1、橢圓與雙曲線的簡單幾何性質(zhì)典型例題知識點(diǎn)回顧一、橢圓1橢圓的定義文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距數(shù)學(xué)語言：集合，其中，為常數(shù)，則集合表示以，為焦點(diǎn)的橢圓注意：（1）與圓的定義（平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡）類比可知：二者的定義方式一致都是通過對平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離滿足某些條件的動點(diǎn)的軌跡研究得出的（2）注意橢圓定義中的限制條件：當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在（或不表示任何圖形）2兩種標(biāo)準(zhǔn)方程（1），焦點(diǎn)在軸上；（2），焦點(diǎn)在軸上注意：（1）參數(shù)關(guān)系：，中最大（2）判斷焦點(diǎn)位置的方法

2、：橢圓的焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大3橢圓方程的一般形式，其焦點(diǎn)位置有如下規(guī)律：當(dāng)時，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時，焦點(diǎn)在軸上注意：在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，有時不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出的值即可如：求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4理解橢圓應(yīng)注意的幾點(diǎn)（1）橢圓的兩個焦點(diǎn)總在它的長軸上（2）離心率的大小對橢圓形狀的影響：當(dāng)趨近于1時，變小且越接近于，橢圓越扁平；當(dāng)趨近于時，變大且越接近于，橢圓越圓二、雙曲線1雙曲線的定義文字?jǐn)⑹觯涸谄矫鎯?nèi)到兩個定點(diǎn)，距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)

3、的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距數(shù)學(xué)語言描述：集合，其中，為常數(shù)，則集合表示以，為焦點(diǎn)的雙曲線注意：（1）定義中的限制條件當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為以，為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時，軌跡不存在（或不表示任何圖形）；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線（2）定義中的“絕對值”必不可少若有“絕對值”，點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的兩支；若去掉“絕對值”，點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一支2兩種標(biāo)準(zhǔn)方程（1），焦點(diǎn)在軸上；（2），焦點(diǎn)在軸上注意：雙曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的不同：（1）“”、“”號不同：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中是“”號，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中是“”號；（2）的大小關(guān)系不同：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，而雙曲線中大小

4、不確定；（3）關(guān)系不同：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，而雙曲線中3雙曲線方程的一般形式，其焦點(diǎn)位置有如下規(guī)律：當(dāng)，時，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)，時，焦點(diǎn)在軸上注意：當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，求標(biāo)準(zhǔn)方程時常用此形式如：求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程4理解雙曲線應(yīng)注意的幾點(diǎn)（1）橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數(shù)據(jù)同樣，雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個重要數(shù)據(jù)，由于，當(dāng)從接近1逐漸增大時，的值就從接近于逐漸增大，雙曲線的“張口”逐漸增大（2）要掌握根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的求法，把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”用“”替換即可得出漸近線方程（3）已知漸近線方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：漸近

5、線方程為的雙曲線的方程為：（且為常數(shù)）與雙曲線有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為（且為常數(shù)）經(jīng)典例題例1 已知橢圓的一個焦點(diǎn)為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為

6、30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）例4 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓方程分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設(shè)求出和（或和）的值從而求得橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點(diǎn)所在的對稱軸，所以在中

7、，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： 由橢圓定義知： 則得 故 例6 已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則 得由題意知

8、，則上式兩端同除以，有，將代入得 （1）將，代入，得，故所求直線方程為 將代入橢圓方程得，符合題意，故即為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為 （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ， 將平方并整理得 ， ， 將代入得 ， 再將代入式得 ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例7 已知動圓過定點(diǎn)，并且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓

9、的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程分析：直線與橢圓有公共點(diǎn)，等價于它們的方程組成的方程組有解因此，只須考慮方程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式已知弦長，由弦長公式就可求出解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即 ，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 解得因此，所求直線的方程為例9 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時

10、的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，而這種類型的問題在初中就已經(jīng)介紹過，只須利用對稱的知識就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸，又，因此，所求橢圓的方程為例10已知方程表示橢圓，求的取值范圍分析：根據(jù)橢圓方程的特征求解解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓例11 已知表示焦點(diǎn)在軸

11、上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點(diǎn)在軸上，知，(3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例2求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對的左焦

