1、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性北京22中教育目標(biāo)1.掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四茄子輔助定理。求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)間距。必須明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)間距是定義域的子集。教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)學(xué)生應(yīng)用牙齒子句的輔助定理，求出給定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.課程難點(diǎn)是學(xué)生必須明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。教授課程設(shè)計(jì)老師：這次我們來(lái)談?wù)剰?fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。首先，復(fù)習(xí)一下復(fù)合函數(shù)的定義。生：設(shè)定y=f(u)的定義范圍為a，u=g(x)的范圍為b，如果是AB，則y x函數(shù)的y=f g (x)稱(chēng)為函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間量。老師：好的?，F(xiàn)在，我們?cè)購(gòu)?fù)習(xí)一下所學(xué)函數(shù)的單調(diào)部分。(老師把學(xué)過(guò)的函數(shù)都寫(xiě)在黑板上，中

2、間留寫(xiě)答案的地方，學(xué)生正確回答的時(shí)候，老師把正確答案寫(xiě)在相應(yīng)的問(wèn)題下面。）(教師板書(shū)，可以寫(xiě)得適當(dāng)一些。）以下列函數(shù)的單調(diào)間隔為例：1.主函數(shù)y=kx b(k0)。當(dāng)K 0時(shí)，(-，)是牙齒函數(shù)的單調(diào)遞增間隔。當(dāng)K 0時(shí)，(-，0)和(0，)都是牙齒函數(shù)的單調(diào)負(fù)間距，當(dāng)k 1時(shí)(-，-)是牙齒函數(shù)的單調(diào)負(fù)區(qū)間，(-，)是它的單調(diào)遞增區(qū)間。A 0，a1)。A 1時(shí)(-，)是牙齒函數(shù)的單調(diào)遞增間隔，0 A 0，a1)。A 1時(shí)，(0，)是牙齒函數(shù)的單調(diào)遞增間隔，0 A 1時(shí)，(0，)是它的單調(diào)遞減間隔。老師：我們還學(xué)了力函數(shù)y=xn(n是有理數(shù))，因?yàn)镹的其他價(jià)值情況可以把它的定義域分為多個(gè)茄子情

3、況，所以比較復(fù)雜，我們遇到具體情況時(shí)可以更具體地分析。(大衛(wèi)亞設(shè)，美國(guó)電視電視劇)老師：牙齒函數(shù)y=2x2 2x 1。明明是復(fù)合函數(shù)，那個(gè)單調(diào)怎么樣？生：它是(-，)的附加函數(shù)。老師：好像是這樣想的。底數(shù)為2的金志洙函數(shù)是增函數(shù)，牙齒函數(shù)的定義字段是(-，)，因此可以得到上述答案。牙齒方法顯然忽略了二次函數(shù)u=x2 2x 1的存在，沒(méi)有考慮牙齒二次函數(shù)的單調(diào)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)值(板書(shū))輔助1已知函數(shù)y=f g (x)。如果u=g(x)是間距(a，b)中的加值函數(shù)，則值的范圍為(c，d)，函數(shù)y=f(u)。(本輔助定理的開(kāi)閉區(qū)間也可以是開(kāi)閉區(qū)間或半閉區(qū)間。）在區(qū)間(a，b)內(nèi)取得兩個(gè)數(shù)字x1，x2

4、，并將a x1 x2 bU=g(x)是間距(a，b)中的附加函數(shù)，因此g (x1) g (x2)，唱片u1=g(x1)，u2=g(x2)是uus函數(shù)y=f(u)是間距(c，d)中的附加函數(shù)，因此它是f (u1) f (U2)或f g (x1) f f (x2)因此，函數(shù)y=f g (x)是間距(a，b)中的附加函數(shù)。老師：用牙齒輔助解決所有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問(wèn)題嗎？生：不行。因?yàn)椴皇撬械暮?jiǎn)單函數(shù)都是特定區(qū)間的增益。老師：你回答得很好。因此，還需要添加一些輔助，以便于求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)間距。(教師根據(jù)學(xué)生情況和時(shí)間，可以決定輔助2是否在輔助1的基礎(chǔ)上做一些更改。提出輔助2的證明也可以更改輔助1的部

