用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型_第1頁
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1、第三節(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,第六章,1.正交變換法 2.小結(jié) 3.思考與練習(xí),一、正交變換法,定義.,定理.,使得,- 2 -,- 3 -,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟,則,為正交矩陣, 且,- 4 -,例2.,求一個(gè)正交變換,化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求正交變換矩陣.,解：,把二次型,二次型的矩陣為：,其特征多項(xiàng)式為：,- 5 -,把第2,3,4列都加到第1列上,有,把第2,3,4行分別減去第1行,有,- 6 -,按第1列展開,按最后1行展開,得,- 7 -,解方程組,得基礎(chǔ)解系為：,- 8 -,將,單位化得：,- 9 -,于是，正交矩陣為,- 10 -,例3.,用正交變換將二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)形

2、,并求正交變換矩陣.,解：,二次型的矩陣為：,對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為,- 11 -,于是，正交矩陣為：,所以，原二次型在正交變換,下可化為標(biāo)準(zhǔn)形：,- 12 -,用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(主軸定理),它起源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。即將二次曲線和二次曲面的方程變形(化為標(biāo)準(zhǔn)形方程),選有主軸(正交矩陣的列向量)方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀。,例如,畫圖,特征值和對(duì)應(yīng)的正交單位特征向量為,二次型的矩陣為：,用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用,- 13 -,所以，正交矩陣為：,且在正交變換x=Ty下,原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：,因此雙曲線,的圖形為以,方向?yàn)橹鬏S方向的雙曲線,即標(biāo)準(zhǔn)位置雙曲線的旋轉(zhuǎn),- 14 -,- 15 -,圖形(如下圖所示)。,- 16 -,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：,為正交矩陣。,1.求一正交變換,將二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求正交變換矩陣.,解：,二次型的矩陣為：,- 17 -,- 18 -,于

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