1、,第一章 緒 論,緒 論,第一講,一 關(guān)于代數(shù)的觀念 二 數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段 三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史) 四 代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段 五 幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題,一 關(guān)于代數(shù)的觀念,從人們的觀念上來看,人們關(guān)于代數(shù)的觀念大致有三種： 1 用字母的代數(shù) 2 解方程 3 各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論,現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對象不再是以解方程為中心,而重點(diǎn)是研究各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系.當(dāng)然,所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是帶有運(yùn)算的集合.一般說來,這些運(yùn)算還適合某些所希望的若干條件. 初等代數(shù)、高等代數(shù)、線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù).它的研究對象主要是代數(shù)方程和線性方程組.而現(xiàn)代代數(shù)學(xué)也即近世代數(shù)

2、(又稱為抽象代數(shù)),其主要內(nèi)容是研究,各種代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu)),而對于代數(shù)結(jié)構(gòu),其基本成分則是集合和集合上的映射. 而近世代數(shù)就像古典代數(shù)那樣,是關(guān)于運(yùn)算的學(xué)說,是計(jì)算規(guī)則的學(xué)說,但它不把自己局限在研究數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)上,而是企圖研究更具一般性的元素上運(yùn)算的性質(zhì),這種趨向是現(xiàn)實(shí)中的要求所提示的.近世代數(shù)已廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)、近代科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通訊、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域.,二 數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段,1 萌芽階段 2 初等數(shù)學(xué)階段 3 高等數(shù)學(xué)階段 4 近代數(shù)學(xué)階段 5 現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段,三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史),四 代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段,代數(shù)學(xué)經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程,抽象代數(shù)(近世代數(shù))是19世

3、紀(jì)最后20年直到20世紀(jì)前30年才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支. 1 最初的文字?jǐn)⑹鲭A段 2 代數(shù)的簡化文字階段 3 符號(hào)代數(shù)階段 4 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段,1 最初的文字?jǐn)⑹鲭A段,古希臘之前直到丟番圖(Diophantine,公元250年)時(shí)代,代數(shù)學(xué)處于最初的文字?jǐn)⑹鲭A段,這一階段除古希臘數(shù)學(xué)之外還包括古巴比倫、古埃及與古代中國的數(shù)學(xué).此時(shí)算術(shù)或代數(shù)尚未形成任何簡化的符號(hào)表達(dá)法,代數(shù)運(yùn)算則都采用通常的語言敘述方式表達(dá),因而代數(shù)推理也都采用直觀的方法.在中國古代則有著名的籌算法,而在古希臘則借助于幾何圖形的變換方法.最典型的代表是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)幾何數(shù)論方法.例如通

4、過圖形的組合可以得到 不要認(rèn)為簡單的幾何變換只能產(chǎn)生簡單的代數(shù)結(jié)論,恰當(dāng)?shù)乩脦缀螆D形的變換有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論(如勾股定理與勾股數(shù).,2 簡化文字階段,缺乏符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)當(dāng)然是相當(dāng)原始的代數(shù)學(xué).直到古希臘數(shù)學(xué)后期,數(shù)學(xué)家丟番圖才開始把通常的語言敘述作簡化,利用簡化的文字符號(hào)代替一些相對固定的代數(shù)表達(dá)式.這一時(shí)期稱為代數(shù)的簡化文字階段,這一時(shí)期大致延續(xù)到歐洲文藝復(fù)興時(shí)代. 丟番圖對代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn),算術(shù)一書是丟番圖留下來的著作,該著作研究了一系列不定方程的求解問題.例如把一個(gè)平方數(shù)表為兩個(gè)平方數(shù)之和的問題.后來歐拉發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)能夠表為兩個(gè)整數(shù)平方和的充分必要條件.把一個(gè)給定的

5、整數(shù)表為四個(gè)數(shù)的和再加上這四個(gè)數(shù)的平方和.求兩個(gè)有理數(shù)使它們的和等于它們的立方和,例如七分之五與七分之八等等.正是在丟番圖關(guān)于整數(shù)諸如此類表法研究的基礎(chǔ)上,17世紀(jì)偉大的法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Pierre de Fermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n3時(shí)不可解問題.19世紀(jì)費(fèi)馬問題的研究也是導(dǎo)致近世代數(shù)理想論產(chǎn)生的重要契機(jī).,3 符號(hào)代數(shù)階段,這一階段是經(jīng)過歐洲文藝復(fù)興之后的好幾位數(shù)學(xué)家的努力而達(dá)到(它大致在17世紀(jì)完成).它的標(biāo)志是用字母表示數(shù),這一過程使代數(shù)學(xué)達(dá)到了現(xiàn)在我們看到的這種符號(hào)演算形式.較早的代表著作是德國數(shù)學(xué)家M.Stiefel(1486-1567)15

