1、8.4平行關(guān)系,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.直線與平面平行的判定與性質(zhì),知識(shí)梳理,a,a，b ， ab,a,a，a， b,a,ab,2.面面平行的判定與性質(zhì),a，b，abp，a，b,，a，b,重要結(jié)論： (1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則； (2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a，b，則ab； (3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.() (2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面

2、內(nèi)的任一條直線.() (3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(),(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.() (5)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.() (6)若，直線a，則a.(),1.(教材改編)下列命題中正確的是 a.若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 b.若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行 c.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行 d.若直線a，b和平面滿足ab，a， b ，則b,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,a中，a可以在過b的平面內(nèi)； b中，a與內(nèi)的直線可能異面； c中，兩平面可相交； d中，由直

3、線與平面平行的判定定理知，b，正確.,2.設(shè)l，m為直線，為平面，且l，m，則“l(fā)m”是“”的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件d.既不充分也不必要條件,答案,解析,當(dāng)平面與平面平行時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)，故“l(fā)m”是“”的必要條件；當(dāng)兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)平面可以相交，lm是的必要不充分條件.,3.(2016濟(jì)南模擬)平面平面的一個(gè)充分條件是 a.存在一條直線a，a，a b.存在一條直線a，a，a c.存在兩條平行直線a，b，a，b，a，b d.存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b,答案,解析,若l，al，a ，a ，則a，a，故排除a. 若l，a，al

4、，則a，故排除b. 若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除c. 故選d.,4.(教材改編)如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e為dd1的中點(diǎn)，則bd1與平面aec的位置關(guān)系為_.,答案,解析,平行,連接bd，設(shè)bdaco，連接eo，在bdd1中，o為bd的中點(diǎn)，所以eo為bdd1的中位線，則bd1eo，而bd1 平面ace，eo平面ace，所以bd1平面ace.,5.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形efgh為截面，則四邊形efgh的形狀為_.,答案,解析,平行四邊形,平面abfe平面dcgh， 又平面efgh平面abfeef，平面efgh平面dcghhg， efhg.同理e

5、hfg， 四邊形efgh的形狀是平行四邊形.,題型分類深度剖析,例1如圖，四棱錐pabcd中，adbc，abbc ad，e，f，h分別為線段ad，pc，cd的中點(diǎn)，ac與be交于o點(diǎn)，g是線段of上一點(diǎn). (1)求證：ap平面bef；,題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì),命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定,證明,連接ec， adbc，bc ad， bc綊ae， 四邊形abce是平行四邊形， o為ac的中點(diǎn). 又f是pc的中點(diǎn)，foap， fo平面bef，ap 平面bef，ap平面bef.,(2)求證：gh平面pad.,證明,連接fh，oh，f，h分別是pc，cd的中點(diǎn)， fhpd，fh平面pad. 又

6、o是be的中點(diǎn)，h是cd的中點(diǎn)， ohad，oh平面pad. 又fhohh，平面ohf平面pad. 又gh平面ohf，gh平面pad.,例2(2016長(zhǎng)沙模擬)如圖，四棱錐pabcd的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2 .點(diǎn)g，e，f，h分別是棱pb，ab，cd，pc上共面的四點(diǎn)，平面gefh平面abcd，bc平面gefh. (1)證明：ghef；,命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì),證明,因?yàn)閎c平面gefh，bc平面pbc， 且平面pbc平面gefhgh， 所以ghbc. 同理可證efbc，因此ghef.,(2)若eb2，求四邊形gefh的面積.,解答,如圖，連接ac，bd交于點(diǎn)o，bd交

7、ef于點(diǎn)k，連接op，gk. 因?yàn)閜apc，o是ac的中點(diǎn)，所以poac， 同理可得pobd. 又bdaco，且ac，bd都在底面內(nèi)， 所以po底面abcd. 又因?yàn)槠矫鎔efh平面abcd， 且po 平面gefh，所以po平面gefh. 因?yàn)槠矫鎝bd平面gefhgk， 所以pogk，且gk底面abcd，,從而gkef. 所以gk是梯形gefh的高. 由ab8，eb2得ebabkbdb14，,所以gk3.,思維升華,判斷或證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))； (2)利用線面平行的判定定理( ，b，aba)； (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)； (4)利用面面平

