1、第十章 分離變量法,前面介紹的通解法只適用于很少的一類定解問題求解，而本章將要介紹的分離變量法則是求解定解問題的一種最常用、最基本的方法. 分離變量法是一種先求出滿足泛定方程及部分定解條件的全部特解，然后把這些特解疊加起來，再利用另一部分定解條件求出疊加系數(shù)，從而求出定解問題的解的方法.本章主要介紹幾種常見坐標(biāo)系下的分離變量法.,簡介,章節(jié)安排,10.1 直角坐標(biāo)系下的分離變量法 10.2 極坐標(biāo)系下的分離變量法 10.3 球坐標(biāo)系下的分離變量法 10.4 柱坐標(biāo)系下的分離變量法,第一節(jié) 直角坐標(biāo)系下的分離變量法,一齊次方程及齊次邊界條件的定解問題,1. 兩端固定弦的自由橫振動(dòng)問題,解：首先將

2、該物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，即列出定解問題,回顧,常系數(shù)線性齊次常微分方程初值問題的求解過程：,首先求出方程的足夠多個(gè)特解（它們能構(gòu)成通解），然后利用疊加原理將這些特解線性組合起來構(gòu)成通解，最后代入初始條件確定疊加系數(shù).,對于定解問題（1）（3），由于泛定方程和邊界條件都是線性的，因此可以運(yùn)用疊加原理.仿照常微分方程的求解思路，不妨嘗試先尋求齊次方程 （1）的滿足齊次邊界條件（2）的足夠多個(gè)簡單形式（變量分離形式）的特解，再利用疊加原理疊加出一般解，最后代入初始條件（3）確定疊加系數(shù).,至于如何求出形式簡單的特解，我們可以從物理模型中得到啟發(fā).從物理學(xué)知道，樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的

3、單音，而每一種單音在振動(dòng)過程中總是形成一種正弦曲線，而且其振幅僅依賴于時(shí)間 ，即每個(gè)單音可表示成 ：,的形式.,這種形式的特點(diǎn)是：,變量 和 被分離開了.弦的振動(dòng)和聲音的傳播都屬于波動(dòng)，因此，我們有理由認(rèn)為弦的振動(dòng)位移也可以分解為一系列變量分離形式的特解的疊加.,下面我們求解滿足齊次方程（1）及齊次邊界條件（2）的具有變量分離形式的非零特解，,設(shè)為,（4）, 分離變量,由此分離出兩個(gè)常微分方程,（5）,（6）,（7）,注意,分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)榉憾ǚ匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的., 求解本征值問題,（8）,代入齊次邊界條件（7），得,解之，得,（9）,（10）,代入齊次邊界（7），得,（1

4、1）,相應(yīng)地，方程（6）的解為,（12）,本征值、本征函數(shù), 求解關(guān)于的 常微分方程,（13）,其通解為,（14）, 寫出特解，并疊加出一般解,為了求出原定解問題的解，我們將所有特解疊加起來，得,（16）, 利用初始條件確定疊加系數(shù),將(16)代入初始條件(3)，得,（17）,（18）,利用分離變量法求解偏微分方程定解問題幾個(gè)主要步驟：,第一步，分離變量. 這一步之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，前提條件是偏微分方程和邊界條件都是齊次的； 第二步，求解本征值問題.這是求解定解問題的關(guān)鍵一步； 第三步，求出全部特解，并疊加出一般解； 第四步，利用初始條件確定疊加系數(shù). 從整個(gè)運(yùn)算過程來看，用分離變量法求解定解問題

5、的關(guān)鍵步驟是確定本征函數(shù)以及運(yùn)用疊加原理.,級數(shù)解的物理意義,（19）,其中,（20）,弦的這種簡諧振動(dòng)模式稱為駐波.,因此，整個(gè)定解問題的解就是一系列具有本征頻率的駐波 的疊加，而分離變量法也稱為駐波法.,2. 兩端自由桿的縱振動(dòng)問題,解：首先，將該物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，即列出定解問題,其次，利用分離變量法來求解該定解問題.按照分離變量 法的步驟，先以變量分離形式的試探解,（24）,代入泛定方程（21）和邊界條件（22），得,(25),(26),條件（26）即為,（27）,由此分離出兩個(gè)常微分方程,（28）,（29）,下面求解本征值問題,（30）,相應(yīng)的本征函數(shù)為,（31）,將本征值（30

