1、4.7解三角形應(yīng)用舉例2014高考會這樣考考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中和三角形有關(guān)的角度、方向、距離等測量問題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.會從實際問題抽象中解三角形問題，培養(yǎng)建模能力；2.掌握解三角形實際應(yīng)用的基本方法，體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等2 實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等(3)方位角指從正北

2、方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值3 解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等難點正本疑點清源解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出

3、這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解1 在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60，C點的俯角是70，則BAC_.答案130解析由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.2 (2011上海)在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點之間的距離是_千米答案解析如圖所示，由題意知C45，由正弦定理得，AC.3 江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩

4、條船相距_ m.答案10解析如圖，OA為炮臺，M、N為兩條船的位置，AMO45，ANO60，OMAOtan 4530，ONAOtan 303010，由余弦定理得，MN10(m)4 某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)1 000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0，則山的高度BC為_ m.答案500(1)解析過點D作DEAC交BC于E，因為DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m)5 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相

5、等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 ()A北偏東10 B北偏西10C南偏東10 D南偏西10答案B解析燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得ACB80，CABCBA50，則605010，即北偏西10.題型一測量距離問題例1要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之間的距離思維啟迪：將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再利用正、余弦定理解三角形解如圖所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC

6、中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB (km)，A、B之間的距離為 km.探究提高這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解注意：基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng) 如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米答案50解析連接OC，在OCD中，OD100，CD150，

7、CDO60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，解得OC50(米)題型二測量高度問題例2某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高思維啟迪：依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40米，此時DBF45，從C到D沿途測塔的仰角，只有B到測試點的距離最短時，仰角才最大，這是因為tanAEB，AB為定值，BE最小時，仰角最大要求出塔高AB，必須先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40，此時DBF45，過點B作BECD于E，則AEB30，

8、在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米探究提高在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進(jìn)行求解注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識 如圖所示，B，C，D三點在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為和()，則A點距地面的高AB為_答案解析ABACsin ，解得AB.題型三測量角度問題例3某漁輪在航行中不幸遇險

9、，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間思維啟迪：本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設(shè)出所用時間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形解如圖所示，根據(jù)題意可知AC10，ACB120，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB21t，BC9t，在ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t21028

10、1t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以艦艇靠近漁輪所需的時間為 h此時AB14，BC6.在ABC中，根據(jù)正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)即艦艇航行的方位角為4521.866.8.所以艦艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近漁輪探究提高對于和航行有關(guān)的問題，要抓住時間和路程兩個關(guān)鍵量，解三角形時將各種關(guān)系集中在一個三角形中利用條件 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B

11、處救援，則cos 等于()A. B. C. D.答案B解析如圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用典例：(12分)如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的

12、速度，以B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間審題視角(1)分清已知條件和未知條件(待求)(2)將問題集中到一個三角形中，如ABC和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解規(guī)范解答解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD10t(海里)，BD10t(海里)，1分在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206.BC(海里)3分又，sinABC，ABC45，B點在C點的正東方向上，CBD9030120，5分在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船沿北

13、偏東60的方向行駛8分又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小時15(分鐘)11分緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘12分答題模板解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為第一步：分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；第二步：建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；第四步：檢驗檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解溫馨提醒(1)由實際出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的基本思路如果涉及三角形問題，我們

14、可以把它抽象為解三角形問題進(jìn)行解答，之后再還原成實際問題，即利用上述模板答題(2)本題的易錯點：不能將已知和待求量轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，無法運用正、余弦定理求解.方法與技巧1合理應(yīng)用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型2把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數(shù)求值3合理運用換元法、代入法解決實際問題失誤與防范在解實際問題時，應(yīng)正確理解如下角的含義1方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角2方位角從正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角3坡度坡面與水平面所成的二面角的正切值4仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時稱為仰角

15、，目標(biāo)視線在水平視線下方時稱為俯角A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設(shè)為坡角，那么cos 等于 ()A. B. C. D.答案B解析因為tan ，所以cos .2 有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為()A1 B2sin 10C2cos 10 Dcos 20答案C解析如圖，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.3 一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水

16、柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是 ()A50 m B100 m C120 m D150 m答案A解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4. 如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A、B兩點的距離為()A50 m B50 mC25

17、 m D. m答案A解析ACB45，CAB105，ABC1801054530.在ABC中，由正弦定理得，AB50 (m)二、填空題(每小題5分，共15分)5 甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是_答案20米、米解析如圖，依題意有甲樓的高度為AB20tan 6020(米)，又CMDB20(米)，CAM60，所以AMCM(米)，故乙樓的高度為CD20(米)6 一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為_ km.答案30解析

18、如圖所示，依題意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 (km)7. 如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，則BC的長為_答案8解析在ABD中，設(shè)BDx，則BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，BCsin 308.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得BCD15，BDC30，CD30 m，并在點C處測

19、得塔頂A的仰角為60，求塔高AB.解在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理，得，所以BC15 (m)在RtABC中，ABBCtanACB15tan 6015 (m)所以塔高AB為15 m.9 (12分)如圖，在ABC中，已知B45，D是BC邊上的一點，AD10，AC14，DC6，求AB的長解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 在ABC中，已知A45，AB，BC2，則C等于()A3

20、0 B60 C120 D30或150答案A解析利用正弦定理可得，sin C，C30或150.又A45，且ABC180，C30，故選A.2 某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 ()A. B2C.或2 D3答案C解析如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理，得x23x60，解得x或2.3 一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直 線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是 ()A10海里 B10海里C20海里 D20海里答案A解析如圖，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)二、填空題(每小題5分，共15分)4 一船由B處向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔C、D恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后到達(dá)A處，看見燈塔C在它的南偏西60方向