1、廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，設(shè)，則集合的元素個(gè)數(shù)為( )A. 9B. 8C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】寫出集合A,由交集運(yùn)算得到集合C，從而得到元素個(gè)數(shù).【詳解】,則，集合C的元素個(gè)數(shù)為2，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.設(shè)，則=（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】試題分析：因，故，所以應(yīng)選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)及模的計(jì)算3.下列全稱命題中假命題的個(gè)數(shù)是( ) 是整數(shù)；對(duì)所有的，；對(duì)任意一個(gè)，為

2、奇數(shù)A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)x=時(shí)錯(cuò)；當(dāng)x=0時(shí)錯(cuò)；所以是假命題。對(duì)任意一個(gè)xZ，2x2是偶數(shù)，是真命題即假命題有2個(gè)，選C考點(diǎn)：本題主要考查全稱命題真假判斷。點(diǎn)評(píng)：要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，我們要有一個(gè)嚴(yán)格的論證過(guò)程，但要說(shuō)明一個(gè)全稱命題是一個(gè)假命題，只需要舉出一個(gè)反例即可。此類題綜合性較強(qiáng)，主要涉及知識(shí)面廣。4.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)即可判斷出a，b，c的大小關(guān)系【詳解】指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，故a=20.6201，對(duì)數(shù)函數(shù)y=在上單調(diào)遞增，則0b=log31，對(duì)數(shù)函數(shù)y=在

3、上單調(diào)遞增，則；cba故選：A【點(diǎn)睛】解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；5.某公司2020年的年利潤(rùn)(單位：百萬(wàn)元)與年廣告支出(單位：百萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：年份202020202020202020202020利潤(rùn)12.214.6161820.422.3支出0.620.740.810.891.001.11根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則 ()A. 利潤(rùn)中位數(shù)是16，與有正相關(guān)關(guān)系B. 利潤(rùn)中位數(shù)是17，與有正相關(guān)關(guān)系C. 利潤(rùn)中位數(shù)是17，與有負(fù)相關(guān)關(guān)系D. 利潤(rùn)中位數(shù)是18，與有負(fù)相關(guān)關(guān)系【答案】B【解析】【分析】求出利潤(rùn)中位

4、數(shù)，而且隨著利潤(rùn)的增加，支出也在增加，故可得結(jié)論【詳解】由題意，利潤(rùn)中位數(shù)是，而且隨著利潤(rùn)的增加，支出也在增加，故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系故選：C【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的求法，如果樣本容量是奇數(shù)中間的數(shù)就是中位數(shù)，如果樣本容量為偶數(shù)中間兩位數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).6.過(guò)點(diǎn)引圓的切線，則切線長(zhǎng)是 ( )A. 3B. C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到點(diǎn)P的距離d，根據(jù)圓的半徑r，即可求出切線長(zhǎng)【詳解】圓x2+y22x4y+10的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x1）2+（y2）24，圓心（1，2）到點(diǎn) 的距離d；圓的半徑r2，切線長(zhǎng)為l故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程與

5、性質(zhì)，以及切線長(zhǎng)公式的應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)向圓作切線PM（M為切點(diǎn)），則切線長(zhǎng).7.已知非零向量，若，則與的夾角（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件容易求出t=4，從而得出，從而得出可設(shè)與的夾角為，這樣根據(jù) 即可求出cos，進(jìn)而得出的值【詳解】因t=4；，設(shè)與的夾角為，則：，故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.8.執(zhí)行如下圖的程

6、序框圖，那么輸出的值是( )A. 2B. 1C. D. -1【答案】A【解析】【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的k和S值，根據(jù)題意即可得到結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行如下，k=0, S1，k1，S；k2，S；k3，S-1變量S的值以3為周期循環(huán)變化，當(dāng)k=2020時(shí)，s=2，K=2020時(shí)，結(jié)束循環(huán)，輸出s的值為2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，是當(dāng)型結(jié)構(gòu)，即先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件，跳出循環(huán)，算法結(jié)束，解答的關(guān)鍵是算準(zhǔn)周期，是基礎(chǔ)題9.點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且點(diǎn)到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為.的最小正周期是；的值域?yàn)椋坏某跸酁?；在上單調(diào)遞增.以上說(shuō)法正確的