12、點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長分析：此類題目是求弦長問題，這種題目方法很多，可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因?yàn)?，所以又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得設(shè)，為方程兩根，所以，從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例14已知圓，從這個圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡

13、分析：本題是已知一些軌跡，求動點(diǎn)軌跡問題這種題目一般利用中間變量(相關(guān)點(diǎn))求軌跡方程或軌跡解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)樵趫A上，所以將，代入方程得所以點(diǎn)的軌跡是一個橢圓例15橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為()A4B2C8D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱

14、，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即又點(diǎn)在直線上，由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.例17 在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程分析：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓方程及適當(dāng)坐標(biāo)系的建立通過適當(dāng)坐標(biāo)系的建立，選擇相應(yīng)橢圓方程，再待定系數(shù)適當(dāng)坐標(biāo)系的建立能達(dá)到簡化問題的目的解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即，得所求橢

15、圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的本題涉及到直線被橢圓截得弦的中點(diǎn)問題，也可采用點(diǎn)差法或中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)算會更為簡便解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則、是的兩根，為中點(diǎn)，所求直線方程為方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，在橢圓上，兩式相減得，即所求直線方程為方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一

16、個交點(diǎn)為，另一個交點(diǎn)、在橢圓上，從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，所求直線方程為例19 橢圓的一個頂點(diǎn)為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長軸端點(diǎn)時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況例20 一個橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可例21 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

17、軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求例22.橢圓上不同三點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以它的垂直平分線方程為 又點(diǎn)在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得 又點(diǎn)，都在橢圓上， 將此式代入，并利用的結(jié)論得 例23. 已知橢圓，、為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)，使到左準(zhǔn)線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件

18、得，左準(zhǔn)線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)不存在例24. 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為例25. 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)；（2）在軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6分析：當(dāng)方

19、程有兩種形式時，應(yīng)分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或由已知 又過點(diǎn)，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設(shè)方程為由已知，所以故所求方程為例26 橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以例27 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)

20、橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時，例28 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值范圍此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是，其中待定由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則 其中如果，則當(dāng)時，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當(dāng)

21、時，（從而）有最大值由題設(shè)得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 如果，即，則當(dāng)時，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立于是當(dāng)時（從而）有最大值由題設(shè)知，所求橢圓的參數(shù)方程是由，可得橢圓上的是，例29. 設(shè)，求的最大值和最小值分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解：由，得 可見它表示一個橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過（0，0）點(diǎn)和（3，0）點(diǎn)設(shè)，

22、則 它表示一個圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0，0）點(diǎn)時，半徑最小，即，此時；當(dāng)圓過（3，0）點(diǎn)時，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15例30 已知橢圓，、是其長軸的兩個端點(diǎn)（1）過一個焦點(diǎn)作垂直于長軸的弦，求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個點(diǎn)，使，求的離心率的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式這里要求思路清楚，計算準(zhǔn)確，一氣呵

23、成解：（1）設(shè)， 于是，是到的角故 （2）設(shè)，則，由于對稱性，不妨設(shè)，于是是到的角， 整理得， ， ，或（舍），例31 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論例32 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)

24、線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會產(chǎn)生誤解橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義例33 設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點(diǎn)與軸正向所成角，求點(diǎn)坐標(biāo)分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解解：設(shè)，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點(diǎn)坐標(biāo)為例34. 設(shè)是離心率為的橢圓 上的一點(diǎn)，到左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離分別為和，求證：，分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線的

25、距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問題時，有著廣泛的應(yīng)用請寫出橢圓焦點(diǎn)在軸上的焦半徑公式例35已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線由，等號僅當(dāng)時成立，

26、此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、綜上所述，點(diǎn)與重合時，取最小值，點(diǎn)與重合時，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為到右準(zhǔn)線距離為此時點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)例36 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，

27、則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便例37 已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長有關(guān)分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，化簡可得又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁思路二：利用焦半徑公式，在中運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解解：(法1

28、)設(shè)橢圓方程為（），則，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故橢圓離心率的取范圍是(2)將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)(法2)設(shè)，則(1)在中，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故橢圓離心率的取值范圍是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面積與橢圓短軸長有關(guān)例38橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍分析：、為定點(diǎn)，為動點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，即，解得或，（舍去），又，又，例39 求與雙曲

