1、北師大版九年級上冊,第二節(jié)：矩形的性質(zhì)與判定,第一章：特殊平行四邊形,第一課時(shí) 矩形的性質(zhì),下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形。觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？,這些平行四邊形中都有一個(gè)角是直角，像這樣的平行四邊形叫矩形。,有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。,矩形在生活中隨處可見，你能舉出一些生活中矩形的例子嗎？與同伴交流。,平行四邊形,有一個(gè)角 是直角,矩形,矩形是特殊的平行四邊形,1.矩形的定義,木門,紙張,電腦顯示屏,生活中的矩形圖片,（1）矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？,（2）你認(rèn)為矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同

2、伴交流。,矩形,邊,角,對角線,對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分,（1）矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？,用矩形紙片折一折，回答下列問題：,矩形是軸對稱圖形，矩形是中心對稱圖形.,O,2.矩形的性質(zhì),（2）從邊、角、對角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì) 邊：對邊平行且相等（與平行四邊形相同），鄰邊互相垂直； 角：四個(gè)角是直角； 對角線：相等且互相平分,已知:如圖,四邊形ABCD是矩形，ABC=90，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O, 求證：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90； （2）AC=BD. 分析:(1)由矩形的定義, 利用對角相等,鄰角

3、互補(bǔ)可使問題得證. (2)根據(jù)矩形的性質(zhì),可轉(zhuǎn)化 為全等三角形(SAS)來證明.,定理:矩形的四個(gè)角都是直角，兩條對角線相等。,證明：(1)四邊形ABCD是矩形， ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的對角相等）， ABC+BCD=180， 又ABC=90， BCD=90， ABC=BCD=CDA=DAB=90，,(2)四邊形ABCD是矩形， AB=DC(矩形的對邊相等）， 在ABC和DCB中， AB=DC,ABC=DCB,BC=BC ABCDCB AC=DB.,矩形的特殊性質(zhì)：,性質(zhì)1、矩形的四個(gè)角都是直角,性質(zhì)2、矩形的兩條對角線相等,幾何語言:,四邊形ABCD是矩形,DAB=ABC=BC

4、D=CDA=90,AC = BD,仔細(xì)觀察RtABC，BO是RtABC的什么特殊線段？與斜邊有什么數(shù)量關(guān)系？,BO是斜邊AC上的中線， BO等于AC的一半.,推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。,例1.如圖矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,若AC=4，則OD的長是（ ）,C,解析：根據(jù)矩形的對角線相等得到BD=AC=4，再根據(jù)對角線互相平分得到OD=2，故選C.,A.1 B. C.2 D.,例2.如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，如果BAF=60，那么DAE等于（ ） A.15 B.30 C.45 D.60,A,解析：根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角，得到BAD=90

5、，根據(jù)已知可以計(jì)算出FAD=30，再由折疊的性質(zhì)可以得到DAE=15.,例3如圖，在ABC中，ABAC8，AD是底邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，則DE,解析：根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4. 答案：4,4,例4.已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,AC,BD相交于點(diǎn)O,AOD=120,AB=2.5cm.求矩形對角線的長.,解:,四邊形ABCD是矩形.,BD=2AB=22.5=5(cm).,AC=BD,DAB=90.,AOD=120.,ODA=OAD=,OA=OD,定理:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

6、,求證:ABC是直角三角形.,已知:CD是ABC邊AB上的中線,且,分析:要證明ABC是直角三角形,可以將點(diǎn)A,B,C構(gòu)造平行四邊形,然后證明其對角線相等,即可證明是矩形.,證明:延長CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.,四邊形ACBE是平行四邊形.,AB=2CD,CE=2CD., AC=DB.,四邊形ACBE是矩形., AD=BD,CD=ED.,ACB=90.,ABC是直角三角形.,課堂總結(jié),請各位同學(xué)回憶一下矩形的性質(zhì)有哪些？請從邊，角，對角線和對稱性的角度進(jìn)行分析.,邊,角,對角線,對稱性,矩形的兩組對邊平行且相等,矩形的鄰邊垂直,矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線互相平分,矩形的對

7、角線相等,矩形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對稱軸的交點(diǎn),矩形是軸對稱圖形，對稱軸分別是兩條長的中點(diǎn)的連線和兩條寬的中點(diǎn)的連線.,1.習(xí)題2.1：知識技能第2，3兩題 2.預(yù)習(xí)第二課時(shí).,第二課時(shí) 矩形的判定,有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。,3.矩形的特殊性質(zhì),1.矩形的定義,（）矩形的四個(gè)角都是直角,（）矩形的對角線相等,2.矩形的特征,矩形是一個(gè)軸對稱圖形和中心對稱圖形,我們可以怎樣判定一個(gè)四邊形是矩形？,制作一個(gè)如圖所示的平行四邊形的活動(dòng)框架. 在一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個(gè)相對的頂點(diǎn)上，拉動(dòng)一對不相鄰的頂點(diǎn)時(shí)，平行四邊形的形狀會(huì)發(fā)生什么變化？,探究1,當(dāng) 時(shí)

