1、第十五章習(xí)題分析 習(xí)題類型： 1.證明系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)并求振動(dòng)周期； 2.已知振動(dòng)表達(dá)式，求各物理量； 3.根據(jù)已知條件，建立振動(dòng)表達(dá)式； 4.力學(xué)綜合性問(wèn)題; 5.有關(guān)振動(dòng)疊加的問(wèn)題.,簡(jiǎn)諧振動(dòng)例題,例題1 有一輕彈簧，當(dāng)下端掛m1 = 10g的物體而平衡時(shí)，伸長(zhǎng)量為4.9cm。用這個(gè)彈簧和m2 = 16g的物體連成一彈簧振子。若取平衡位置為原點(diǎn)，向上為x 軸的正方向。將m2從平衡位置向下拉2cm后，給予向上的初速度v0 = 5cm/s并開(kāi)始計(jì)時(shí)，試求m2的振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式。,分析: 振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或角頻率)由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定;要求系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式,即要寫出振幅、圓頻率和初相這三個(gè)物理量

2、.,解: 設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l，懸掛m1后伸長(zhǎng)l達(dá)到平衡，則,取坐標(biāo)軸向上為正,取下m1掛上m2后，系統(tǒng)的角頻率為,能同時(shí)滿足初始位移和初始速度的初相為,一般將初相表示為弧度形式,于是,振動(dòng)表達(dá)式為,問(wèn)：如果取坐標(biāo)軸向下為正，則初相變化否？,例題3 邊長(zhǎng)l = 25cm的正方形木塊，密度 =0.80克/厘米3，將木塊剛好完全浸入水中后放手，求其運(yùn)動(dòng)形式及運(yùn)動(dòng)方程。,振動(dòng)表達(dá)式為：,解：木塊受浮力及重力作用.取豎直向下為坐標(biāo)軸正方向，水面處為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)木塊平衡時(shí)浸入水中深度為b.則達(dá)平衡時(shí)有：,如圖，當(dāng)C點(diǎn)離O點(diǎn)為y時(shí)，作用在木塊上的合力為,由牛頓第二定律,符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)，即木塊作簡(jiǎn)諧振動(dòng)

3、。,即初始時(shí)刻在最大位移處。,振動(dòng)表達(dá)式為,例題4 勁度系數(shù)為k的彈簧下端固定于地面，壓上一重物后彈簧壓縮b = 9.8 cm，給重物m以沖擊力使其具有向下的初速v0 = 1米/秒，分析其運(yùn)動(dòng)及運(yùn)動(dòng)方程。,解：取豎直向下為y軸正向，彈簧原長(zhǎng)上端為原點(diǎn)O，當(dāng)m在y位置時(shí)，受重力mg向下，彈性力-ky向上。,由牛頓第二定律,當(dāng)重物的重力與彈性力平衡時(shí)，彈簧壓縮量為b，此時(shí)彈簧處于平衡點(diǎn)O mg = kb,代入上式得,即有,可見(jiàn)物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。從這里看到，當(dāng)物體除受回復(fù)力作用外，還受恒力作用時(shí)，仍然作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,在新坐標(biāo)系中,求得,由初始條件,運(yùn)動(dòng)方程為,由此可知，應(yīng)注意初位相的確定與坐標(biāo)軸的正向有

4、關(guān)。,解 （1）設(shè)這一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表式為,由初始速度條件,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表式為,由旋轉(zhuǎn)矢量方法易求得初相,（2）由位移的表式得,因?yàn)槲矬w向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，v0,所以不取4/3.求得,由旋轉(zhuǎn)矢量能直觀地看出，第一次回到平衡位置時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,因而所需時(shí)間為,例題6 一個(gè)輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長(zhǎng)30cm，現(xiàn)將物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，它們的總質(zhì)量為4kg，待其靜止后再把物體向下拉10cm ，然后由靜止釋放，問(wèn)：(1) 此小物體是停在振動(dòng)物體上面還是離開(kāi)它？ （2）如果使放在振動(dòng)物體上的小物體與振動(dòng)物體分離，則振幅A滿足何條件？二者在何位置開(kāi)始分離？,解：小物體受力如圖，設(shè)小

5、物體隨振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)加速度為a，按牛頓第二定律（取坐標(biāo)軸向下為正）有,即,系統(tǒng)的最大加速度,例題7: 單擺（數(shù)學(xué)擺）,由牛頓第二定律有,“”表示切向分力矩的指向恒與角位移方向相反。,振動(dòng)表式為,例題8.復(fù)擺（物理擺）,式中負(fù)號(hào)表示力矩的轉(zhuǎn)向與角位移的轉(zhuǎn)向相反。,當(dāng)擺角很小時(shí)，近似有,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,或,周期為,k為復(fù)擺的回轉(zhuǎn)半徑.,利用復(fù)擺可正確測(cè)定重力加速度的值，不同地質(zhì)結(jié)構(gòu)處的重力加速度不同，可進(jìn)行地質(zhì)探礦。單擺、復(fù)擺的振動(dòng)表達(dá)式、速度（角速度）表達(dá)式、加速度（角加速度）、振幅（角振幅）及初位相的表達(dá)式與彈簧振子的情況相似。,圓頻率與周期又可表示為:,問(wèn)題：諧振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)所需的