7、個(gè)數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由條件利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，以及圖象的對(duì)稱性，即可得出結(jié)論【詳解】點(diǎn)P（，1）是函數(shù)f（x）sin（x+）+m（0，|）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，m1，（）+k，kZ點(diǎn)P到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為，2，k+, kZ，又|，f（x）sin（2x+）+1故f（x）的最小正周期是，正確；f（x）的值域?yàn)?，2，正確；f（x）的初相為，正確；在，2上，2x+，根據(jù)函數(shù)的周期性，函數(shù)單調(diào)性與 ，時(shí)的單調(diào)性相同，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)

8、題10.分別在區(qū)間和內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，依次記為和，則的概率為 ()A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：的概率為,故選A.考點(diǎn)：幾何概型.11.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此題轉(zhuǎn)化為（x+）minm2+3m，利用“1”的代換的思想進(jìn)行構(gòu)造，運(yùn)用基本不等式求解最值，最后解關(guān)于m的一元二次不等式的解集即可得到答案【詳解】不等式x+ m2+3m有解，（x+）minm23m，x0，y0，且，x+（x+）（）4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2，y8時(shí)取“”，（x+）min4，故m2+3m4，即（m-1）（m+4）0，

9、解得m4或m1，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，4）（1，+）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用和不等式有解問(wèn)題在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值對(duì)于不等式的有解問(wèn)題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解12.已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a2，焦距2c根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2

10、|，在F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2，設(shè)|F1F2|2c，F(xiàn)1PF2，則：在PF1F2中，由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（a1+a2）（a1a2）cos化簡(jiǎn)得：a12+3a224c2，該式可變成：，2 ，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，考查利用基本不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題二、填空題：本大共4小題每小題5分

11、，滿分20分13.已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則雙曲線的方程為_(kāi) .【答案】【解析】【分析】由題意可得c，即有a2+b2，由點(diǎn)P在漸近線上，可得a2b，解方程可得a，b，進(jìn)而得到所求雙曲線方程【詳解】雙曲線的焦距為，可得2c，即c，即有a2+b2125，雙曲線的漸近線方程為yx，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，可得a2b，解得a10，b5，得到雙曲線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和基本量的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14.已知復(fù)數(shù)滿足，則_.【答案】【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算計(jì)算得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，從而得到復(fù)數(shù)z.【詳解】，則復(fù)數(shù)

12、z=2-i,故答案為：2-i【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題.15.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則實(shí)數(shù)_ .【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，由切線斜率為1，可得到答案.【詳解】函數(shù)f（x），則導(dǎo)數(shù),由函數(shù)f（x）的圖象在x2處的切線方程為yx+b可知, 解得a2，故答案為：-2【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出，利用兩式作差得到，然后利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng).【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且當(dāng)n2

13、時(shí)，則有，-得： ，整理得（n2），則當(dāng)n3時(shí)有，解得（n3）,檢驗(yàn)：當(dāng)n=2時(shí)，滿足上式，當(dāng)n=1時(shí)，不滿足上式，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查累乘法求通項(xiàng)，考查計(jì)算能力.三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.某銀行對(duì)某市最近5年住房貸款發(fā)放情況(按每年6月份與前一年6月份為1年統(tǒng)計(jì))作了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：年份20202020202020202020貸款(億元)50607080100(1)將上表進(jìn)行如下處理：，得到數(shù)據(jù)：1234501235試求與的線性回歸方程，再寫出與的線性回歸方程.(2)利用(1)中所

14、求的線性回歸方程估算2020年房貸發(fā)放數(shù)額. 參考公式：, 【答案】（1）；（2）108億元.【解析】【分析】（1）利用題目中數(shù)據(jù)求出a和b,即可得z=bt+a,將tx2020，z（y50）10，代入上式整理可得結(jié)果（2）把x2020代入回歸直線方程即可得到答案.【詳解】（1）計(jì)算得3，2.2，,所以， a2.21.231.4，所以z1.2t1.4注意到tx2020，z（y50）10，代入z1.2t1.4，即（y50）10=1.2(x-2020)-1.4,整理可得y12x24120（2）當(dāng)x2020時(shí)，y12202024120108，即2020年房貸發(fā)放數(shù)額為108億元【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線

