1、1.1.1集合的概念教學(xué)目標(biāo)：(1)使學(xué)生理解集合的概念，了解常用數(shù)集的概念和符號(2)讓學(xué)生理解“歸屬”關(guān)系的含義(3)讓學(xué)生理解有限集、無限集和空集的含義教學(xué)重點(diǎn)：收藏的基本概念教學(xué)過程：1.介紹(1)本章開頭的介紹(2)集合論和集合論的創(chuàng)始人康托(介紹請參考附錄中的內(nèi)容)2.教授新的課程閱讀課本，思考以下問題：(1)什么是概念？(2)有哪些符號？(3)集合中元素的特征是什么？(4)如何對集合進(jìn)行分類？(a)相關(guān)概念：1、集合的概念(1)對象：我們可以感覺到的客觀存在，我們思想中的事物或抽象符號可以稱為對象。(2)集合：把不同的可以確定的對象作為一個(gè)整體，也就是說，整體是由所有這些對象組成

2、的集合。(3)元素：集合中的每個(gè)對象都被稱為這個(gè)集合的一個(gè)元素。集合通常用大寫的拉丁字母表示，如a，b，c，元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a，b，c，2.元素和集合之間的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合a的一個(gè)元素，則稱a屬于a，記錄為a a。(2)不屬于：如果A不是集合A的一個(gè)元素，就說A不屬于A，它被記錄為注意“”的方向，不要把A寫顛倒了。3.集合中元素的特征(1)確定性：給定一個(gè)集合，任何對象是否是該集合的一個(gè)元素是確定的。(2)異質(zhì)性：集合中的元素必須不同。(3)無序：集合中的元素沒有固定的順序。4.設(shè)置分類根據(jù)藏品中所含元素的不同屬，藏品可分為以下幾類：(1)沒有任何元素的集合稱為空集

3、合(2)具有有限元素的集合稱為有限集合(3)包含無限元素的集合稱為無限集合注意：應(yīng)該區(qū)分符號的含義，如、和05.常用的數(shù)字集合及其表示(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):所有非負(fù)整數(shù)的集合，表示為n。(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集中除0以外的集。請記為N*或N(3)整數(shù)集：所有整數(shù)的集合，表示為z(4)有理數(shù)集：所有有理數(shù)的集合，表示為q(5)實(shí)數(shù)集：所有實(shí)數(shù)的集合，記錄為r注：(1)自然數(shù)集包括數(shù)字0。(2)在非負(fù)整數(shù)集合中不包括0的集合被表示為在諸如N*或N，Q，Z，R等其他數(shù)字集合中不包括0的集合。也是這樣表達(dá)的。例如，整數(shù)集中不包括0的集合表示為Z*課堂練習(xí)：課本第5頁的練習(xí)a和練習(xí)b在這堂課上

4、，我們了解集合論的發(fā)展，學(xué)習(xí)集合的概念和相關(guān)性質(zhì)課后作業(yè)：練習(xí)1-1B，第10頁，問題3附錄：集合論的誕生韓學(xué)濤集合論是由德國著名數(shù)學(xué)家康托在19世紀(jì)末創(chuàng)立的。17世紀(jì)，一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支出現(xiàn)了：微積分。在接下來的一兩百年里，這門嶄新的學(xué)科發(fā)展迅速，并產(chǎn)生了豐碩的成果。它的迅速發(fā)展使它來不及檢查和鞏固其理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)初，在許多迫切的問題得到解決后，一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了。正是在這場運(yùn)動(dòng)中，康托開始探索前人從未涉及過的實(shí)數(shù)集合，這是集合論研究的開端。到1874年，康托開始普遍提出“集合”的概念。他對集合的定義是：將某些不同的事物(無論是具體的還是抽象的)組合成一個(gè)整體，這叫做集合，其中所

5、有的事物都被稱為集合的元素。人們在1873年12月7日給了康托?？低胁恍嗟某删颓疤K聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈洛夫(Colmo Golov)對康托爾的工作發(fā)表了評論，他說：“康托爾不朽的成就在于他走向無限的冒險(xiǎn)?！币虼?，只有當(dāng)我們知道康托在他對無限的研究中得出什么結(jié)論時(shí)，我們才能真正理解他的工作的價(jià)值和許多反對聲音的來源。數(shù)學(xué)與無限有著不解之緣，但在研究無限的道路上卻充滿了陷阱。出于這個(gè)原因，數(shù)學(xué)家們總是帶著懷疑的眼光看待無限，并在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中盡可能地回避這個(gè)概念。然而，試圖把握無限的康托，勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無限集合這個(gè)詞引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開墾的處女地，開辟了一個(gè)奇妙的新世

