1、2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值最新考綱考情考向分析1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；強化對函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的考查，題型既有選擇、填空題，又有解答題.1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的當(dāng)x1f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減少的圖像描述自左向右看圖像是上升的自左向右看圖像

2、是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么就稱A為單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前提函數(shù)yf(x)的定義域為D條件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)對于任意xD，都有f(x)M(3)存在x0D，使得f(x0)M；(4)對于任意xD，都有f(x)M結(jié)論M為最大值M為最小值知識拓展函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)對任意x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增加的，0)的遞增區(qū)間為(，和，)，遞減區(qū)間為，0)和(0，(3)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)(4)函數(shù)f(g(x)的單調(diào)性與函數(shù)yf(u)和ug(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異

3、減”題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(1)f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)()(2)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間是1，)()(3)函數(shù)y的遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(4)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點取到()題組二教材改編2函數(shù)f(x)x22x的遞增區(qū)間是_答案1，)(或(1，)3函數(shù)y在2,3上的最大值是_答案24若函數(shù)f(x)x22mx1在2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_答案(，2解析由題意知，2，)m，)，m2.題組三易錯自糾5函數(shù)y(x24)的遞減區(qū)間為_答案(2，)6

4、若函數(shù)f(x)|2xa|的遞增區(qū)間是3，)，則a的值為_答案6解析由圖像(圖略)易知函數(shù)f(x)|2xa|的遞增區(qū)間是，令3，得a6.7函數(shù)f(x)的最大值為_答案2解析當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x1時，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性典例 (1)(2017全國)函數(shù)f(x)ln(x22x8)的遞增區(qū)間是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)答案D解析由x22x80，得x4或x2.設(shè)tx22x8，則yln t為增函

5、數(shù)要求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx22x8的遞增區(qū)間函數(shù)tx22x8的遞增區(qū)間為(4，)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(4，)故選D.(2)函數(shù)yx22|x|3的遞減區(qū)間是_答案1,0，1，)解析由題意知，當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24；當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24，二次函數(shù)的圖像如圖由圖像可知，函數(shù)yx22|x|3的遞減區(qū)間為1,0，1，)命題點2解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性典例 判斷并證明函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的單調(diào)性解函數(shù)f(x)ax2(1a3)在1,2上是增加的證明：設(shè)1x1x22，則f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10

6、,2x1x24，1x1x24，1.又因為1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，從而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故當(dāng)a(1,3)時，f(x)在1,2上是增加的引申探究如何用導(dǎo)數(shù)法求解本例？解因為f(x)2ax，因為1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函數(shù)思維升華 確定函數(shù)單調(diào)性的方法(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖像法，圖像不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“”連接跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017鄭州模擬)函數(shù)y的遞

7、增區(qū)間為()A(1，) B.C. D.答案B解析易知函數(shù)yt為減函數(shù)，t2x23x1的遞減區(qū)間為.函數(shù)y的遞增區(qū)間是.(2)函數(shù)f(x)|x2|x的遞減區(qū)間是()A1,2 B1,0C(0,2 D2，)答案A解析由題意得，f(x)當(dāng)x2時，2，)是函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；當(dāng)xx11時，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱，且在(1，)上是減函數(shù)，因為aff，且2ac.命題點2解函數(shù)不等式典例 若f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，則當(dāng)f(x)f(x8)2時，x的取值

8、范圍是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因為f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得80)在區(qū)間2,4上是減少的，則實數(shù)a的值是_答案8解析f(x)x|2xa|(a0)，作出函數(shù)圖像(圖略)可得該函數(shù)的遞減區(qū)間是，所以解得a8.(2)(2017珠海模擬)定義在R上的奇函數(shù)yf(x)在(0，)上是增加的，且f0，則不等式f(x)0的解集為_答案解析由題意知，ff0，f(x)在(，0)上也是增加的f(x)f或f(x)f，x或x0，解得0x或1x3.原不等式的解集為.1下列函數(shù)中，在區(qū)間(

9、0，)上為增函數(shù)的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案A解析函數(shù)y的遞增區(qū)間是(1，)，在(0，)上為增函數(shù)，故選A.2(2017河南中原名校第一次質(zhì)檢)函數(shù)y(x2x6)的遞增區(qū)間為()A. B.C. D.答案A解析由x2x60，得2x3，故函數(shù)的定義域為(2,3)，令tx2x6，則yt，易知其為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的性法則可知本題等價于求函數(shù)tx2x6在(2,3)上的遞減區(qū)間利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得tx2x6在定義域(2,3)上的遞減區(qū)間為，故選A.3已知函數(shù)f(x)則“c1”是“函數(shù)f(x)在R上是增加的”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不

10、充分又不必要條件答案A解析若函數(shù)f(x)在R上是增加的，則需log21c1，即c1.由于c1，即c1，但c1不能得出c1，所以“c1”是“函數(shù)f(x)在R上是增加的”的充分不必要條件4已知函數(shù)ylog2(ax1)在(1,2)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0,1 B1,2C1，) D2，)答案C解析要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增函數(shù)，則a0且a10，即a1.5(2017天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)若af，bf，cf(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aabc Bbac Ccba Dca1)是增函數(shù)，故a1，所以a的取值范圍為1a2.11已知f(x)(xa)(

11、1)若a2，試證f(x)在(，2)上是增加的；(2)若a0且f(x)在(1，)上是減少的，求a的取值范圍(1)證明設(shè)x1x22，則f(x1)f(x2).因為(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上是增加的(2)解設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2).因為a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.綜上所述，0a1.12函數(shù)f(x)4x24axa22a2在區(qū)間0,2上有最小值3，求a的值解f(x)422a2，當(dāng)0，即a0時，函數(shù)f(x)在0,2上是增函數(shù)f(x)minf(0)

12、a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.當(dāng)02，即0a4時，f(x)minf2a2.由2a23，得a(0,4)，舍去當(dāng)2，即a4時，函數(shù)f(x)在0,2上是減函數(shù)，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5.a4，a5.綜上所述，a1或a5.13已知函數(shù)f(x)x22axa在區(qū)間(，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)在區(qū)間(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是減函數(shù) D是增函數(shù)答案D解析由題意知af(2ax)在a，a1上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，2)解析二次函數(shù)y1x24x3的對稱軸是x2，該函數(shù)在(，0上是減少的，x24x33，同樣可知函數(shù)y2x2

13、2x3在(0，)上是減少的，x22x3f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2，實數(shù)a的取值范圍是(，2)15函數(shù)f(x)的定義域為D，若對于任意x1，x2D，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：f(0)0；ff(x)；f(1x)1f(x)則ff_.答案解析由，令x0，可得f(1)1.由，令x1，可得ff(1).令x，可得ff.由結(jié)合f，可知f，令x，可得ff，因為0，試確定a的取值范圍解(1)由x20，得0，當(dāng)a1時，x22xa0恒成立，定義域為(0，)；當(dāng)a1時，定義域為