29、線共漸近線且過點(diǎn)的雙曲線方程及離心率解法一：雙曲線的漸近線方程為：（1）設(shè)所求雙曲線方程為， 在雙曲線上 由，得方程組無解（2）設(shè)雙曲線方程為， 在雙曲線上， 由得，所求雙曲線方程為：且離心率解法二：設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：點(diǎn)在雙曲線上，所求雙曲線方程為：，即 例40作方程的圖象分析：方程圖象應(yīng)該是圓及雙曲線在軸上方的圖象 例41 求以曲線和的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線為漸近線，且實(shí)軸長為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：先求出漸近線方程，確定出其斜率，結(jié)合已知條件確定所求雙曲線方程中的字母系數(shù)解：，或，漸近線方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，由且，得所求雙曲線方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，由，且，得所求雙曲線方程為例

30、41. 已知雙曲線的漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線間的距離為，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程分析：可根據(jù)雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系，設(shè)出雙曲線方程，進(jìn)而求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解：雙曲線漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為（1）若，則，準(zhǔn)線方程為：，（2）若，則，準(zhǔn)線方程為：，所求雙曲線方程為：或例42 中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為的雙曲線，其實(shí)軸長與虛軸長之比為，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得為所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例43求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸經(jīng)過點(diǎn)且離心率為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)所求雙曲線方程為：，則，所求雙曲線方程為說明：（1）以上巧妙簡捷的設(shè)法是建立在一個事實(shí)的基礎(chǔ)上的，即離心率是雙曲線的等軸雙曲線的

31、充要條件，它的證明如下：設(shè)等軸雙曲線，則，反之，如果一個雙曲線的離心率，雙曲線是等軸雙曲線（2）還可以證明等軸雙曲線的其他性質(zhì)：兩條漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個焦點(diǎn)的距離的比例中項等例44已知點(diǎn)，在雙曲線上求一點(diǎn)，使的值最小解：，設(shè)點(diǎn)到與焦點(diǎn)相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為則，至此，將問題轉(zhuǎn)化成在雙曲線上求一點(diǎn)，使到定點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離和最小即到定點(diǎn)的距離與準(zhǔn)線距離和最小為直線垂直于準(zhǔn)線時，解之得，點(diǎn)例45已知：是雙曲線上一點(diǎn)求：點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)、的距離分析：利用雙曲線的第二定義解：如圖，設(shè)點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)、的準(zhǔn)線的距離為、當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支上時，且有，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時，且有

32、，例46如圖所示，已知梯形中，點(diǎn)滿足，雙曲線過、三點(diǎn)，且以、為焦點(diǎn)，當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍分析一：依題意，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并通過、的坐標(biāo)及雙曲線的方程求解解法一：以直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則軸，因雙曲線過點(diǎn)、，且以、為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性可知、關(guān)于軸對稱設(shè)、，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高由，即，得，設(shè)雙曲線方程為，則離心率為由點(diǎn)、在雙曲線上，將、的坐標(biāo)和，代入雙曲線方程得由得，將代入式中，整理得：，又，雙曲線的離心率取值范圍為分析二：建立直線方程，再與雙曲線方程聯(lián)立，借助一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題解法二：前面部分同解法一可求得直線方程為，將其代入雙曲線方

33、程中，得又、為上述二次方程的兩根， 又在雙曲線上， 將代入中，得：，以下同解法一分析三：借助焦半徑公式解題， ，由焦半徑公式，得： 將代入，得：，以下同解法一例47設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過、兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為，求雙曲線的離心率分析：由兩點(diǎn)式得直線的方程，再由雙曲線中、的關(guān)系及原點(diǎn)到直線的距離建立等式，從而解出的值解：由過兩點(diǎn)，得的方程為由點(diǎn)到的距離為，得將代入，平方后整理，得令，則解得或而，有故或因，故，所以應(yīng)舍去故所求離心率例48根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過點(diǎn)，離心率(2)已知雙曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn)為，離心率(3)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且，又離心率為分析：(1)、(3)用待定系數(shù)法，(2)用定義法解：(1)依題意，雙曲線的實(shí)軸可能在軸上，也可能在軸上，分別討論如下如雙曲線的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求由，得由點(diǎn)在雙曲線上，得又，由、得，若雙曲線的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所