8、，平行四邊形為矩形。,有一個(gè)角是直角的平行 四邊形叫做矩形.,定義：,幾何語言：,四邊形ABCD是平行四邊形且A=90,四邊形ABCD是矩形,矩形的判定1：定義法,矩形的性質(zhì)“兩條對角線相等”中，“對角線互相平分”是平行四邊形所具有的一般性質(zhì)，而“對角線相等”是矩形所特有的性質(zhì)。,由此，可以得到一個(gè)猜想：“如果一個(gè)平行四邊形 的兩條對角線相等，那么這個(gè)平行四邊形是一個(gè)矩 形?！?除定義法之外，還能找到其他的判定方法嗎？,工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你知道為什么嗎？,對角線相等的平行四邊形是矩

9、形 。,如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線，且AC=DB，證明： 四邊形ABCD是矩形,證明：, 四邊形ABCD是平行四邊形, AB=DC,AB/DC,又BC=CB,AC=DB, ABCDCB, ABC=DCB,平行四邊形ABCD是矩形,AB/DC ABC+DCB=180， ABC=DCB=,分析:要證明ABCD是矩形,只要證明有一個(gè)角是直角即可.,對角線相等的平行四邊形是矩形。,在ABCD中，AC=BD, ABCD是矩形,矩形的判定2：,幾何語言：,一同學(xué)用“邊直角、邊直角、邊直角、邊”這樣四步，畫出了一個(gè)四邊形，她說這就是一個(gè)矩形，她的判斷對嗎？為什么？,猜想：有三個(gè)

10、角是直角的四邊形是矩形 。,你能證明上述結(jié)論嗎？,已知:如圖,在四邊形ABCD中,A=B=C=90.,分析:利用同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行來證明四邊形是平行四邊形,可使問題得證.,證明:, A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.,ADBC,ABCD.,求證:四邊形ABCD是矩形.,四邊形ABCD是平行四邊形.,四邊形ABCD是矩形.,三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,在四邊形ABCD中 A=B=C=90,四邊形ABCD是矩形,矩形的判定3：,幾何語言：,矩形常用的判定方法： 1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. 2.對角線相等的平行四邊形是矩形. 3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,例

11、1.判斷題： （1）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形。 （ ） （2）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。 （ ） （3）對角線相等的四邊形是矩形。 （ ） （4)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 （ ） （5）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形。 （ ）,例2.如圖所示，已知ABCD，下列條件：AC=BD，AB=AD，1=2，ABBC中，能說明ABCD是矩形的有（填寫序號）., ,解析：根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形；矩形的定義. 答案： ,例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AD邊的中點(diǎn)，且MB=MC，求證：四邊形ABCD是矩形.,分析：要證明平行四邊形ABCD是矩形，則只需驗(yàn)證有一

12、個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可； 根據(jù)題意可得AMBDMC，從而有A=D,再結(jié)合AB/CD，得到A=90，即得證.,證明：四邊形ABCD是平行四邊形 AB/DC，AB=DC， A+D=180， M是AD的中點(diǎn) AM=MD MB=MC AMBDMC(SSS) A=D A+D=180 A=90 平行四邊形ABCD是矩形.,例4. 已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于O，AOB是等邊三角形，AB = 4cm，求這個(gè)平行四邊形的面積.,鞏固練習(xí),1.如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為矩形的是（） A.AB=CD B.OA=OC，OB=O

13、D C.ACBD D.ABCD，AD=BC,解：A、由AB=DC，AC=BD無法判斷四邊形ABCD是矩形 故錯(cuò)誤 B、OA=OC，OB=OD， 四邊形ABCD是平行四邊形， AC=BD， 四邊形ABCD是矩形故正確 C、由ACBD，AC=BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤 D、由ABCD，AC=BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤,B,2.如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點(diǎn)P從A 開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s

14、），當(dāng)t= _ 時(shí)，四邊形APQD也為矩形,解：根據(jù)題意，當(dāng)AP=DQ時(shí)，四邊形APQD為矩形此時(shí)，4t=20-t，解得t=4（s） 故答案是：4,4,3.如圖，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，則EF的最小值為 _ ,解：連接AP， 在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， 即BAC=90 又PEAB于E，PFAC于F， 四邊形AEPF是矩形， EF=AP， AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4， EF的最小值為2.4.,2.4,4.如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD為BC邊上的高，過點(diǎn)A作AEBC，過點(diǎn)

15、D作DEAC，AE與DE交于點(diǎn)E，AB與DE交于點(diǎn)F，連結(jié)BE （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）求四邊形AEBD的面積,分析（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定定理推知平行四邊形AEBD是矩形 （2）在RtADC中，由勾股定理可以求得AD的長度，由等腰三角形的性質(zhì)求得BD的長度，則矩形的面積=長寬=ADBD，即可得出結(jié)果,（1）證明：AEBC，BEAC， 四邊形AEDC是平行四邊形 AE=CD 在ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高， ADB=90，BD=CD BD=AE 四邊形AEBD是矩形 （2）解：在RtADC中， ADB=90，AC=5，BD=CD= BC=3， AD=