8、行的性質(zhì)(，a ，a ，aa).,跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，cd，ab均與平面efgh平行，e，f，g，h分別在bd，bc，ac，ad上，且cdab.求證：四邊形efgh是矩形.,證明,cd平面efgh， 而平面efgh平面bcdef， cdef. 同理hgcd，efhg. 同理hegf， 四邊形efgh為平行四邊形. cdef，heab， hef為異面直線cd和ab所成的角或其補(bǔ)角. 又cdab，heef. 平行四邊形efgh為矩形.,題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì),例3如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分別是ab，ac，a1b1，a1c1的中點(diǎn)，求證： (1)b，c，h，g

9、四點(diǎn)共面；,證明,g，h分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)， gh是a1b1c1的中位線，ghb1c1. 又b1c1bc，ghbc， b，c，h，g四點(diǎn)共面.,(2)平面efa1平面bchg.,證明,e，f分別是ab，ac的中點(diǎn)， efbc. ef 平面bchg，bc平面bchg， ef平面bchg. a1g綊eb，四邊形a1ebg是平行四邊形， a1egb. a1e 平面bchg，gb平面bchg， a1e平面bchg. a1eefe， 平面efa1平面bchg.,引申探究,1.在本例條件下，若d為bc1的中點(diǎn)，求證：hd平面a1b1ba.,證明,如圖所示，連接hd，a1b， d為bc1的中點(diǎn)，

10、h為a1c1的中點(diǎn)， hda1b， 又hd 平面a1b1ba， a1b平面a1b1ba， hd平面a1b1ba.,2.在本例條件下，若d1，d分別為b1c1，bc的中點(diǎn)，求證：平面a1bd1平面ac1d.,證明,如圖所示，連接a1c交ac1于點(diǎn)m， 四邊形a1acc1是平行四邊形， m是a1c的中點(diǎn)，連接md， d為bc的中點(diǎn)， a1bdm. a1b平面a1bd1， dm 平面a1bd1， dm平面a1bd1. 又由三棱柱的性質(zhì)知，d1c1綊bd， 四邊形bdc1d1為平行四邊形，,dc1bd1. 又dc1 平面a1bd1，bd1平面a1bd1， dc1平面a1bd1， 又dc1dmd，dc1

11、，dm平面ac1d， 平面a1bd1平面ac1d.,思維升華,證明面面平行的方法 (1)面面平行的定義； (2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行； (4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行； (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.,跟蹤訓(xùn)練2(2016許昌三校第三次考試)如圖所示，四邊形abcd與四邊形adef都為平行四邊形，m，n，g分別是ab，ad，ef的中點(diǎn).求證： (1)be平面dmf；,證明,如圖所示，設(shè)df與gn交于點(diǎn)o，連接ae，則ae必過點(diǎn)o，

12、 連接mo，則mo為abe的中位線，所以bemo. 因?yàn)閎e 平面dmf，mo平面dmf， 所以be平面dmf.,(2)平面bde平面mng.,證明,因?yàn)閚，g分別為平行四邊形adef的邊ad，ef的中點(diǎn)，所以degn. 因?yàn)閐e 平面mng，gn平面mng， 所以de平面mng. 因?yàn)閙為ab的中點(diǎn)， 所以mn為abd的中位線， 所以bdmn. 因?yàn)閎d 平面mng，mn平面mng， 所以bd平面mng. 因?yàn)閐e與bd為平面bde內(nèi)的兩條相交直線， 所以平面bde平面mng.,題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用,例4如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，d是棱cc1的中點(diǎn)，問在棱ab上是否存在一點(diǎn)

