向，它在直角坐標(biāo)系中的分量唯一確定,反之已知一個(gè)矢量在直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)分量則可完全確定該矢量的大小和方向。2.正交合成求：解：,又,.,方向：,再求：,解：,.,.,再如：計(jì)算,.,計(jì)算,.,例：已知方向如圖，求合力F.解：利用正交分解合成法,=-155=-124N,=-300=-212N,=300=212N,.,F與x軸負(fù)方向夾角為55,F與x軸方向夾角,.,五在同一直線上的矢量的運(yùn)算,在同一直線上的矢量其方向僅有兩個(gè),因此可以用正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)表示兩個(gè)方向，具體做法是：沿著矢量所在的直線選定一個(gè)正方向,即建立一維坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系）.凡方向與正方向相同的矢量取

7、正值，凡方向與正方向相反的矢量取負(fù)值。這樣用一個(gè)帶有正、負(fù)號(hào)的數(shù)值把矢量的大小和方向都表示出來(lái)，從而將同一直線上的矢量運(yùn)行轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，實(shí)際上這也是平行四邊形法則在特殊情況下的運(yùn)用。如：a=5b=-3c=a+b=5-3=2,方向與正方向同,.,當(dāng)然也可用平行四邊形法則：,.,或,六.兩矢量的乘法1.兩矢量的點(diǎn)積（數(shù)量積）定義：兩個(gè)矢量和的乘積定義為兩矢量之間的夾角。,C矢量大小為2方向與規(guī)定正方向相反,b=3a=-5,c=a+b,=-5+3=-2,.,注：由于這種矢量的乘法是在和之間放上一點(diǎn)來(lái)表示的，因此積得點(diǎn)積。由于這種乘積的實(shí)際定義是，這是一個(gè)數(shù)量（標(biāo)量），因此又稱為數(shù)量積。如：物體向右運(yùn)動(dòng)求力F可作的功W=？,.,2.兩矢量的叉積（矢