1、第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,1.復(fù)數(shù)的概念及表示方法 (1)虛數(shù)單位:把平方等于-1的數(shù)用符號(hào)i表示,規(guī)定i2=-1,把i叫作虛數(shù)單位. (2)復(fù)數(shù):形如a+bi的數(shù)叫作復(fù)數(shù)(a,b是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)通常表示為z=a+bi(a,bR). (3)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部:對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi,a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.,2.復(fù)數(shù)的分類,(2)集合表示: 名師點(diǎn)撥1.虛數(shù)不能比較大小. 2.復(fù)數(shù)a+bi中,a,b均為實(shí)數(shù).,【做一做1】 已知mR,復(fù)數(shù)z= +(m2+2m-3)i.若z是純虛數(shù),則m=.,故m=0或m=2.,答案:0或2,3.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

2、(1)復(fù)數(shù)的相等:兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di(a,b,c,dR)相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等,記作a+bi=c+di,即a+bi=c+di當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d . (2)復(fù)平面: 當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)時(shí),我們稱這個(gè)直角坐標(biāo)平面為復(fù)平面,x軸稱為實(shí)軸,y軸稱為虛軸. (3)模: 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,即任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是對(duì)應(yīng)的.點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離|OZ|叫作復(fù)數(shù)z的?；蚪^對(duì)值,記作|z|,|z|= .,名師點(diǎn)撥關(guān)于復(fù)數(shù)相等的兩點(diǎn)說(shuō)明 (1)對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù),若都是實(shí)數(shù),則可以比較大小;若兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù),則不能比較大

3、小,在復(fù)數(shù)集里一般沒有大小之分,但卻有等與不等之分. (2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題的主要方法.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它,把復(fù)數(shù)看成一個(gè)整體,又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí)它.,【做一做2】 實(shí)部為21,虛部為-3的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 解析:由題意知該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(21,-3),故該點(diǎn)位于第四象限. 答案:D 【做一做3】 已知復(fù)數(shù)z=a+i(其中aR)的模為 ,則a的值為.,答案:2,【做一做

4、4】 若(x+y)+yi=(x+1)i.求實(shí)數(shù)x,y的值.,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)因?yàn)樵c(diǎn)在虛軸上,所以數(shù)0是虛數(shù). () (2)兩個(gè)復(fù)數(shù)一定不能比較大小. () (3)復(fù)數(shù)a+bi一定不是實(shí)數(shù). () (4)虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù). (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,復(fù)數(shù)的概念及分類 【例1】 已知mR,復(fù)數(shù)z= +(m2+2m-1)i.當(dāng)m為何值時(shí),(1)zR;(2)z是虛數(shù);(3)z是純虛數(shù). 分析:本題需運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)分類概念來(lái)解決,尤其要注意純虛數(shù)的條件是a=0,且b0.,解:(1)當(dāng)m2+2m-1=0,且m-10,探究

5、一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟解決復(fù)數(shù)分類問題的步驟 (1)化標(biāo)準(zhǔn)式:解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,bR)的形式,以確定實(shí)部和虛部. (2)定條件:復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. (3)下結(jié)論:設(shè)所給復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,bR),z為實(shí)數(shù)b=0;z為虛數(shù)b0;z為純虛數(shù)a=0且b0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1若復(fù)數(shù)z=(x2-1)+ i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為() A.-1B.0 C.1D.-1或1,答案:A,變式訓(xùn)練2已知復(fù)數(shù)z=(a-1)-(2-b)i的實(shí)部和虛部分別是2和1,則

6、實(shí)數(shù)a的值是,b的值是.,答案:33,探究一,探究二,探究三,思維辨析,復(fù)數(shù)的相等及應(yīng)用 【例2】 (1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,yR,求實(shí)數(shù)x與y; (2)設(shè)z1=1+sin -icos ,z2= +(cos -2)i,若z1=z2,求. 分析:先找出兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件列方程組求解.,解:(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得方程組.,則=2k(kZ).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟解決復(fù)數(shù)相等問題的利器化復(fù)為實(shí). (1)把兩個(gè)復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式,分清其實(shí)部與虛部. (2)確立兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)列出方程,即實(shí)部和虛部分別相等. (3)正確解

7、方程組,得到結(jié)果.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)=3,則實(shí)數(shù)x的值是.,解析:根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,答案:-2,變式訓(xùn)練4若ai+2=b-i(a,bR),i為虛數(shù)單位,則a2+b2=.,答案:5,探究一,探究二,探究三,思維辨析,復(fù)數(shù)的幾何意義 【例3】 實(shí)數(shù)a分別取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)z= +(a2-2a-15)i(aR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z,(1)在復(fù)平面的x軸上方;(2)在直線x+y+7=0上. 分析:利用復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程或不等式解決.,解:(1)點(diǎn)Z在x軸上方,a5或a-3. (2)點(diǎn)Z在直線x+y+7=0上

8、,即a3+2a2-15a-30=0. (a+2)(a2-15)=0.a=-2或a= .,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟按照復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì),只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn),就可根據(jù)點(diǎn)的位置確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的條件.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練5若 m1,則復(fù)數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第()象限 A.一B.二C.三D.四,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.,答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,忽視虛數(shù)不能比較大小而致誤 【典例】 求使x+2+(x+y)iy-

9、5+(x+2y-3)i成立的實(shí)數(shù)x,y的取值. 易錯(cuò)分析:兩個(gè)虛數(shù)是不能比較大小的,只有相等和不相等之分,反之,兩個(gè)數(shù)可以比較大小,則這兩個(gè)數(shù)必為實(shí)數(shù).,解:既然兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小,則這兩個(gè)復(fù)數(shù)必然是實(shí)數(shù),糾錯(cuò)心得兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,但是兩個(gè)復(fù)數(shù)中至少有一個(gè)為虛數(shù)時(shí),不能比較大小,如果兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小,不是指實(shí)部與實(shí)部比,虛部與虛部比,而是說(shuō)明兩個(gè)數(shù)都是實(shí)數(shù),即兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部為0,只比較實(shí)部.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,-3n-1,即n無(wú)自然數(shù)解. m,n的值為m=0,n=1或m=0,n=2.,1 2 3 4 5,因此新復(fù)數(shù)為2-2i.,答案:A,1 2 3 4 5,2.已知i為虛數(shù)單位,則i+i2+i3等于() A.-1B.1C.-iD.i 解析:i2=-1,i+i2+i3=i-1-i=-1. 答案:A,1 2 3 4 5,解析:(3a)2+(-6)2=40,a= . 答案:C,1 2 3 4 5,4.已知集合A=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,B=-1,3,且AB=3,求實(shí)數(shù)a的值.,解:AB=3,3A. (a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3.,解得a=-1.