15、方程的求解及其應(yīng)用，其中認(rèn)真審題，利用表中數(shù)據(jù)和公式，準(zhǔn)確合理的運(yùn)算是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，（1）求的面積；（2）求線段的長(zhǎng)【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求得的值后再利用三角形的面積計(jì)算公式即可求解；（2）利用余弦定理求得的值后即可求解試題解析：（1），且，又，,， ；（2） ，且,，又，又在中,即,考點(diǎn)：余弦定理解三角形19.按規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在2080mg/100ml（不含80）之間，屬酒后駕車；在（含80）以上時(shí)，屬醉酒駕車某市交警在某路段的一次攔查行動(dòng)中，依法檢查了250輛機(jī)動(dòng)車，查出酒后駕車和醉酒駕車的駕

16、駛員20人，右圖是對(duì)這20人血液中酒精含量進(jìn)行檢查所得結(jié)果的頻率分布直方圖（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求：此次抽查的250人中，醉酒駕車的人數(shù)；（2）從血液酒精濃度在范圍內(nèi)的駕駛員中任取2人，求恰有1人屬于醉酒駕車的概率【答案】（1）3人；（2）；【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖，先求出血液酒精濃度在和在范圍內(nèi)的人數(shù)，然后作和即為醉酒駕車的人數(shù)；（2）先求出從血液酒精濃度在范圍內(nèi)駕駛員中任取2人的所有個(gè)數(shù)，以及恰有一人的血液酒精濃度在范圍內(nèi)的所有個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)值做比值即可；試題解析：（1）由頻率分布直方圖可知：血液酒精濃度在范圍內(nèi)有：人，血液酒精濃度在范圍內(nèi)有：人，所以醉酒駕車的人數(shù)為2+

17、1=3人；（2）因?yàn)檠壕凭珴舛仍趦?nèi)范圍內(nèi)有3人，記為，范圍內(nèi)有2人，記為，則從中任取2人的所有情況為 共10種，恰有一人的血液酒精濃度在范圍內(nèi)的情況有，共6種設(shè)“恰有1人屬于醉酒駕車”為事件，則考點(diǎn)：頻率分布直方圖；20.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的公差不為0，數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列中項(xiàng)的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出首項(xiàng)和公差的方程組，即可解得答案.（2）利用錯(cuò)位相減求和即可得到答案.【詳解】（1）由成等比數(shù)列得，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，化簡(jiǎn)得或d=0.當(dāng)

18、時(shí)，得，即；當(dāng)d=0時(shí)，由，得，即；（2）若數(shù)列的公差不為知,，所以由可得.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)和等比數(shù)列中項(xiàng)的定義的應(yīng)用，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和和錯(cuò)位相減求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn)，直線為軌跡上在點(diǎn)處的切線，直線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軌跡于點(diǎn)，求的面積的最小值【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)，由圓的半徑、弦心距及半弦長(zhǎng)的關(guān)系列式整理求得動(dòng)圓圓心軌跡C的方程；（2）由拋物線方程設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線PR方程，代入y1得點(diǎn)R橫坐標(biāo)，求

19、PQ所在直線方程，和拋物線聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段PQ和PR的長(zhǎng)度，由三角形面積公式得到面積關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)，利用換元法及基本不等式求最值【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），由動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為4得，|CA|2y24，即x2+（y2）2y24，整理得：x24y動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x24y；（2）C的方程為x24y，即，故，設(shè)P(t,)（t0），PR所在的直線方程為，即，令y=-1得點(diǎn)R橫坐標(biāo)，|PR|=； PQ所在的直線方程為，即，由，得，由得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，|PQ|=，不妨設(shè)t0，,記 ，則當(dāng)t2時(shí)，f（t）min4,則三角形面積的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方