6、53年的著述綜合算術(shù).其利用10進(jìn)制小數(shù)表示實(shí)數(shù).對代數(shù)學(xué)的符號(hào)體系做出了重要貢獻(xiàn)的另一位代表人物是法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viete,1540-1603).韋達(dá)是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人,在代數(shù)、三角學(xué)等許多方面都做出了杰出的貢獻(xiàn).,4 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段,這一階段代數(shù)學(xué)的研究對象不再是個(gè)別的數(shù)字運(yùn)算,而是抽象的運(yùn)算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域等)的代數(shù)結(jié)構(gòu).它起因于年輕的法國數(shù)學(xué)家Evariste Galois(1811-1832)對代數(shù)方程式解的研究. Galois引入了群與擴(kuò)域的工具,解決了高次方程的求根問題.這個(gè)問題是在16世紀(jì)中葉,兩位意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(1506)與L.Ferrari

7、(1545)發(fā)現(xiàn)了三、四次方程的求根公式之后一直困擾數(shù)學(xué)家達(dá)三百年之久的代數(shù)學(xué)難題. Galois擺脫了前人關(guān)于根的計(jì)算方法的研究途徑,發(fā)現(xiàn)根的對稱性群的結(jié)構(gòu)能夠決定根的可解性. Galois的研究不但確立了群論在數(shù)學(xué)中的地位,同時(shí)也開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)代數(shù)這個(gè)新型的代數(shù)學(xué)研究方向. 在數(shù)學(xué)家們致力于解決高次方程的求根問題的同時(shí),Carl Gauss(1777-1855)為了解決Fermat問題,開始一般性的研究代數(shù)數(shù)域.他的學(xué)生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基礎(chǔ)上引入理想數(shù),使Fermat問題的研究推進(jìn)了一步.直到19世紀(jì)末已建立了群、環(huán)、域的系統(tǒng)理論.,1834年愛爾蘭數(shù)學(xué)

8、家William R.Hamiton(1805-1865)在Gauss把復(fù)數(shù)解釋為二元數(shù)這一思想的啟發(fā)下創(chuàng)建了一種奇特的不交換的數(shù)系,后來稱之為Hamiton四元數(shù). 三大進(jìn)展奠定了近世代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).1931年荷蘭數(shù)學(xué)家B.L.van.der.Waerden出版了兩卷本,1955年該書第四版更名為.這一著作標(biāo)志著群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)理論已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的主要研究對象,該著作同時(shí)也成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的起點(diǎn).1951年美國數(shù)學(xué)家N.Jacobson又出版了新的代數(shù)學(xué)著作,書名為(共三卷).因此近世代數(shù)也被稱為抽象代數(shù).,五 幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題,1 項(xiàng)鏈問題 2 分子結(jié)構(gòu)的計(jì)

9、數(shù)問題 3 正多面體的著色問題 4 圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題 5 開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題 6 數(shù)字通信的可靠性問題 7 幾何作圖問題 8 代數(shù)方程根式的求解問題,1)基本問題: 用黑白兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項(xiàng)鏈,問可以做成多少種不同的項(xiàng)鏈？ 2)問題解決思路:枚舉法 3)問題推廣:用n種顏色的珠子做成m顆珠子的項(xiàng)鏈,問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？,1 項(xiàng)鏈問題,數(shù)學(xué)表述,把m顆珠子做成一個(gè)項(xiàng)鏈用一個(gè)正m邊形來代替,其中每個(gè)頂點(diǎn)代表一顆珠子.從任意正m邊形一個(gè)頂點(diǎn)開始,沿逆時(shí)針方向,依次給每個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)以碼:1,2,3, ,m.這樣的一個(gè)項(xiàng)鏈稱之為有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈.由于每一顆珠子的顏色有n種選擇,因