6、）代入方程（28），有,（32）,其解分別為,（33）,（34）,于是，原定解問題變量分離形式的特解為,（35）,將所有特解疊加起來，就得到了定解問題的一般解,最后，利用初始條件來確定疊加系數(shù).將一般解（36）代入初始條件（23），得,（37）,將系數(shù)表達(dá)式（37）代入一般解（36）就得到了原定解問 題的確定解.,物理意義,3. 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題,解：列出定解問題,設(shè)變量分離形式的解為,代入方程（38）和邊界條件（39），得到本征值問題,（41）,以及常微分方程,（42）,（43）,相應(yīng)地，本征函數(shù)為,（44）,將本征值（43）代入（42），有,（45）,解之，得,（46）,于是，原定解

7、問題的一般解為,（47）,最后，利用初始條件（40）確定疊加系數(shù).將一般解（47）代入初始條件（40），得,（48）,（49）,于是，得到原定解問題的解,（50）,4. 矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題,解：首先列出定解問題,圖10.1.1,我們?nèi)钥梢試L試?yán)梅蛛x變量法求解該定解問題.,以變量分離形式的試探解,代入齊次方程(51)和齊次邊界條件(52)，得到本征值問題,（54）,以及常微分方程,（55）,求解本征值問題（54），得本征值,（56）,和相應(yīng)的本征函數(shù),（57）,將本征值（56）代入方程（55），解得,（58）,這樣，就求出了滿足齊次方程（51）和齊次邊界條件（52）的具有變量分離形式的特解,

8、利用疊加原理，將所有特解疊加起來，即得定解問題的一般解,（59）,將一般解（59）代入另一組邊界條件（53），得,把上式右端展開為Fourier正弦級數(shù)，然后比較系數(shù)，即得,由此解出,因此，原定解問題的解為,（61）,分離變量法作幾點(diǎn)說明：,1分離變量法的基本思想是：嘗試求出定解問題具有變量分離形式的特解 .,2分離變量法不僅適用于振動(dòng)問題，而且適用于熱傳導(dǎo)問題和穩(wěn)定問題，但前提條件是：泛定方程和邊界條件都是齊次的（穩(wěn)定問題只要求有一組邊界條件齊次），這是變量得以分離的關(guān)鍵.,3縱觀整個(gè)計(jì)算過程，我們可以看出分離變量法的成功與否完全取決于本征值問題能否得到完滿的解決.在以上幾個(gè)例題中，雖然泛定

9、方程的形式不一樣，但本征值問題中的常微分方程的形式是一樣的，因此本征值和本征函數(shù)取決于齊次邊界條件的類型.,關(guān)于本征值、本征函數(shù)與齊次邊界條件的關(guān)系總結(jié)如下表 11.1.1所示：,表11.1.1, 既然本征值和本征函數(shù)與齊次邊界條件有關(guān)，那么當(dāng)邊界條件給定時(shí)，完全可以根據(jù)邊界條件的類型直接得到本征函數(shù),從而得到定解問題具有Fourier正弦級數(shù)或余弦級數(shù)形式的解,或,（62）,因此，我們可以根據(jù)齊次邊界條件的類型直接設(shè)出定解問題具有Fourier級數(shù)形式的解（62），然后根據(jù)泛定方程和其它定解條件確定或.我們稱這種解法為Fourier級數(shù)法，F(xiàn)ourier級數(shù)法與分離變量法的本質(zhì)是一樣的.下面