5、分證明過(guò)程。）輔助清理2已知函數(shù)y=f g (x)。如果u=g(x)是間距(a，b)中的減法函數(shù)，則值的范圍為(c，d)，函數(shù)y=f(u)。在區(qū)間(a，b)內(nèi)取得兩個(gè)數(shù)字x1，x2，并將a x1 x2 g (x2)，唱片u1=g(x1)，u2=g(x2)函數(shù)y=f(u)是間距(c，d)中的減法函數(shù)，因此f (u1) f (U2)為f g (x1) 0，U=x2-4x3，原始復(fù)合函數(shù)的定義字段為x 3。老師：牙齒階段我們都很清楚。復(fù)合函數(shù)的定義域。接下來(lái)要找單調(diào)的區(qū)間。如何解決單調(diào)的區(qū)間會(huì)落在正義站內(nèi)呢？健康：使用圖像。老師：牙齒方法完全可以。只是說(shuō)得更清楚一點(diǎn)，利用什么函數(shù)的圖像呢？但是我們沒(méi)

6、有學(xué)過(guò)畫(huà)復(fù)合函數(shù)的圖像嗎？你想怎樣解決牙齒問(wèn)題？生：老師：我來(lái)幫你。所有同學(xué)請(qǐng)考慮定義域也好，單調(diào)區(qū)間也好，求X的值范圍，求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值范圍。或者求中間數(shù)量U的值范圍？健康：查找x值范圍。老師：所以我們只需要畫(huà)出X的范圍。不要畫(huà)復(fù)合函數(shù)的圖像。(板書(shū))老師：在x-(-，1)中，u=x2-4x3是減法函數(shù)，y=log4u是遞增函數(shù)，因此(-，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞減間距。在x(3，)的情況下，u=x2-4x3是增量函數(shù)y=log4u是增量函數(shù)，因此(3，)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞增間隔。老師：除了這種方法外，還可以用代數(shù)方法解單調(diào)區(qū)間。下面首先求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)負(fù)區(qū)間。(板書(shū))U=x2-4x3=(

7、x-2) 2-1，X 3或x 1，(復(fù)合函數(shù)定義字段)X 2 (u減)X 3或x 2 (u增量)解釋X 3。因此，(3，)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞增間隔。老師：現(xiàn)在我們?cè)倏匆幌掳咐?。(板書(shū))示例2查找以下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)間距：Y=log (2x-x2)老師：請(qǐng)先在筆記本上準(zhǔn)備好。幾分鐘后我們一起看黑板吧。我再說(shuō)一遍，我會(huì)寫(xiě)的。(板書(shū))設(shè)定Y=logu，u=2x-x2U 0U=2x-x2理解原始復(fù)合函數(shù)的定義字段為0 x 2。Y=logu是定義域(0，)內(nèi)的減法函數(shù)，因此原始復(fù)合函數(shù)的單調(diào)與二次函數(shù)U=2X-X2的單調(diào)相反。易于識(shí)別的u=2x-x2=-(x-1) 2 1 x荔1中單調(diào)0 x 2(復(fù)合函數(shù)

8、定義域)X1，(u增量)因?yàn)?0 x1已求解)，所以(0 x1)是原始復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。另外，u=-(x-1) 2 1在x1點(diǎn)單調(diào)遞減X 2，(復(fù)合函數(shù)定義域)X1，(u減)求解了0x 2，因此0，1=原來(lái)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞增間隔。師：上述解法中，讓正義站和單調(diào)區(qū)間采取共同部分，確保單調(diào)區(qū)間落在正義站內(nèi)。老師：下次再看一個(gè)標(biāo)題，或者自行準(zhǔn)備，按照黑板上第一個(gè)問(wèn)題的形式寫(xiě)。(板書(shū))求例3 y=的單調(diào)間隔。(幾分鐘后，老師找到了對(duì)的或基本正確的學(xué)生，他口述了他的所有問(wèn)題解決課程，老師寫(xiě)在黑板上，全部寫(xiě)完，然后老師確認(rèn)或修改了學(xué)生的方法，以便所有學(xué)生再次熟悉問(wèn)題解決思維和形式要求。）Y=，u=7