10、此由乘法原理,這些有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈共有 種.但是其中有一些項(xiàng)鏈可通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度或反轉(zhuǎn)180度使它們完全重合.對于這些項(xiàng)鏈稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.對那些無論怎樣旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項(xiàng)鏈,稱之為本質(zhì)上不相同的項(xiàng)鏈,即為問題所提的不同類型的項(xiàng)鏈.當(dāng)n與m較小時(shí),不難用枚舉法求得問題的解答.但隨著n與m的增加,用枚舉法越來越難,因而必須尋找更為有效的可解決一般正整數(shù)n與m的方法.采用群論可解決此問題,且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡單和有效的方法.,2 分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題,1)背景:在化學(xué)中研究有某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問題,可以知道人們在大自然中尋找或人工合成這些物質(zhì).,2)問題:在一個(gè)苯環(huán)上

11、結(jié)合 原子或 原子團(tuán),問可以形成多少種不同的化合物？ 3)轉(zhuǎn)化:如果假定苯環(huán)上相鄰 原子之間的鍵都是互相等價(jià)的,則此問題就是兩種顏色六顆珠子的項(xiàng)鏈問題.,其中:下圖中外圈球右邊兩個(gè)每個(gè)代表一個(gè) ,其余四個(gè)每個(gè)代表一個(gè) ;內(nèi)圈每個(gè)代表一個(gè) .,3 正多面體的著色問題,1) 問題:用n種顏色對正六面體的面著色,問有多少種不同的著色方法？ 2) 數(shù)學(xué)模型:為了將問題中的概念量化:設(shè)n種顏色的集合為 ,正六面體的面集合為 ,則每一種著色法對應(yīng)一個(gè)映射: ,反之,每一個(gè)映射 對應(yīng)一種著色法. 由于每一面的顏色有n種選擇,所以全部著色法的總數(shù)為 ,但這樣的著色與面的編號(hào)有關(guān),其中有些著色可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)正六面體

12、使它們完全重合,對這些著色法,稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.因而我們的問題轉(zhuǎn)化為求本質(zhì)上不同的著色法的數(shù)目. 當(dāng)n很小時(shí),不難用枚舉法求得結(jié)果,如當(dāng)n取2時(shí),本質(zhì)上不同的著色數(shù)為10,對于一般的情況則必須用群論方法才能解決.,4 圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題,1) 圖的概念： 設(shè) 稱為頂點(diǎn)集合,是由 的一些二元子集構(gòu)成的集合,稱為邊集,則有序?qū)?稱為一個(gè)圖. 2) 圖的畫法: 每一個(gè)頂點(diǎn)用圓圈表示,對邊集 中的每一對元素 用一條直線或曲線連接頂點(diǎn) 與 .頂點(diǎn)的位置及邊的長短、形狀均無關(guān)緊要.,一個(gè)圖可以代表一個(gè)電路、水網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、地圖等有形的結(jié)構(gòu),也可以代表一些抽象關(guān)系.例如:可用一個(gè)圖代表一群

13、人之間的關(guān)系,其中點(diǎn)代表單個(gè)人,凡有邊相連的的兩個(gè)點(diǎn)表示他們之間互相認(rèn)識(shí),否則表示不認(rèn)識(shí),則這個(gè)圖就表示出這群人之間的關(guān)系. 圖論中自然會(huì)涉及到某類圖有多少個(gè)的問題.,3)問題:畫出所有點(diǎn)數(shù)為3的圖. 解決辦法:首先畫出3個(gè)頂點(diǎn):1,2,3,在每兩個(gè)點(diǎn)之間有“無邊”和“有邊”兩種情況,因而全部有8種情況,每種情況對應(yīng)一個(gè)圖.,4)推廣:當(dāng)點(diǎn)數(shù)為 時(shí),共可形成 個(gè)二元子集,每個(gè)二元子集可以對應(yīng)圖中的邊或不對應(yīng)邊兩種情況,故可形成 個(gè)圖.我們觀察上圖中的8個(gè)圖,可以發(fā)現(xiàn)有些圖是完全相同的,如不考慮它們的頂點(diǎn)號(hào),這些圖可完全重合,這樣的圖稱它們是同構(gòu)的,可以看出:上圖中有4個(gè)互不同構(gòu)的圖.那么,對于