6、界?！拔覀儼阉凶匀粩?shù)的集合簡稱為自然數(shù)集，并用字母N來表示它?！睂W(xué)完集子一章后，學(xué)生不應(yīng)該對這句話不熟悉。然而，當(dāng)學(xué)生接受這句話時(shí)，他們不能認(rèn)為康托是在更新無限的概念。在此之前，數(shù)學(xué)家們只把無限看作是一個(gè)不斷擴(kuò)展、不斷變化和增長的事物來解釋它。無限總是在結(jié)構(gòu)中。永遠(yuǎn)無法完成的是潛力，而不是現(xiàn)實(shí)。這種無限的概念在數(shù)學(xué)中被稱為潛在無限。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)王子高斯持有這種觀點(diǎn)。用他的話說，就是”.我反對把無限當(dāng)作一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是永遠(yuǎn)不允許的。無限只是一種說話的方式”當(dāng)康托把所有自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí)，他把無限的整體看作一個(gè)完整的東西，所以他肯定了無限是一個(gè)完整的整體，這就是數(shù)學(xué)中真正的無限思想。由

7、于潛在的無限思想在微積分基礎(chǔ)重建中取得了全面的勝利，康托的真正的無限思想受到當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家的批評和攻擊也就不足為奇了。然而，康托并沒有就此止步。他以前所未有的方式繼續(xù)積極探索無限。在真實(shí)無限的基礎(chǔ)上，他得出了一系列結(jié)論，創(chuàng)造了一個(gè)激動(dòng)人心的、影響深遠(yuǎn)的理論。這一理論確實(shí)使人們進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸而又奇特的無限世界。最能顯示他獨(dú)創(chuàng)性的是他對無限集合中元素?cái)?shù)目的研究。他提出用一對一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無限集合中的元素?cái)?shù)。他把能在元素之間建立一一對應(yīng)關(guān)系的集合稱為同一個(gè)數(shù)。他自己的概念是等電位。因?yàn)闊o限集合可以和它的適當(dāng)子集建立一一對應(yīng)關(guān)系例如，學(xué)生可以很容易地發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集合和正偶集合之間存在一一對應(yīng)關(guān)系也

8、就是說，無限集合可以有與其適當(dāng)子集相等的數(shù)，這與“全體大于部分”的傳統(tǒng)觀點(diǎn)相矛盾?？低姓J(rèn)為這正是無限集合的特征。從這個(gè)意義上說，自然數(shù)集和正偶數(shù)集有相同的數(shù)，他稱之為可數(shù)集。證明有理數(shù)集與自然數(shù)集具有相等的勢是容易的，所以有理數(shù)集也是可數(shù)集。后來，當(dāng)他證明代數(shù)數(shù)集也是可數(shù)集時(shí)，一個(gè)自然的想法是無限集是一致的，所有的可數(shù)集都是一致的。然而，出乎意料的是，在1873年，他證明了實(shí)數(shù)集比自然數(shù)集有更大的潛力。這不僅意味著有更多的無理數(shù)。而且，很明顯，與超越數(shù)相比，龐大的代數(shù)數(shù)只是滄海一粟，正如有人所描述的那樣：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)就像夜空中的星星；而沉重的夜空是由超越數(shù)組成的?！碑?dāng)他得出這個(gè)結(jié)論時(shí)

9、，人們只能找到一兩個(gè)超越數(shù)。多么令人震驚的結(jié)果！然而，事情還沒有結(jié)束。一旦魔法盒子被打開，它就不能再被關(guān)閉，盒子里釋放的不再是可數(shù)的集合，一個(gè)無限的怪物。從上述結(jié)論中，康托認(rèn)識到無限集合之間是有區(qū)別的，無限集合具有不同的數(shù)量級，可以分為不同的層次。他的下一步是證明在所有無限集合中有無限的層次。他成功了，根據(jù)無窮理論，他為各種無窮建立了一個(gè)完整的序列，他稱之為“超標(biāo)量”。他用希伯來字母表中的第一個(gè)字母“阿勒夫”來代表超標(biāo)量的精神，最后他建立了所謂的關(guān)于無限的阿勒夫譜系它可以無限期延長。這樣，他創(chuàng)造了一個(gè)新的無限數(shù)理論，描繪了一幅無限王國的完整畫面。可以想象，這個(gè)仍然讓我們感到有些異想天開的結(jié)論，

