1、二、最大值與最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié),函數(shù)的極值與,最大值最小值,第三章,定義:,在其中當(dāng),時,(1),則稱 為 的極大值點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 為 的極小值點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極小值 .,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .,一、函數(shù)的極值及其求法,注意:,為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn),不是極值點(diǎn),2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如 ,為極大值點(diǎn),是極大值,是極小值,為極小值點(diǎn),函數(shù),定理 1 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(自證),點(diǎn)擊圖中任意處動畫播放暫停,例1. 求函數(shù),的極

2、值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,令,得,3) 列表判別,是極大值點(diǎn)，,其極大值為,是極小值點(diǎn)，,其極小值為,定理2 (極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,證: (1),存在,由第一判別法知,(2) 類似可證 .,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,定理3 (判別法的推廣),則:,數(shù) , 且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時,是極小點(diǎn) ;,是極大點(diǎn) .,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時,為極值點(diǎn) , 且,不是極值點(diǎn) .,當(dāng) 充分接近 時, 上式左端正負(fù)號

3、由右端第一項確定 ,故結(jié)論正確 .,證:,利用 在 點(diǎn)的泰勒公式 ,可得,例如 , 例2中,極值的判別法( 定理1 定理3 ) 都是充分的.,說明:,當(dāng)這些充分條件不滿足時, 不等于極值不存在 .,例如:,為極大值 ,但不滿足定理1, 定理3 的條件.,二、最大值與最小值問題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2) 最大值,最小值,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個極值可疑點(diǎn)時,當(dāng) 在 上單調(diào)時,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對應(yīng)用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點(diǎn),是否為最大 值點(diǎn)或最小

4、值點(diǎn) .,(小),例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解: 顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,因此也可通過,例3. 求函數(shù),說明:,求最值點(diǎn).,與,最值點(diǎn)相同 ,由于,令,( 自己練習(xí) ),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,( k 為某常數(shù) ),例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn),為使貨物從B 運(yùn)到工,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小值點(diǎn) ,故 AD =15 km 時運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn) ,問D點(diǎn)應(yīng)如何取?,

5、Km ,公路,價之比為3:5 ,例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面,的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,令,得,從而有,即,由實際意義可知 , 所求最值存在 ,駐點(diǎn)只一個,故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,用開始移動,例6. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 F 作,解: 克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問題 .,設(shè)摩擦系數(shù),令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問題 .,清楚(視角 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,例7.

6、 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,存在一個取得最大利潤的生產(chǎn)水平? 如果存在, 找出它來.,售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是,例8. 設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 千件的成本是,解: 售出 x 千件產(chǎn)品的利潤為,問是否,故在 x2 = 3.414千件處達(dá)到最大利潤,而在 x1= 0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.,說明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,稱為邊際成本,稱為邊際收入,稱為邊際利潤,由此例分析過程可見

7、, 在給出最大 利潤的生產(chǎn)水平上,即邊際收入邊際成本,（見右圖）,即,收益最大,虧損最大,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過,由正變負(fù),為極大值,過,由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,(4) 判別法的推廣,定理3,定理3,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .,思考與練習(xí),2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號性,2. 設(shè),(A) 不可導(dǎo) ;,(B) 可導(dǎo), 且,(C) 取得極大值 ;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號性 .,3. 設(shè),是方程,的一個解,若,且,(A) 取得極大值 ;,(B) 取得極小值 ;,(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;,(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .,提示