10、以例3為例介紹Fourier級數(shù)法的求解過程.,例5 用Fourier級數(shù)法求解定解問題,解：由于齊次方程（63）在齊次邊界條件（64）下的本征 函數(shù)為,（66）,因此設(shè)定解問題具有Fourier正弦級數(shù)形式的解,（67）,顯然，級數(shù)解（67）滿足齊次邊界條件（64）.下面利用泛定方程（63）和初始條件（65）來確定,將級數(shù)解（67）代入方程（63），得,比較兩端的Fourier系數(shù)，得,（68）,這個(gè)方程即為（45）式.解之，得,（69）,于是，原定解問題的一般解為,（70）,最后，利用初始條件（65）確定疊加系數(shù).與例3的過程完全相同，將一般解（70）代入初始條件（65），得,（71）,比

11、較兩端系數(shù)，得,（72）,從而得原定解問題的解,（73）,二非齊次方程及齊次邊界條件的定解問題,三種求解非齊次方程定解問題的方法：,Fourier級數(shù)法 沖量定理法 特解法,1. Fourier級數(shù)法,下面以兩端固定弦的受迫振動(dòng)為例來介紹Fourier級數(shù)法,解：由物理意義可知，弦的振動(dòng)可以看作是由強(qiáng)迫力以及初始狀態(tài)所引起的一系列駐波的疊加，即,（4）,（5）,后將以上兩式代入定解問題求出 即可,（6）,從而定解問題具有Fourier正弦級數(shù)形式的解,（7）,首先，將級數(shù)解（7）代入方程（1），得,（8）,然后，將（7）式代入初始條件（3），有,（9）,用解非齊次常微分方程的常數(shù)變易法或者La

12、place變換法，就可以求出非齊次方程（8）在初始條件（9）下的解,（10）,Fourier級數(shù)法是分離變量法的推廣，它的適用條件是：邊界條件齊次，而方程可以是齊次也可以是非齊次的. Fourier級數(shù)法不僅可以用來求解振動(dòng)問題，對于熱傳導(dǎo)問題和穩(wěn)定問題同樣適用.,注意,例7 求解定解問題,解：由于非齊次方程（1）所對應(yīng)的齊次方程在齊次邊界（2）條件下的本征函數(shù)為,所以，定解問題具有Fourier余弦級數(shù)形式的解,（4）,將級數(shù)解（4）代入方程（1），得,比較兩端系數(shù)，有,（5）,求解，得,（6）,從而,（7）,代入初始條件(3),得,比較兩端系數(shù)，得,（8）,因此，原定解問題的解為,2. 沖

13、量定理法,下面仍以兩端固定弦的受迫振動(dòng)為例，介紹一種將非齊次泛定方程直接轉(zhuǎn)化為齊次泛定方程的方法沖量定理法.,例8 考慮兩端固定弦的受迫振動(dòng)問題，即求解定解問題,從物理的角度分析，該定解問題表明：弦的振動(dòng)完全是由外力 的作用而引起的，而且外力從初始時(shí)刻起一直在發(fā)生作用,我們要求的就是：,基本物理思想, 求解過程,由于定解問題是線性的，適用于疊加原理，所以持續(xù)作用力所引起的振動(dòng)可以看作是瞬時(shí)力所引起的振動(dòng)的疊加，即,（4）,（6）,（7）,結(jié)合（6）式，即得,（8）,不妨設(shè),（12）,注意,（16）,即為定解問題（1）（3）的解.這樣就從物理上給出了非齊次泛定方程定解問題的求解方法，由于利用了沖

14、量定理，所以稱之為沖量定理法.,求解步驟,第一步，列出 的定解問題（13）（15）,第二步，利用分離變量法或者Fourier級數(shù)法求解 的定解問題；,第三步，將 的表達(dá)式代入積分,求出原定解問題的解.,從沖量定理法的整個(gè)過程可以看出，沖量定理法的適用條件是方程非齊次、邊界條件齊次、初始條件取零值的非穩(wěn)定問題，由于穩(wěn)定問題與時(shí)間無關(guān)，所以不適用沖量定理法., 沖量定理法的數(shù)學(xué)驗(yàn)證（省略）,例9 利用沖量定理法求解定解問題,解：先求解 的定解問題,利用Fourier級數(shù)法，設(shè),（4）,并代入泛定方程（1）， 得,由此分離出 的常微分方程,解之，得,（5）,（6）,將（5）和（6）代入（4），得,（