14、一般的情況,也即頂點(diǎn)數(shù)為 的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個(gè)呢?這個(gè)問題也不能用初等方法解決.,1)問題:一個(gè)有兩種狀態(tài)的電子元 件稱為一個(gè)開關(guān),例如普通的電燈開關(guān)、二極管等.由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡(luò)稱為開關(guān)線路.一個(gè)開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài):通與不通.我們的問題是:用n個(gè)開關(guān)可以構(gòu)造多少種不同的開關(guān)線路？,5 開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題,2)模型： 我們用 個(gè)變量 代表 個(gè)開關(guān),每個(gè)變量的取值為0或1且代表開關(guān)的兩種狀態(tài).開關(guān)線路的狀態(tài)也用一個(gè)變量 來表示,它的取值也是 0或1代表開關(guān)線路的兩種狀態(tài).是 的函數(shù),稱為開關(guān)函數(shù),記為 ,其中每一個(gè)函數(shù) 對應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路. 3)數(shù)學(xué)計(jì)算： 由于每一個(gè)函

15、數(shù) 對應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路,因而開關(guān)線路的數(shù)目就是開關(guān)函數(shù)的數(shù)目.又由于 的定義域的點(diǎn)數(shù)目為 ,在定義域的每一個(gè)點(diǎn)上的取值有兩種可能.所以全部開關(guān)函數(shù)的數(shù)目為 ,這就是 個(gè)開關(guān)的開關(guān)線路的數(shù)目. 4)總結(jié) 上面考慮的開關(guān)線路中的開關(guān)是有標(biāo)號(hào)的,有一些開關(guān)線路結(jié)構(gòu)完全相同,只是標(biāo)號(hào)不同,我們稱這些開關(guān)線路本質(zhì)上是相同的.要進(jìn)一步解決本質(zhì)上的開關(guān)線路的數(shù)目問題,必須用群論方法.,6 數(shù)字通信的可靠性問題,現(xiàn)代通信中用數(shù)字代表信息,用電子設(shè)備進(jìn)行發(fā)送、傳遞和接收,并用計(jì)算機(jī)加以處理.由于信息量大,在通信過程中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤.為了減少錯(cuò)誤,除了改進(jìn)設(shè)備外,還可以從信息的表示方法上想辦法.由數(shù)字表示信息的方法稱

16、為編碼.編碼學(xué)就是一門研究高效編碼方法的科學(xué).以下通過兩個(gè)簡單的例子說明檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼的概念.,簡單檢錯(cuò)碼的編碼方法:奇偶性檢錯(cuò)碼 設(shè)用六位二進(jìn)制碼來表示26個(gè)英文字母,其中前五位順序表示字母,第六位作檢錯(cuò)用,當(dāng)前五位的數(shù)碼中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),第六位取1,否則第六位取0.這樣編出來的碼中1的個(gè)數(shù)始終是偶數(shù)個(gè).例如:A:000011; B:000101; C:000110; D:001001 用這種碼傳遞信息時(shí)可檢查錯(cuò)誤.當(dāng)接收一方收到的碼中含有奇數(shù)個(gè)1時(shí),則可斷定該信息是錯(cuò)誤的,可要求發(fā)送者重發(fā).因而,同樣的設(shè)備,用這種編碼方法可提高通信的準(zhǔn)確度.但是,人們并不滿足僅僅發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,能否不通過重發(fā)

17、的辦法,僅從信息本身來糾正其錯(cuò)誤呢?這在一定程度上也可用編碼方法解決.,簡單糾錯(cuò)碼的編碼方法:重復(fù)碼 設(shè)用3位二進(jìn)制重復(fù)碼表示A,B兩個(gè)字母如下:A:000;B:111則接受的一方對收到的信息碼不管其中是否有錯(cuò),均可譯碼如下: 接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111 譯 碼: A ; A ; A ; B ; A ; B ; B ; B 這就意味著對其中的信息做了糾正. 利用近世代數(shù)方法可得到更高效的檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼.,古代數(shù)學(xué)家們曾提出了一個(gè)有趣的作圖問題:用圓規(guī)及沒有刻度和記號(hào)的直尺可做出那些圖形?為什么會(huì)提這樣的問題呢?一方面是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要,且圓規(guī)、直尺(最初的的直尺是無刻度的)是當(dāng)時(shí)丈量