1、,人民教育出版社,授課：唐秀英,子集的個數(shù)有多少,教學目標,重點 難點,知識與技能 探究有限集合子集的個數(shù)公式 過程與方法 在提出問題和解決問題的過程中，學習從特殊到一般，歸納到猜想的思維方法 情感與價值觀 培養(yǎng)合作與討論、交流與表達、探究與創(chuàng)造的研究行為和創(chuàng)新意識。,重點:探究有限集合子集的個數(shù)公式及證明 難點:有限集合子集的個數(shù)公式的證明,課前準備,溫故而知新,(3) 計數(shù)原理及二項式定理：,(1)子集的含義：,(2)寫出集合1，1，2，1,2,3的所有子集,（4）數(shù)學歸納法證題的步驟：,（5）預習教材P11至P12的探究與發(fā)現(xiàn),1、 含有n個元素的集合的所有子集有多少個？,點燃思維的火花

2、,提出問題,2、如何證明你的結(jié)論？,探究證明方法,證明：假設(shè)集合有n個元素，為 該集合的子集按元素個數(shù)分，可以分為n+1類； 子集有0個元素： 子集有1個元素： 子集有2個元素： . 子集有n個元素： 把所有子集個數(shù)相加： 所以“n個元素的集合有 個子集”,一、從組合數(shù)和二項式定理角度思考,探究證明方法,二、從分類和遞推的角度思考,證明：令A= ，則A的子集可分兩類： 類不含元素的子集; 類含元素 的子集。 記集合A的子集個數(shù)為f（n), 顯然，第I類中集合子集的個數(shù)為f(n-1),而第 類是在第I類的基礎(chǔ)上添加了 ，所以集合子集的個數(shù)也為f(n-1)。即集合A的所有子集個數(shù)為 f(n)=2f

3、(n-1) (n=1,2,3.,n) 重復運用上述遞推得到 f(n)=2f(n-1)= f(n-2)= f(n-3)=.= f(0) 又f(0)=1,所以 f(n)=,探究證明方法,三、從構(gòu)造法和分步計數(shù)原理的角度思考,證明：令A= ，則A的任一子集都可由 每個元素“參加”和“不參加”兩種情況構(gòu)成， 因此要構(gòu)成A的子集可分為n步來做。 第一步，考慮元素 ，有“參加”和“不參加”兩種情況 第二步，考慮元素 ，有“參加”和“不參加”兩種情況 . 第n步，考慮元素 ，有“參加”和“不參加”兩種情況 由分步計數(shù)原理可得A的子集個數(shù)為 f(n)= =,探究證明方法,四、從數(shù)學歸納法的角度思考,證明：A=

4、 的所有子集個數(shù)為 f(n)= 1）當n=1時，A=a,含有2個子集，等式成立。 2）假設(shè)n=k時等式成立，含有k個元素的集合的所有子集個數(shù)為 ，即f(k)= ， 那么當n=k+1時，A= 其子集含有兩類： 第一類不含 ，根據(jù)歸納假設(shè)有f(k)= 第二類含有 ，在第一類的基礎(chǔ)上每個集合添加 得到，故也有 個，因此有f(k+1)= + = ,所以等式成立。 綜合1）、2）可得對n N,有f(n)= 即 A= 的所有子集個數(shù)為f(n)=,探究與發(fā)現(xiàn),1、含n個元素的集合的所有子集個數(shù)為 個。,2、含n個元素的集合的所有真子集個數(shù)為 -1個,3、含n個元素的集合的所有非空子集及非空真子 集個數(shù)分別是多少？,-1,-2,應(yīng)用與創(chuàng)新,1、已知集合1,2 M 1,2,3,4，5，則這樣的集合M有幾個？,2、,3、已知集合M=1,2,3,4,5,6,7