15、7）,將上式代入初始條件（3），得,比較兩端系數(shù)，得,（8）,因此，,（9）,最后，得原定解問題的解,注：與求解振動(dòng)問題類似，沖量定理法也可以用來求解非齊次的熱傳導(dǎo)方程（證明略）.,如以下定解問題,可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的定解問題,例10 求解定解問題,解：,仿照例5，由Fourier級數(shù)法得其一般解,將上式代入初始條件，得,比較兩端的Fourier系數(shù)，得,于是，,因此，原定解問題的解為,3. 特解法,為了突出對方程非齊次項(xiàng)的處理，我們研究純粹由外力引起的兩端固定弦的受迫振動(dòng)，弦的初始位移和速度均為零.這樣，定解問題為,按照求解非齊次方程的一貫做法，不妨先求得非齊次方程的一個(gè)特解,（1）,然后，令,

16、（2）,則 一定是相應(yīng)的齊次方程,（3）,的解.,但是需要注意的是，為了能應(yīng)用分離變量法， 必須滿足齊次邊界條件,（4）,也就是說，要尋求的特解 應(yīng)該同時(shí)滿足非齊次方程和齊次邊界條件,一旦求得了這樣的特解，利用分離變量法就可以求出一般解，從而,（5）,再代入初始條件，利用本征函數(shù)的正交歸一性，就可以確定疊加系數(shù),我們稱這種解法為特解法，其關(guān)鍵在于求得特解,從求解的過程可以看出，齊次初始條件的限制可以取消.,注意,如果方程的非齊次項(xiàng) 的形式比較簡單，可以嘗試采用特解法.特別地，當(dāng)非齊次項(xiàng)與時(shí)間無關(guān)時(shí)，采用此法會非常簡便.,例11 求解定解問題,解之得,從而,利用分離變量法或Fourier級數(shù)法很

17、容易求出,最后可得原定解問題的解,例12,解：首先尋求Poisson方程的一個(gè)特解,并使之滿足齊次邊界條件,三、非齊次邊界條件的定解問題,在以上的討論中，不論是分離變量法，還是Fourier級數(shù)法，或者是沖量定理法，它們都有一個(gè)共同的特征，即要求邊界是齊次的.但在實(shí)際問題中我們經(jīng)常會遇到非齊次邊界條件的定解問題，處理的原則是：設(shè)法將非齊次邊界條件齊次化.具體地說，就是利用疊加原理將非齊次邊界條件問題轉(zhuǎn)化為另一新函數(shù)的齊次邊界條件問題.,1.一般處理方法,例1 我們來看一個(gè)自由振動(dòng)問題，其定解問題為,該定解問題的邊界條件是非齊次的，我們設(shè)法作一代換將邊界條件齊次化。為此，令,（4）,（5）,換句

18、話說，適當(dāng)選取的 必須滿足非齊次邊界條件,（6）,（7）,將（7）式代入（6）式，易得,（8）,再結(jié)合（8）式，即得原定解問題的解,例2 求解定解問題,于是，,從而,下面利用Fourier級數(shù)法求解,所以,解之得,所以,代入初始條件,得,所以原定解問題的解為,2. 特殊處理方法（省略）,10.2 極坐標(biāo)系下的分離變量法,前面主要討論了直角坐標(biāo)系下的分離變量，下面介紹平面極坐標(biāo)系下的分離變量。,一、Laplace方程的定解問題,例1 帶電云和大地之間的靜電場可以近似看作勻強(qiáng)靜電場，其電場強(qiáng)度為 且方向垂直向下.現(xiàn)水平架設(shè)一根輸電線于該靜電場中.輸電線為導(dǎo)體圓柱，柱面由于靜電感應(yīng)而出現(xiàn)感應(yīng)電荷，這

