1、第三節(jié),二、三重積分的計算,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三重積分,2. 利用柱坐標計算三重積分,3. 利用球坐標計算三重積分,2. 利用柱坐標計算三重積分,就稱為點M 的柱坐標.,直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:,坐標面分別為,圓柱面,半平面,平面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,M(r, z),z,r,N,x,y,z,(x, y, z),(r, , z),柱面坐標,z = z,.,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,z,動點M(r, , z),柱面S,r =常數(shù)：,平面,z =常數(shù)：,M,r,S,z,柱面坐標的坐標面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,動點M(r, , z),半平

2、面P,柱面S, =常數(shù):,r =常數(shù)：,平面,z =常數(shù)：,z,M,r,S,P,柱面坐標的坐標面,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,dr,r,rd,d,z,元素區(qū)域由六個坐標面圍成：,半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；,柱面坐標下的體積元素,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,柱面坐標下的體積元素,dr,r,rd,d,z,底面積 ：r drd,半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；,dz,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,dr,r,rd,d,z,底面積 ：r drd,半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱

3、面； 平面 z及 z+dz；,dz,dV =,.,柱面坐標下的體積元素,.,dV,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,柱坐標計算適用范圍:,1) 積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單 ;,2) 被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,仍然是“先一后二”化為三次積分。,二重積分用極坐標時方程和計算簡單，,3) 柱坐標: 當積分域為標準的圓柱面時用柱面坐標化為累次積分的積分限都是常數(shù)。,1,.,Dxy:,z = 0,用哪種坐標？,.,柱面坐標,Dxy,例1. 計算,I =,1,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,柱坐標下三重積分舉例,例2,1,Dxy,.,Dxy:

4、,z = 1,錐面化為:,r = z,1,.,用哪種坐標？,柱面坐標,例3.,.,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中為由,例4. 計算三重積分,所圍,解: 在柱面坐標系下,及平面,柱面,成半圓柱體.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 計算三重積分,解: 在柱面坐標系下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 利用球坐標計算三重積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離.,M (r, , ),r,N,y,x,z,.,.,.,球面坐標,

5、3. 利用球坐標計算三重積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,S,r,M,r =常數(shù):, =常數(shù):,球面S,動點M(r,),球面坐標的坐標面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,球面坐標的坐標面,C,r =常數(shù):, =常數(shù):,S,球面S,半平面P,動點M(r,),M,P, =常數(shù):,錐面C,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,r,dr,d,rsin,圓錐面,rd,球面r,圓錐面+d,球面r+d r,元素區(qū)域由六個坐標面圍成：,d,rsind,球面坐標下的體積元素,半平面 及+d ； 半徑為r及r+dr的球面； 圓錐面及+d,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,r,dr,d,x,z,y,

6、0,d,rd,元素區(qū)域由六個坐標面圍成：,rsind,球面坐標下的體積元素,.,半平面 及+d ； 半徑為r及r+dr的球面； 圓錐面及+d,r 2,sin drdd,sin drdd,r 2,rcos ),dV,dV =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,r,R,對r: 從0R積分,得半徑,任取球體內(nèi)一點,例1.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,M,r,R,對: 從0 積分，,.,例1.,對r: 從0R積分,得半徑,任取球體內(nèi)一點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,R,對 : 從0 積分， 掃遍球體,.,例1.,得錐面,對r: 從0R積分,得半徑,任取球體內(nèi)一點,對: 從0 積分，,

7、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,R,.,I=V,當 f =1,.,例1.,對r: 從0R積分,得半徑,任取球體內(nèi)一點,得錐面,對: 從0 積分，,對 : 從0 積分，掃遍球體,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,球系下確定積分限練習,1 為全球體,2 為空心球體,3 為上半球體,4 為右半球體,為球體的 第一、二卦限部分,.,.,.,.,.,.,例2.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,a,化為球系下的方程,r=2a cos,.,M,.,r,例3.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 計算三重積分,解: 在球面坐標系下,所圍立體.,其中,與球面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

8、,例5,例5,例6.求曲面,所圍立體體積.,解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對稱性, 所求立體體積為,yoz面對稱, 并與xoy面相切,故在球坐標系下所圍立體為,且關(guān)于 xoz,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用對稱性化簡三重積分計算,使用對稱性時應(yīng)注意：,、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；,、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的,奇偶性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),積分區(qū)域多由坐標面,被積函數(shù)形式簡潔, 或,* 說明:,三重積分也有類似二重積

9、分的換元積分公式:,對應(yīng)雅可比行列式為,變量可分離.,圍成 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 將,用三次積分表示,其中由,所,提示:,思考與練習,六個平面,圍成 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè),計算,提示: 利用對稱性,原式 =,奇函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 設(shè)由錐面,和球面,所圍成 , 計算,提示:,利用對稱性,用球坐標,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4),第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 計算,所圍成.,其中 由,分析：若用“