6、時(shí)間為1/4周期嗎？走過(guò)該距離的一半所需的時(shí)間為多少？是1/8周期嗎？振子從平衡位置出發(fā)經(jīng)歷1/8周期時(shí)運(yùn)動(dòng)的位移是多少？,辨析：振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)所需的時(shí)間是1/4周期. 因振子的運(yùn)動(dòng)速度不是常數(shù)，振子作變速直線運(yùn)動(dòng)，所以走過(guò)該距離的一半所需的時(shí)間不是1/8周期.,從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出，振子從平衡位置P運(yùn)動(dòng)到A/2處M點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)了/6的角度，即,所以,也就是說(shuō)，振子從平衡位置O運(yùn)動(dòng)到A/2處所用的時(shí)間為T/12，而不是T/8. 而振子從A/2處運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)的時(shí)間為,振子從平衡位置O出發(fā)，經(jīng)過(guò)T/8時(shí)，位移為,問(wèn)題：一水平放置的彈簧振子，如圖a所示，當(dāng)其從A

7、/2運(yùn)動(dòng)到-A/2時(shí)，所需的最短時(shí)間為1s.現(xiàn)將該彈簧振子豎直掛起，并讓其振動(dòng)，那么它的振動(dòng)周期為多少？,辨析：應(yīng)當(dāng)明確，彈簧振子的諧振周期（或圓頻率）決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，即由彈簧的勁度系數(shù)和振子的質(zhì)量來(lái)決定.只要k和m確定后，無(wú)論系統(tǒng)作怎樣的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期都相同，即,按題意作旋轉(zhuǎn)矢量圖，當(dāng)振子從A/2運(yùn)動(dòng)到-A/2時(shí)，相當(dāng)于振幅矢量A從1=/3旋轉(zhuǎn)到2=2/3，即轉(zhuǎn)過(guò)了/3的角度.因而轉(zhuǎn)過(guò)/3角度所用的時(shí)間是T/6. 即 T/6=1，T = 6s.,例1：如圖所示，有兩個(gè)完全相同的彈簧振子a和b，并排放在光滑的水平桌面上，測(cè)得它們的振動(dòng)周期都是2s.現(xiàn)將兩物體都從平衡位置向右拉開(kāi)5cm，然

8、后先釋放a振子，經(jīng)過(guò)0.5s后，再釋放b振子.如果從b釋放時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求兩振子的振動(dòng)表達(dá)式.在同一坐標(biāo)系中畫出兩者的振動(dòng)曲線，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這兩個(gè)振動(dòng).,解：因兩振子的周期相同，所以圓頻率也相同，其值為,這就是說(shuō)，a振子的振動(dòng)相位要比b振子超前/2. 它們的振動(dòng)曲線如圖（a）所示. 用旋轉(zhuǎn)矢量表示，則如圖（b）所示.,例2：一質(zhì)量可忽略不計(jì)的彈簧下端，懸掛質(zhì)量為4kg的物體，彈簧伸長(zhǎng)20cm，再把物體由靜止的平衡位置向下拉10cm，然后由靜止釋放并開(kāi)始計(jì)時(shí)，試證明此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求： （1）物體的振動(dòng)方程； （2）物體在平衡位置上方5cm處彈簧對(duì)物體的拉力； （3）物體從第一次越過(guò)平衡位

9、置時(shí)刻起，到它運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方5cm處所需要的最短時(shí)間.,解：如圖所示，以平衡位置為原點(diǎn)，向下為x軸的正方向，在掛物體達(dá)平衡位置時(shí)有,當(dāng)物體離開(kāi)平衡位置x距離時(shí)，彈簧實(shí)際的伸長(zhǎng)量為（x+l0），則物體所受到的合外力為,可見(jiàn)，物體所受到的合外力與水平放置的彈簧振子是相同的，因此，該振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).,（1）由已知條件可知,振動(dòng)的圓頻率,t=0時(shí)，x0=0.1m,v0=0,可得,則振動(dòng)方程為,再設(shè)t2時(shí)刻物體在平衡位置上方0.05m處，此時(shí)x = -0.05m,即,例3：已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖（a）所示，試求該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程.,解：要求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，即要求出振幅、圓頻率和初相.由振動(dòng)

10、曲線易看出振幅A. 角頻率和初相可根據(jù)振動(dòng)曲線用旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法求出.下面分別用兩種方法求解.,方法1：旋轉(zhuǎn)矢量法. 由圖可見(jiàn)， ，t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為,所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量OM如圖（b）所示.由圖可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)初相為,且有,由圖（a）可見(jiàn)，t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為x=0,v0;對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量為OP，即歷時(shí)t=0.5s,旋轉(zhuǎn)矢量從OA轉(zhuǎn)到了OP，共轉(zhuǎn)過(guò)了/4，所以,方法2：解析法.,由圖（a）可知，t0時(shí)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移變小了，因此t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度向著平衡位置，是正的，即,所以，取,初相已求出，故該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為,例4：如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)相繼通過(guò)距離為12cm的兩點(diǎn)A、B，歷時(shí)2s，并且在A、B兩點(diǎn)處具有相同的速度；再經(jīng)過(guò)2s后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過(guò)B點(diǎn).試求該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期和振幅.,解：取坐標(biāo)Ox沿AB連線，坐標(biāo)原點(diǎn)處在A、B連線中點(diǎn)，如圖所示.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為,由于 ，且 ，所以A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為,用旋轉(zhuǎn) 矢量法求振幅.質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為t=1s，旋轉(zhuǎn)矢量從P0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到PB點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為=t=/4,如圖所示.在OPBB中，有,所以振幅,由連續(xù)兩次從相反方向通過(guò)B點(diǎn)歷時(shí)2s知，T/4=2，T=8s.,