1、主要內(nèi)容點(diǎn)播,一.矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 二.特征值與特征向量,一. 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形,引言,對(duì)n階方陣A及可逆矩陣P, 由于矩陣乘法不滿足交換律, 一般情形下P 1AP不一定等于A. 但對(duì)P 1AP與A而言, 在許多地方性質(zhì)相同.,行列式相等: |P 1AP|=|P 1|A|P|=|A|.,因此P 1AP與A或者都可逆, 或都不可逆.,稱P 1AP與A相似, 當(dāng)然會(huì)有很多矩陣與A相似, 最簡(jiǎn)單的是什么矩陣？(相似標(biāo)準(zhǔn)形問題),定義 設(shè)A、B為兩個(gè)n階矩陣，如果存在一個(gè)滿秩陣P，使得,則稱A與B相似，記為 AB.,相似變換：對(duì)A作運(yùn)算P 1AP(P滿秩),相似關(guān)系的等價(jià)性,矩陣之間的相似關(guān)系是一種等

2、價(jià)關(guān)系.,(1) 自反性 AA; E 1AE=A.,(2) 對(duì)稱性 ABBA;,P 1AP=B A=PBP 1.,(3) 傳遞性 AB且BC AC.,P 1AP =B且Q1BQ=C (PQ)1A(PQ)=C.,問題：與矩陣A相似的矩陣中最簡(jiǎn)單的矩陣是什么？,對(duì)單位矩陣E與任何可逆矩陣P, 都有,P1EP=E, P1kEP=kE .,1.單位矩陣只能同單位矩陣相似. 2.數(shù)量矩陣也只相似于數(shù)量矩陣. 比這兩類矩陣簡(jiǎn)單的矩陣是對(duì)角矩陣, A能否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣呢？,若上式成立, i滿足什么條件呢？,若記P=(P1, P2, , Pn)(列向量), 代入得,即若能用相似變換將A化為對(duì)角矩陣, 則滿

3、秩矩陣P的每個(gè)列向量必滿足,且p1, p2, , pn線性無關(guān).,二.特征值與特征向量,定義,設(shè)A是n階方陣, 若有數(shù)和n維非零列向量x, 使Ax= x成立. 則稱為矩陣A的特征值. 非零列向量x稱為A的屬于(或?qū)?yīng)于)特征值的特征向量.,問題：對(duì)任何方陣A, 是否有特征值呢? A有特征值時(shí)，如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢?,重點(diǎn),重點(diǎn),重點(diǎn),重點(diǎn),重點(diǎn),難點(diǎn),1. 矩陣A=(aij)nn的特征值和特征向量,若Ax= x, 則, xAx=( EA)x=0. (1),由x是非零向量, 說明齊次線性方程組,( EA)x=0,有非零解,(1)有非零解,即特征值滿足,|EA|=0.,定義 設(shè)A

4、為n階矩陣, EA稱為A的特征矩陣， | EA|稱為A的特征多項(xiàng)式, |EA|=0稱為A的特征方程, | EA|=0的根即為A的特征值(特征根).,特征多項(xiàng)式的特征,沒有寫出的各項(xiàng)的最高次數(shù)為n-2:,若某項(xiàng)含有aij, 則不會(huì)含有( aii)與( ajj).,因此可得,當(dāng)=0時(shí),定義 tr(A)=a11+a22+ann稱為A的跡.,計(jì)算n階矩陣A的特征值與特征向量的步驟:,1. 解特征方程| EA|=0, 求出n個(gè)特征值(r重根算r個(gè));,2. 對(duì)每一i, 求(iEA)x=0的非零解xi是屬于i的特征向量.,重點(diǎn),例1 求三階方陣,的特征值和特征向量.,解：,特征方程,所以A的特征值為,1=

5、2, 2= 3=1.,對(duì)1=2, 解齊次方程組,(2EA)x=0,即,一般解為,取基礎(chǔ)解系,得A的屬于1=2的全部特征向量為,k(0, 0, 1) (k 0).,對(duì)2= 3=1,解齊次線性方程組,(EA)x=0,即,由,得一般解為,取基礎(chǔ)解系,因此A的屬于2= 3=1的全部特征向量是,k(1, 2, 1), (k 0).,例2,求矩陣,的特征值和特征向量.,解：,特征方程,B的特征值為,1= 2= 1, 3=5.,對(duì)二重特征值 = 1，,解方程組(EB)x=0,即,即,一般解為,基礎(chǔ)解系為,因此屬于 = 1的全部特征向量為,k1, k2不同時(shí)為零.,對(duì)3=5, 解方程組,(5EB)x=0,即,

6、由,得一般解,取基礎(chǔ)解系為,因此B的屬于=5的全部特征向量為,k0為常數(shù).,上面兩個(gè)例子中, 特征方程的單根的線性無關(guān)的特征向量為1個(gè), 二重根可以是一個(gè)也可以是兩個(gè). 都不超過特征根的重?cái)?shù).,例3,若A2=A, 稱A為冪等矩陣, 證明冪等矩陣的特征值只可能是0和1.,證明,設(shè)0是A的特征值, x是A的屬于0的特征向量, 則,由于,即,而x0,得,注意：0和1不一定同時(shí)是冪等矩陣的特征值, 比如E是冪等矩陣, 但其特征值只有1.,2. 有關(guān)特征值的幾個(gè)定理,定理2.1 相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式, 也有相同的特征值.,證明:,設(shè)AB, 則存在可逆矩陣P, 使得,B=P-1AP.,因此,注意

7、,其逆命題不一定成立(有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似),例如,任一矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征多項(xiàng)式, 因此也有相同的特征值.,(EA) =EA |EA|=|(EA) |=|EA |.,定理2.2 若A是分塊矩陣, 即,其中Ai(i=1, 2, , s)是方陣, 則A的特征多項(xiàng)式是A1, A2, , As的特征多項(xiàng)式的乘積. 因此A1, A2, , As的所有特征值就是A的全部特征值.,重點(diǎn),會(huì)背,定理2.3 設(shè)n階矩陣A的特征值為1, 2, , n(k重根算k個(gè)), 則,證明,令=0, 得,而,從定理可以看出, 若A的特征值有一個(gè)為零, 則|A|=0. 反之亦成立.,推論 矩陣A可逆A的特征值全不為零.,定理2.4 若n階可逆方陣A的特征值為1, 2, , n，則A1的特征值為,證明:,由定理2.3,有意義.,設(shè)xi是A的屬于i的特征向量, 則,左乘A1, 有,即,由定義說明,是A1的特征值, 而,有n個(gè)(k重算k個(gè)), 這樣,是A1的全部特征值.,例4 證明若是正交矩陣Q的特征值, 則1/也是Q的特征值.,證明：,由Q是