16、 四邊形AEBD的面積=BDAD=34=12,(1)對角線相等的四邊形是矩形嗎?,(2)需要添加什么條件才能使 對角線相等的四邊形是矩形嗎?,歸納：,對角線相等且互相平分的四邊形是矩形, AC=BD 且OA=OC OB=OD 四邊形ABCD是矩形,等腰梯形,拓展提高,例：已知： 矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH。求證：四邊形EFGH是矩形。,證明： 四邊形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO,又 AE=BF=CG=DH,OE=OF=OG=OH,四邊形EFGH是平行四邊形,又EO+OG=FO+OH,即EG=F

17、H,四邊形EFGH是矩形,一個(gè)角是直角,對角線相等,有三個(gè)角是直角,五種判定方法,四邊形,矩形,矩形的判定方法：,1.習(xí)題2.2：知識技能第1，2兩題 2.預(yù)習(xí)第三課時(shí).,第三課時(shí) 矩形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用,有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。,2.矩形的特殊性質(zhì),1.矩形的定義,（）矩形的四個(gè)角都是直角,（）矩形的對角線相等,3.矩形的判定,(A).有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. (B).對角線相等的平行四邊形是矩形. (C).有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,23 July 2020,4、直角三角形的性質(zhì)及判定方法：,角：,直角三角形兩銳角互余。,線段：,邊角關(guān)系：,1、勾股定理：兩直角邊

18、的平方和等于斜邊 的平方。,2、斜邊中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線 等于斜邊的一半。,1、直角三角形中，30角所對的直角邊 等于斜邊的一半。,2、直角三角形中，若直角邊等于斜邊的一半， 那么這條直角邊所對的角等于30。,A,B,C,D,矩形性質(zhì)和判定的應(yīng)用,例1.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AEBD，垂足為E，ED=3BE,求AE的長.,分析：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，可得到OE=BE,再結(jié)合AEBD，可得AB=AO,從而有ABO是等邊三角形，求出ADE=30，在RtADE中，即可求出AE的長.,解：四邊形ABCD是矩形， AO=BO=CO= BD(矩形

19、的對角線相等且互相平分）， BAD=90（矩形的四個(gè)角都是直角） ED=3BE, BE=OE 又AEBD, AB=AO， AB=AO=BO, 即ABO是等邊三角形 ABO=60 ADB=90-ABO=90-60=30， 在RtAED中， ADE=30， ,例2.ABC中,AB=AC,AD是BC邊上中線，AN平分MAC，CEAN，AC與DE交于O點(diǎn)，求證：四邊形ADCE是矩形；（2）判斷OD與AB的關(guān)系，并說明理由.,分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得ADBC,AD平分BAC，又因?yàn)锳N平分MAC可得DAE為90，再加上CEAN就可證明四邊形ADCE是矩形. （2）證得矩形后，可得O點(diǎn)是AC中點(diǎn)

20、，那么OD是ABC的中位線，就能得到OD與AB的關(guān)系了。,解：(1)AB=AC,AD是中位線， ADBC,AD平分BAC， ADC=90， 又AN平分MAC，,又CEAN， CEA=90， 四邊形ADCE是矩形；,(2)OD/ AB, 理由： 四邊形ADCE是矩形， OA=OC， 又D是BC邊中點(diǎn)， OD是ABC的中位線， OD/AB, .,1如圖，矩形ABCD的對角線AC10，BC8，則圖中五個(gè)小矩形的周長之和為_,解析：AC=10,BC=8 根據(jù)勾股定理 ,28,圖中的五個(gè)小矩形的周長之和 即大矩形的周長 2(AB+BC)=2(6+8)=28.,2如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，B

21、D相交于O，AEBD于E，若DAEBAE31，則EAC的度數(shù)是() A18 B36 C45 D72,C,解：四邊形ABCD是矩形， BAD=90， DAE=3BAE，BAE+DAE=BAD， BAE=22.5，DAE=67.5，,AEBD， AEB=90， ABO=AEB-BAE=90-22.5=67.5， 四邊形ABCD是矩形， AC=BD，OA= AC，OB= BD，,OA=OB， OAB=ABO=67.5， CAE=67.5-22.5=45， 故選C.,3、矩形的一邊長為6，各邊中點(diǎn)圍成的四 邊形的周長是20 ，則矩形的對角線長 為 ，面積為 。,解析：矩形各邊中點(diǎn)圍成的四邊形為菱形，且周長為20 菱形的邊長為5， 故矩形的對角線的長為10， 矩形的另一邊= 矩形的面積=68=48.,10,48,4.如圖，在ABC中，ABAC，D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作ABDE，連接AD，EC. (1)求證：ADCECD； (2)若BDCD，求證：四邊形ADCE是矩形,解：(1)四邊形ABDE是平行四邊形， ABDE，ABDE， BEDC， ABAC， ACDE，BACB，,EDCAC