1、12.4離散型隨機(jī)變量及其分布列,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.離散型隨機(jī)變量的分布列,知識梳理,(1)將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個隨機(jī)變量. (2)離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值能夠 ，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量. (3)設(shè)離散型隨機(jī)變量x的取值為a1，a2，隨機(jī)變量x取ai的概率為pi(i1,2，)，記作：p(xai)pi(i1,2，)， 或把上式列表：,一一列舉出來,稱為離散型隨機(jī)變量x的分布列.,(4)性質(zhì)： pi 0，i1，2，； p1p2 .,1,一般地，設(shè)有n件產(chǎn)品，其中有m(m

2、n)件次品.從中任取n (nn)件產(chǎn)品，用x表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么,2.超幾何分布,如果一個隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱x服從參數(shù)為n，m，n的超幾何分布.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.() (2)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象.() (3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)x服從兩點分布.(),(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數(shù)x服從超幾何分布.() (5)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.() (6)

3、離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(),考點自測,1.(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為x，那么x4表示的事件是 a.一顆是3點，一顆是1點 b.兩顆都是2點 c.甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點 d.以上答案都不對,答案,解析,根據(jù)拋擲兩顆骰子的試驗結(jié)果可知，c正確.,答案,解析,2.設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量x去描述1次試驗 的成功次數(shù)，則p(x0)等于,設(shè)x的分布列為,3.從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為x，那么隨機(jī)變量x可能取得的值有 a.17個 b.18個 c.19個 d.20個,答案,

4、解析,x可能取得的值有3,4,5，19，共17個.,4.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有x個紅球，,x的所有可能取值為0,1,2，,x的分布列為,則隨機(jī)變量x的分布列為_.,答案,解析,5.(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)x是一個隨機(jī)變,答案,解析,由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，,量，則p(x4)的值為_.,題型分類深度剖析,題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì),例1(1)設(shè)x是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為,答案,解析,則q等于,解答,(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為,求2x1

5、的分布列.,由分布列的性質(zhì)知 0.20.10.10.3m1，得m0.3. 首先列表為,從而2x1的分布列為,引申探究,解答,1.在本例(2)的條件下，求隨機(jī)變量|x1|的分布列.,由(2)知m0.3，列表,p(1)p(x0)p(x2)0.20.10.3， p(0)p(x1)0.1，p(2)p(x3)0.3， p(3)p(x4)0.3. 故|x1|的分布列為,2.若本例(2)中條件不變，求隨機(jī)變量x2的分布列.,解答,依題意知的值為0,1,4,9,16. p(0)p(x20)p(x0)0.2， p(1)p(x21)p(x1)0.1， p(4)p(x24)p(x2)0.1， p(9)p(x29)p

6、(x3)0.3， p(16)p(x216)p(x4)0.3，,(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù). (2)求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為p(x )ak(k1,2,3,4,5). (1)求a；,解答,解答,解答,命題點1與排列、組合有關(guān)的分布列的求法 例2(2015重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個. (1

7、)求三種粽子各取到1個的概率；,解答,題型二離散型隨機(jī)變量的分布列的求法,(2)設(shè)x表示取到的豆沙粽個數(shù)，求x的分布列.,解答,x的所有可能值為0,1,2，且,綜上知，x的分布列為,命題點2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法 例3(2015安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；,解答,記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件a，,(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)x表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品

8、時所需要的檢測費用(單位：元)，求x的分布列.,解答,x的可能取值為200,300,400.,p(x400)1p(x200)p(x300),故x的分布列為,命題點3與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的分布列的求法,解答,(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記x為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求x的分布列.,用a表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，ak表示“第k局甲獲勝”，bk表示“第k局乙獲勝”.,(1)p(a)p(a1a2)p(b1a2a3)p(a1b2a3a4) p(a1)p(a2)p(b1)p(a2)p(a3)p(a1)p(b2)p(a3)p(a4),(2)x的可能取值為2

9、,3,4,5.,故x的分布列為,求離散型隨機(jī)變量x的分布列的步驟： (1)理解x的意義，寫出x可能取的全部值； (2)求x取每個值的概率； (3)寫出x的分布列. 求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2 (2016湖北部分重點中學(xué)第一次聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為你的幸運數(shù)字. (1)求你的幸運數(shù)字為3的概率；,解答,設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件a，則它包含事件a1，a2，a3，其中a1：三次恰好均為2；a2：三次中恰好1,2

10、,3各一次；a3：三次中有兩次均為1，一次為4. a1，a2，a3為互斥事件，則,(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分的分布列.,解答,由已知得的可能取值為6,4,2,0，,故的分布列為,題型三超幾何分布,例5 (2016濟(jì)南模擬)pm2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)gb30952012，pm2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).,從某

11、自然保護(hù)區(qū)2016年全年每天的pm2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：,記“從10天的pm2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件a，,(1)從這10天的pm2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；,解答,(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到pm2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列.,解答,依據(jù)條件，服從超幾何分布，其中n10，m3，n3，且隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.,故的分布列為,(1)超幾何分布的兩個特點 超幾何分布是不放回抽樣問題； 隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù). (2

12、)超幾何分布的應(yīng)用條件 兩類不同的物品(或人、事)； 已知各類對象的個數(shù)； 從中抽取若干個個體.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動.(每位同學(xué)被選到的可能性相同) (1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率；,解答,設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件a，,(2)設(shè)x為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列.,解答,隨機(jī)變量x的所有可能取值為0,1,2,3.,故隨機(jī)變量x的分布列是,典例某射手有

13、5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列.,離散型隨機(jī)變量的分布列,現(xiàn)場糾錯系列17,錯解展示,現(xiàn)場糾錯,糾錯心得,(1)隨機(jī)變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應(yīng)的事件及其概率. (2)驗證隨機(jī)變量的概率和是否為1.,返回,解 p(1)0.9， p(2)0.10.90.09， p(3)0.10.10.90.009， p(4)0.130.90.000 9， p(5)0.140.000 1. 的分布列為,返回,課時作業(yè),1.(2016太原模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)x的分布列為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9

14、,10,11,12,13,根據(jù)x的分布列知，所求概率為0.280.290.220.79.,則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為,a.0.28 b.0.88 c.0.79 d.0.51,2.(2016岳陽模擬)設(shè)x是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為,答案,解析,則q等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由分布列的性質(zhì)知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,5.(2017武漢質(zhì)檢)從裝有3個白球，4

15、個紅球的箱子中，隨機(jī)取出3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.p(x3) b.p(x2)c.p(x3) d.p(x2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,7.甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得1分)；若x是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分?jǐn)?shù)高者勝)，則x的所有可能取值是_.,答案,解析,1,0,1,2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

16、,x1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了， x0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目， x1，甲搶到1題且答對，乙搶到2題且至少答錯1題或甲搶到3題，且1錯2對， x2，甲搶到2題均答對， x3，甲搶到3題均答對.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.隨機(jī)變量x的分布列如下：,其中a，b，c成等差數(shù)列，則p(|x|1)_，公差d的取值范圍是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a，b，c成等差數(shù)列，2bac.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1

17、3,9.設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為,答案,解析,若隨機(jī)變量y|x2|，則p(y2)_.,0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由分布列的性質(zhì)，知,0.20.10.10.3m1，m0.3.,由y2，即|x2|2，得x4或x0，,p(y2)p(x4或x0)p(x4)p(x0),0.30.20.5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則p(6)_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2015山

18、東改編)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.,個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；,解答,(2)若甲參加活動，求甲得分x的分布列.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,隨機(jī)變量x的取值為0，1,1，因此,所以x的分布列為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,