10、會(huì)震撼當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的心。毫不夸張地說，康托關(guān)于無限的理論引起了反對者無休止的噪音。他們大聲反對他的理論。有些人嘲笑集合論是一種“疾病”。有人譏笑超限是“霧中之霧”，說“康托走進(jìn)了超限的地獄”。作為對傳統(tǒng)觀念的重大創(chuàng)新，他的理論受到強(qiáng)烈批評是正常的，因?yàn)樗_創(chuàng)了一個(gè)全新的領(lǐng)域，提出并回答了前人未曾想到的問題?；仡欉@段歷史，也許我們可以把對他的反對視為對他真正原創(chuàng)性成就的一種稱贊。公理集合論的建立集合論被提出時(shí)，遭到許多數(shù)學(xué)家的強(qiáng)烈反對，而康托本人也曾成為這場激烈辯論的受害者。在大腦的猛烈攻擊和過度思考下，他患上了精神分裂癥，并多次精神崩潰。然而，他在集合論前后經(jīng)歷了20多年。最后，它被世界所認(rèn)可。

11、到20世紀(jì)初，集合論已經(jīng)被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)可。數(shù)學(xué)家們陶醉于所有數(shù)學(xué)成就都可以建立在集合論基礎(chǔ)上的前景。他們樂觀地認(rèn)為，整個(gè)數(shù)學(xué)體系可以借助集合理論的概念從算術(shù)公理體系中建立起來。在1900年的第二屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊高興地宣布：“數(shù)學(xué)已經(jīng)算術(shù)化了?！苯裉?，我們可以說，絕對嚴(yán)格已經(jīng)實(shí)現(xiàn)。”然而，這種自滿情緒并沒有持續(xù)多久。很快，集合論有缺陷的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界。這是羅素在1902年的悖論。羅素構(gòu)造了一個(gè)不屬于它自己的集合R(也就是說，不包括它自己作為一個(gè)元素)?，F(xiàn)在我問R是否屬于R？如果r屬于r，r滿足r的定義，那么r不應(yīng)該屬于它自己，也就是說，r不屬于r；另一方面，如果r不屬于r

12、，那么r不符合r的定義，所以r應(yīng)該屬于它自己，也就是說，r屬于r。這樣，在任何情況下都有矛盾。這種只涉及集合并屬于兩個(gè)基本概念的悖論是如此簡單明了，以至于根本沒有為集合理論中的漏洞辯護(hù)的余地。絕對嚴(yán)格的數(shù)學(xué)陷入了矛盾。這是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。危機(jī)之后，許多數(shù)學(xué)家致力于解決危機(jī)。1908年，齊默羅提出了公理集合論，并對其進(jìn)行了改進(jìn)，形成了一個(gè)沒有矛盾的集合論公理系統(tǒng)，稱為ZF公理系統(tǒng)。集合最初的直觀概念是基于嚴(yán)格的公理，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理集合論。相應(yīng)地，康托在1908年前創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。公理集合論是對樸素集合論的嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論的寶貴成果，消除了其可能的悖論，從而成功地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。公理集合論的建立標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希爾伯特所表達(dá)的激情的勝利。他大聲喊道：沒有人能把我們趕出康托爾創(chuàng)造的天堂。自康托提出集合論以來，已經(jīng)有100多年了。在這段時(shí)間里，數(shù)學(xué)發(fā)生了巨大的變化，包括模糊集合論的出現(xiàn)，它進(jìn)一步發(fā)展了上述經(jīng)典集合論。所有這些都與康托的開創(chuàng)性工作密不可分。因此，當(dāng)我們回顧康托的貢獻(xiàn)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家的話。它是對無限最深刻的洞察，是數(shù)學(xué)天才的最佳作品，也是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一。超極限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物，也是純理性范疇內(nèi)人類活