19、樣，圓柱附近的電場就不再是勻強(qiáng)的了，如圖10.2.1所示.不過在離圓柱“無限遠(yuǎn)”處的靜電場仍近似保持勻強(qiáng).現(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱如何改變了勻強(qiáng)靜電場，即柱外的電勢分布如何.,分析:,圖10.2.1,對于柱外的靜電場，由于柱外空間沒有電荷，所以電勢 滿足二維的Laplace方程,（柱外）,（1）,由于導(dǎo)體內(nèi)的電荷不再移動(dòng)，所以導(dǎo)體內(nèi)各處電勢相同，而電勢只具有相對的意義，因此不妨取導(dǎo)體的電勢為零，從而有邊界條件,（2）,另外，在離導(dǎo)體無限遠(yuǎn)處的靜電場中，場強(qiáng)仍近似保持勻強(qiáng),對上式兩端積分，得,（3）,這樣，所求解的定解問題為,（4）,由于泛定方程和內(nèi)邊界都是齊次的，不妨嘗試用直角坐 標(biāo)下的分離變量法求解

20、：,將變量分離形式的 代入Laplace方程，很容易分離出兩個(gè)常微分方程,或者,因此采用直角坐標(biāo)下的分離變量法是行不通的.事實(shí)上，由于靜電場的內(nèi)邊界是一個(gè)圓，我們自然應(yīng)該采用平面極坐標(biāo)系.,解：首先，將定解問題（4）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式,下面嘗試?yán)脴O坐標(biāo)系下分離變量法求解該定解問題.,將變量分離形式的試探解 代入齊次泛定方程（5），得,這樣，就分離出了兩個(gè)常微分方程,其中常微分方程（8）隱含著一個(gè)附加條件.事實(shí)上，電勢u在任一確定地點(diǎn)總是有唯一的確定值，而任一確定地點(diǎn)的極角可以加減的 整數(shù)倍，所以,即,所以,（10）,我們稱（10）式為自然周期條件.常微分方程（8）與自然周期條件（10）構(gòu)成本征

21、值問題.,下面求解該本征值問題.,常微分方程（8）的通解為,（11）,代入自然的周期條件（10），得,本征值,（12）,本征函數(shù),（13）,接下來，將本征值（12）代入常微分方程（9），得,（14）,則方程（14）化為,（14）為Euler型常微分方程，作變量代換 即,（15）,其解為,（16）,這樣，變量分離形式的特解為,（17）,（18）,將所有特解疊加起來，即得原定解問題的一般解,（19）,為了確定疊加系數(shù)，將（19）先代入齊次邊界條件（6）， 得,比較兩端系數(shù)，得,從而，,（20）,然后討論非齊次邊界條件（7）.,比較兩端系數(shù)，有,（21）,從而,（22）,將以上系數(shù)代入一般解，得柱外

22、靜電場的電勢為,（23）,物理意義.,二、圓形域內(nèi)（外）Poisson方程的定解問題,由于二維Poisson方程,是非齊次的，顯然不能直接用分離變量法求解.,又因?yàn)镻oisson方程與時(shí)間無關(guān)，所以也不適用沖量定理法.,下面我們采用特解法,首先找到Poisson方程的一個(gè)特解 ,然后令 ,從而,例2,解：首先找出Poisson方程的一個(gè)特解 ,在圓形域內(nèi) 為了保持x,y相互對稱，不妨取,（1）,然后，令,則,（2）,仿照例1的求解過程，得（2）的一般解,（3）,于是,（4）,將上式代入（2）中的邊界條件，得,比較兩端系數(shù)，有,（5）,因此，,（6）,所以原定解問題的解為,三、Sturm-Lio

23、uville（斯圖姆劉維爾）本征值問題,前面在直角坐標(biāo)以及極坐標(biāo)系下利用分離變量法求解定解問題時(shí)，曾經(jīng)得到了一些本征值問題。例如：,（1）,的本征值和本征函數(shù)分別為,（2）,的本征值和本征函數(shù)分別為,在第五章我們也曾提到過：Legendre方程與自然邊界條件也構(gòu)成本征值問題,（3）,它的本征值和本征函數(shù)分別為,這些常見的本征值問題都可以歸結(jié)為Sturm-Liouville本征值問題，本節(jié)就來討論具有普遍意義的Sturm-Liouville本征值問題.,1. Sturm-Liouville型方程,定義1 通常把形如,（4）,的二階線性常微分方程稱為Sturm-Liouville型方程,對于一般的