13、e，使de平面ab1c1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)e的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.,解答,方法一存在點(diǎn)e，且e為ab的中點(diǎn)時(shí)，de平面ab1c1. 下面給出證明： 如圖，取bb1的中點(diǎn)f，連接df， 則dfb1c1， ab的中點(diǎn)為e，連接ef，ed， 則efab1，b1c1ab1b1， 平面def平面ab1c1. 而de平面def， de平面ab1c1.,方法二假設(shè)在棱ab上存在點(diǎn)e， 使得de平面ab1c1， 如圖，取bb1的中點(diǎn)f，連接df，ef，ed，則dfb1c1， 又df 平面ab1c1， b1c1平面ab1c1， df平面ab1c1， 又de平面ab1c1， dedfd， 平面def平面a

14、b1c1， ef平面def，ef平面ab1c1，,又ef平面abb1，平面abb1平面ab1c1ab1， efab1， 點(diǎn)f是bb1的中點(diǎn)，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn). 即當(dāng)點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)時(shí)，de平面ab1c1.,思維升華,利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對(duì)于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.,跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在四面體abcd中，截面efgh平行于對(duì)棱ab和cd，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？,解答,幾何畫板展示,ab平面efgh， 平面efgh與平面abc和平面abd分別交于fg，eh. abfg，abeh， fgeh，同理可證efgh

15、， 截面efgh是平行四邊形. 設(shè)aba，cdb，fgh (即為異面直線ab和cd所成的角或其補(bǔ)角).,x0，ax0且x(ax)a為定值，,即當(dāng)截面efgh的頂點(diǎn)e、f、g、h分別為棱ad、ac、bc、bd的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大.,sefghfgghsin ,典例(12分)如圖，在四棱錐sabcd中，已知底面abcd為直角梯形，其中adbc，bad90，sa底面abcd，saabbc2，tansda . (1)求四棱錐sabcd的體積； (2)在棱sd上找一點(diǎn)e，使ce平面sab，并證明.,立體幾何中的探索性問題,答題模板系列5,規(guī)范解答,答題模板,解(1)sa底面abcd，tansda ，sa

16、2， ad3. 2分 由題意知四棱錐sabcd的底面為直角梯形，且saabbc2，,(2)當(dāng)點(diǎn)e位于棱sd上靠近d的三等分點(diǎn)處時(shí)，可使ce平面sab. 8分,證明如下： 取sd上靠近d的三等分點(diǎn)為e，取sa上靠近a的三等分點(diǎn)為f，連接ce，ef，bf，,bc綊ef，cebf.10分 又bf平面sab，ce 平面sab， ce平面sab.12分,返回,解決立體幾何中的探索性問題的步驟： 第一步：寫出探求的最后結(jié)論； 第二步：證明探求結(jié)論的正確性； 第三步：給出明確答案； 第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.,返回,課時(shí)作業(yè),1.(2016保定模擬)有下列命題： 若直線l平行于平面內(nèi)的

17、無數(shù)條直線，則直線l； 若直線a在平面外，則a； 若直線ab，b，則a； 若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中真命題的個(gè)數(shù)是 a.1 b.2 c.3 d.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,命題：l可以在平面內(nèi)，不正確； 命題：直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確； 命題：a可以在平面內(nèi)，不正確； 命題正確.故選a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016濱州模擬)已知m，n，l1，l2表示直線，表示平面.若m，n，l1，l2，l1l2m，則的一

18、個(gè)充分條件是 a.m且l1 b.m且n c.m且nl2 d.ml1且nl2,答案,解析,由定理“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)d可推知.故選d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.對(duì)于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面，下列命題中的真命題是 a.若m，n，則mn b.若m，n，則mn c.若m，n，則mn d.若m，n，則mn,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,對(duì)a，直線m，n可能平行、異面或相交，故a錯(cuò)誤； 對(duì)b，直線m與n可能平行，也可能異面，故b錯(cuò)誤； 對(duì)c，m與n垂直而