9、-6x-x2取消設(shè)置U0，U=7-6x-x2原始復(fù)合函數(shù)的定義面積為-7x1。Y=是定義域0 內(nèi)的附加函數(shù)，因此可以看出，原始復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)U=-x2-6x7的單調(diào)性相同。易于識(shí)別的u=-x2-6x 7=-(x 3)2 16在x-3點(diǎn)單調(diào)遞增。在中-7x1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x-3，(u增量)解-7x-3-7，3是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。易于識(shí)別的u=-x2-6x7=-(x-3) 2 16 x -3點(diǎn)單調(diào)遞減-7x1(復(fù)合函數(shù)定義域)X -3，(u減)求解了-3x1，因此-3，1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。老師：現(xiàn)在，讓我們看最后一個(gè)例子。牙齒問(wèn)題大家都獨(dú)立在筆記本上做。我會(huì)在黑板上

10、叫一個(gè)同學(xué)。(大衛(wèi)亞設(shè)，美國(guó)電視電視劇)(板書(shū))求實(shí)例4 y=的單調(diào)間隔。(學(xué)生黑板)Y=。取消設(shè)置為ur、U=x2-2x-1，原始復(fù)合函數(shù)的定義區(qū)域是xr。理解為輔助函數(shù)U=X2-2X-1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性相反，因?yàn)閅=是定義域R內(nèi)的減法函數(shù)。眾所周知，u=x2-2x-1=(x-1) 2-2從x1單調(diào)地減少xr，(復(fù)合函數(shù)定義域)X1，(u減)解X1。因此，(-，1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞增間隔。相同的1，是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。老師：黑板上的牙齒問(wèn)題做得好。請(qǐng)大家猜一下黑板上的整個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程。老師：讓我總結(jié)一下牙齒。牙齒單元談復(fù)合函數(shù)的單調(diào)。單調(diào)區(qū)間必須是定義區(qū)間的子集。求單調(diào)區(qū)間時(shí)

11、，首先要求原始復(fù)合函數(shù)的定義域。另外，我們剛學(xué)了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)，做這種問(wèn)題的時(shí)候必須按要求做，不能跳。(作業(yè)都是補(bǔ)充問(wèn)題)作業(yè)求以下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)間距。1 . y=lo G3(x2-2x)；(a: (-，0)是單調(diào)的負(fù)間距，(2，)是單調(diào)的增量間距。）2.y=日志(x2-3x 2)；(a: (-，1)是單調(diào)的增加間隔，(2，)是單調(diào)的減少間隔。）3.y=，(a: 2，單調(diào)遞增間隔， ，3單調(diào)遞減間隔。）4 . y=；(a: (-，0)，(0，)都是單調(diào)的增量間隔。單調(diào)的間隔之間不能進(jìn)行并集。）5 . y=；(a (-，0)是單調(diào)遞增間隔，(0，)是單調(diào)遞減間隔)6.y=，(a (-，)是單調(diào)的負(fù)間距。）7 . y=；(a: (0，)是單調(diào)遞減的間隔。）8 . y=；(a: (0，2)單調(diào)的負(fù)間距，(2，4)單調(diào)的增量間隔。）9 . y=；(a: (0，3)單調(diào)負(fù)間距，(3，6)單調(diào)遞增間隔。）10 . y=；(a (-，1)是單調(diào)遞增間隔，(1，)是單調(diào)遞減間隔。）教室教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1.復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單提問(wèn)函數(shù)的單調(diào)性。復(fù)查問(wèn)題復(fù)合函數(shù)的定義。3.引出一個(gè)助手來(lái)證明，并以表格形式給出所有助手。4.例1中，教師要學(xué)生分析，強(qiáng)調(diào)單調(diào)區(qū)間必須是定義領(lǐng)域的子集。