24、二階線性常微分方程,（5）,在等式兩端乘以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) ,總可以化為Sturm- Liouville型方程,例如，Legendre方程,可寫為,其中,又如Bessel方程,可寫為,其中,2. Sturm-Liouville本征值問題的一般提法,由于方程（4）中含有參數(shù) 因此，在一定的邊界條件下，只有當(dāng) 取某些特定值時(shí)，方程才具有非零解.這種 值稱為本征值，而相應(yīng)的本征解稱為本征函數(shù).那么，要使方程(4)構(gòu)成本征值問題需要附加什么樣的邊界條件呢？,三種提法 :,（6）,這種邊界條件是一種自然邊界條件，如（3）.,（7）,這也是一種自然邊界條件.如（2）.,3. Sturm-Liouville本征值

25、問題的一般性質(zhì),性質(zhì)1,相應(yīng)的有本征函數(shù),性質(zhì)2,所有本征值,性質(zhì)3,（8）,本征函數(shù)系是完備的，即對于具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，只要它與本征函數(shù)滿足相同的邊界條件，則一定可以展開成絕對且一致收斂的級數(shù),（9）,其系數(shù)為,（10）,由此立即可得（10）.,補(bǔ)充：連帶Legendre函數(shù),在球坐標(biāo)系下對Laplace方程進(jìn)行分離變量時(shí)，會得到連帶Legendre方程,（1）,特別地，當(dāng)m=0時(shí)，即得Legendre方程,（2）,關(guān)于連帶Legendre方程（1）,我們?nèi)钥梢岳玫谖逭陆榻B的級數(shù)解法求解,但過程比較復(fù)雜.這里介紹一種比較簡便的方法,從Legendre方程出發(fā)來尋求

26、其解，其中設(shè)m為正整數(shù).,解：利用關(guān)于乘積求導(dǎo)的Leibniz(萊布尼茨)公式,將Legendre方程（2）,兩端關(guān)于x求導(dǎo)m次，得,（3）,若令,則（3）式化為連帶Legendre方程,（4）,即,（5）,10.3 球坐標(biāo)系下的分離變量法,前兩節(jié)我們討論了直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系下的分離變量法，而且我們知道，具體選用哪一種坐標(biāo)系是跟所研究物質(zhì)系統(tǒng)的邊界有關(guān)的.比如對于一維的弦、桿以及二維的矩形區(qū)域，一般采用直角坐標(biāo)系，而對于二維圓形區(qū)域則采用極坐標(biāo)系.在實(shí)際問題中還會經(jīng)常遇到球狀或柱狀的物質(zhì)系統(tǒng)，在這兩種情況下，相應(yīng)地選用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系會比較方便.在以下兩節(jié)中，我們將主要討論球坐標(biāo)及柱坐標(biāo)系下

27、的分離變量法，并研究從中導(dǎo)出的特殊函數(shù)常微分方程和相應(yīng)的本征值問題.,一球坐標(biāo)系下齊次方程的分離變量,1球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系,于是，,其中,根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，Laplace方程 在球坐標(biāo)系下的表達(dá)形式為,例1：試求球形體內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布，即求解定解問題,（1）,2. Laplace方程 的分離變量,解：（i）分離變量 方程（1）涉及的是三個(gè)自變量的函數(shù)，要將它分離變量，通常采取逐次分離的辦法：首先分離出一個(gè)自變量，然后再將其余兩個(gè)自變量分離.,令,并代入方程（1），得,方程兩邊同時(shí)乘以 ,整理得,兩端相等只可能同時(shí)等于同一個(gè)常數(shù)，記作,從而將（1）分解為兩個(gè)常微分方程,（5）,（6