19、非平行，故c錯(cuò)誤； 對(duì)d，垂直于同一平面的兩直線平行，故d正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如圖，l，m，n分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則平面lmn與平面pqr的位置關(guān)系是 a.垂直b.相交不垂直 c.平行d.重合,答案,解析,如圖，分別取另三條棱的中點(diǎn)a，b，c，將平面lmn延展為平面正六邊形ambncl，因?yàn)閜qal，pram，且pq與pr相交，al與am相交，所以平面pqr平面ambncl，即平面lmn平面pqr.,5.(2016全國(guó)甲卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： 如果mn，m，n，那么； 如果m，n，那么mn； 如果，m，那么

20、m； 如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等. 其中正確的命題有_.(填寫所有正確命題的編號(hào)),答案,解析,當(dāng)mn，m，n時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.設(shè)，是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題. ，n；m，n；n，m. 可以填入的條件有_.,答案,解析,或,由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確； 當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)， 所

21、以平行，正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在正四棱柱abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，p是dd1的中點(diǎn)，設(shè)q是cc1上的點(diǎn)，則點(diǎn)q滿足條件_時(shí)，有平面d1bq平面pao.,答案,解析,q為cc1的中點(diǎn),假設(shè)q為cc1的中點(diǎn). 因?yàn)閜為dd1的中點(diǎn)， 所以qbpa. 連接db， 因?yàn)閛是底面abcd的中心，所以d1bpo， 又d1b 平面pao，qb 平面pao，且papo于p， 所以d1b平面pao，qb平面pao， 又d1bqb于b，所以平面d1bq平面pao. 故q為cc1的中點(diǎn)時(shí)，有平面d1bq平面pao.,1,2,3,4,5,6,

22、7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.將一個(gè)真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”.給出下列四個(gè)命題： 垂直于同一平面的兩直線平行；垂直于同一平面的兩平面平行；平行于同一直線的兩直線平行；平行于同一平面的兩直線平行. 其中是“可換命題”的是_.(填命題的序號(hào)),答案,解析,由線面垂直的性質(zhì)定理可知是真命題，且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題，故是“可換命題”； 因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬善矫婵赡芷叫谢蛳嘟?，所以是假命題，不是“可換命題”； 由公理4可知是真命題，且平行于同一平面的兩

23、平面平行也是真命題，故是“可換命題”； 因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬蓷l直線可能平行、相交或異面，故是假命題，故不是“可換命題”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如圖，空間四邊形abcd的兩條對(duì)棱ac、bd的長(zhǎng)分別為5和4，則平行于兩條對(duì)棱的截面四邊形efgh在平移過程中，周長(zhǎng)的取值范圍是_.,答案,解析,(8,10),gh5k，eh4(1k)，周長(zhǎng)82k. 又0k1，周長(zhǎng)的取值范圍為(8,10).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在三棱錐sabc中，abc是邊長(zhǎng)為6的正三

24、角形，sasbsc15，平面defh分別與ab，bc，sc，sa交于點(diǎn)d，e，f，h.d，e分別是ab，bc的中點(diǎn)，如果直線sb平面defh，那么四邊形defh的 面積為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如圖，取ac的中點(diǎn)g， 連接sg，bg. 易知sgac，bgac，sgbgg， 故ac平面sgb， 所以acsb. 因?yàn)閟b平面defh，sb平面sab，平面sab平面defhhd， 則sbhd.同理sbfe. 又d，e分別為ab，bc的中點(diǎn)， 則h，f也為as，sc的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以四邊形defh為平行四邊形. 又acsb，sbhd，deac， 所以dehd， 所以四邊形defh為矩形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如圖，e、f、g、h分別是正方體abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、c1d1、aa1的中點(diǎn).求證： (1)eg平面bb1d1d；,證明,取b1d1的中點(diǎn)o，連接go，ob， 易證四邊形bego為平行四邊形，故obeg， 由線面平行的判定定理即可證eg平面bb1d1d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)平面bdf平面b1d1h.,證明,由題意可知bdb1d1. 如圖，連接