1、空間向量及其加減法運(yùn)算,霸州市第一中學(xué) 王鐵,如圖，一正三角形鋼板，三頂點(diǎn)用等長(zhǎng)的繩子綁起，在力F的作用下靜止，三繩子的受力情況如何？,F,一創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題,通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)三角形鋼板受到的三個(gè)力的特點(diǎn)是： （1）三個(gè)力不共面， （2）三力既有大小又有方向，但不在同一平 面上。 這種不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我們稱之為“空間向量”。,F,二、類比平面向量，推廣到空間,用有向線段畫(huà)出來(lái)；表示方式： 或,在平面上，既有大小又有方向的量,在空間，具有大小和方向的量,用有向線段畫(huà)出來(lái)；表示方式： 或,長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的,長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，零向

2、量的方向是任意的,平面中模為1的向量,空間中模為1的向量,平面中長(zhǎng)度相等，方向相反的兩個(gè)向量,空間中長(zhǎng)度相等，方向相反的兩個(gè)向量,1、基本概念,平面中方向相同且模相等的向量,空間中方向相同且模相等的向量,首尾連接的向量，和向量為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn),空間中，首尾連接的向量，和向量為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn),同起點(diǎn)的兩個(gè)向量，差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，并且指向被減向量。,空間中，同起點(diǎn)的兩個(gè)向量，差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，并且指向被減向量。,a,b,a,b,O,A,B,b,結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用 同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。 因此凡

3、是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有 關(guān)結(jié)論仍適用于它們。,思考：空間任意兩個(gè)向量是否可能異面？,空間向量的加減法與數(shù)乘運(yùn)算,向量的加法：,a,b,a+b,平行四邊形法則,a,a+b,三角形法則,向量的減法,a,b,a-b,三角形法則,加法交換律：,a + b = b + a；,加法結(jié)合律：,(a + b) + c =a + (b + c)；,(3)空間向量加法運(yùn)算律,加法結(jié)合律：,a,b,c,O,A,B,C,a,b,c,O,A,B,C,(4)空間向量的數(shù)乘：,2、空間向量的數(shù)乘的性質(zhì),1、定義：,實(shí)數(shù) 與空間向量 的乘積 仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘,2、空間向量的數(shù)乘的運(yùn)算律,

4、（3）數(shù)乘結(jié)合律：,（1）數(shù)乘分配律1：,（2）數(shù)乘分配律2：,推廣,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：,首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：,例1,5、例題講解，形成技能,解：,始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量 為棱的平行六面體中以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量,(3)設(shè)G是線段AC靠近點(diǎn)A的 三等分點(diǎn)，則,G.,解：,設(shè)M是線段CC的中點(diǎn)，則,解：,6、鞏固練習(xí),解：,鞏固練習(xí),例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。,解：,A,B,E,C,F,D,練習(xí)3：空間四邊形ABCD中,E、F分別 是BC、CD邊的中點(diǎn),化簡(jiǎn)：,A,B,E,C,F,D,練習(xí)3：空間四邊形ABCD中,E、F分別 是BC、CD邊的中點(diǎn),化簡(jiǎn)：,(2)原式,1、在正方體ABCD-ABCD中,點(diǎn)E是面 AC