28、）,其中（5）已是常微分方程，（6）仍為偏微分方程， 我們稱之為球函數(shù)方程，下面需對它進(jìn)一步分離變量.,兩端相等只可能同時(shí)等于同一個(gè)常數(shù)，記作,即,于是，球函數(shù)方程（6）分離成兩個(gè)常微分方程,從而完成了對Laplace方程的分離變量，得到了三個(gè)常微 分方程（5）、（7）和（8）.,對邊界條件（2）和（3）分離變量，可得,（9）,（10）,（ii）求解本征值問題,方程（7）與自然周期條件（9）構(gòu)成本征值問題，其本 征值和本征函數(shù)分別為,（11）,（12）,方程（8）與自然邊界條件（10）也構(gòu)成本征值問題.,（13）,為了求出方程（13）的解，作變量代換，令,即,（14）,我們稱方程（14）為 階

29、連帶Legendre方程.,方程（13）在自然邊界條件（10）下的解為連帶Legendre 函數(shù),（15）,其中,（iii）求解R的常微分方程（5）,方程（5）為Euler型常微分方程，它并不構(gòu)成本征值問題，,則方程（5）化為常系數(shù)常微分方程,（16）,解之得,（17）,（iv）寫出一般解,根據(jù)疊加原理，Laplace方程的一般解為：,（18）,V 利用邊界條件(4)確定疊加系數(shù),最后，將一般解(18)代入邊界條件(4)即可確定待定系數(shù)，從而得原定解問題的解.,注意,這時(shí)，整個(gè)定解問題在繞極軸轉(zhuǎn)動(dòng)任意角時(shí)保持不變，即為軸對稱的.在這種情況下，Laplace方程的球坐標(biāo)形式簡化為,（18）,（5

30、）,（19）,（20）,因此，在軸對稱情況下，連帶Legendre方程退化為,Legendre方程，從而，Laplace方程的一般解為：,（21）,首先考察三維波動(dòng)方程,（1）,代入波動(dòng)方程（1），得,這樣，波動(dòng)方程（1）分解為兩個(gè)方程,（2）,（3）,其中(2)為常系數(shù)常微分方程，其解為,偏微分方程（3）稱為Helmholtz（亥姆霍茲）方程.,同理，對熱傳導(dǎo)方程,進(jìn)行類似的變量分離，得,（4）,（5）,其中常微分方程（4）的解為,而方程（5）為Helmholtz方程.,這樣，無論是波動(dòng)方程還是熱傳導(dǎo)方程，經(jīng)過分離時(shí)間變量和空間變量后都會得到兩個(gè)方程，其中空間變量所滿足的方程是完全相同的，都

31、為Helmholtz方程.下面對Helmholtz方程進(jìn)一步分離變量.,利用Laplace算符在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式，可得Helmholtz方程在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式,（1）,這樣,Helmholtz方程(1)分解為兩個(gè)方程,（2）,（3）,其中（3）已是常微分方程，這樣就把r分離出來了.,方程（2）正好是前面對Laplace方程進(jìn)行分離變量中得到過的球函數(shù)方程，將它進(jìn)一步分離變量，,其中方程（5）為連帶Legendre方程.這樣，就完成了球坐標(biāo)系下Helmholtz方程的變量分離.,本征函數(shù)分別為,而常微分方程（3）即為,（6）,則方程（6）化為,（7）,（8）,（9）,其解為,（10）,這樣，Helmholtz方程的通解為常微分方程（3）、（4）和（5）的解的乘積的線性疊加.,注：在軸對稱情形下，Helmholtz方程簡化為,（11）,因此，在軸對稱情況下，Helmholtz方程的通解為球Bessel方程（6）的解和Legendre方程的解的乘積的線性組合.,通過以上討論，在球坐標(biāo)系下對Laplace方程和Helmholtz方程進(jìn)行分離變量時(shí)，總會得到連帶Legendre方程,以及它的特殊形式Legendre方程,二Legendre多項(xiàng)式,下面我們將進(jìn)一步討論Legendre多項(xiàng)式的其它表達(dá)形式及其性質(zhì)和應(yīng)用.,1.