1、第三章 點、直線、平面的投影,1、重點掌握點、直線和平面在三投影面體系中的 投影規(guī)律及其作圖方法和步驟； 2、根據(jù)點、直線和平面的多面投影想象他們的的 三維空間的位置； 3、培養(yǎng)空間想象和分析能力。,本章目標(biāo)：,1 兩投影面體系中點的投影,2 三投影面體系中點的投影,3 兩點的相對位置,4 重影點的投影,基本要求,3.1 點的投影,設(shè)空間有一平面P，平面外有一定點S(光源)。若把空間點A投影到平面P上，可連接SA延長與平面P交于a，點a稱為空間點A在平面P上的投影，P為投影面，S為投影中心，SAa為投射線。,投影相關(guān)知識,增加投影面。,僅有點的一個投影不能確定點的空間位置。,一、點的兩個投影能

2、唯一確定該點的空間位置,二、點在三投影面體系中的投影,三投影面體系,用三個相互垂直的投影面構(gòu)成投影面體系:,正面投影面（V面）,水平投影面（H面）,側(cè)面投影面（W面）,V H =OX軸,V W=OZ軸,H W=OY軸,兩投影面相交， 其交線稱為投影軸,點的投影,W,規(guī)定：空間點用大寫字母表示，點的三個投影都用同一個小寫字母表示，其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加兩撇,Z,V,H,點的投影及投影規(guī)律,X,Y,Z,O,向右翻,向下翻,不動,投影面展開,Z,X,Y,Y,V,H,W,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a?,a?,向右翻,向下翻,不動,投影面展開,點的投影規(guī)律,1)V、H兩投影都

3、反映橫標(biāo)，且投影連線垂直X軸； 2)V、W兩投影都反映高標(biāo)，且投影連線垂直Z軸； 3)H、W兩投影都反映縱標(biāo)，投影連線是一條折線，其中W面上的一段垂直O(jiān)YW，H面上的一段垂直O(jiān)YH，中間可用以O(shè)為圓心的圓弧聯(lián)系起來。,1) aaOX軸,2)aax= aaz=y=A到V面的距離,aax= aay=z=A到H面的距離,aay= aaz=x=A到W面的距離,aaOZ軸,1、點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸,2、點的投影到投影軸的距離等于空間點到投影面的距離。,例：已知點的兩個投影，求第三投影。,a,a,ax,az,通過作45轉(zhuǎn)寬線使aaz=aax,三、根據(jù)點的兩個投影求第三投影,1. aaz = aa

4、y =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA,四、點的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系,兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,判斷方法：,x 坐標(biāo)大的在左,y 坐標(biāo)大的在前,z 坐標(biāo)大的在上,五、兩點的相對位置,兩點中x值大的點 在左 兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上,作圖步驟：,1) 在a左方12mm，上方8mm處確定b；,2) 作bb牛，且在a前10mm處確定b；,3) 按投影關(guān)系求得b,例1如圖，已知點A的三投影，另一點B在 點A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求:點B的三個投影。,各種位置

5、點的投影,一般位置點（X、Y、Z）,特殊位置點 1.投影面上的點：V面上點（X、0、Z） H面上點（X、Y、0） W面上點（0、y、Z）,3.原點上的點: （0、0、0）,2.投影軸上點:,X 軸上點 （X、0、0） Y 軸上點 （0、Y、0） Z 軸上點 （0、0、Z）,注意:點的各個投影一定要寫在 它所屬的投影面區(qū)域內(nèi)。,特殊點的投影,其他分角投影面和投影軸上點的投影,當(dāng)空間兩點位于對投影面的同一條投影線上時，這兩點在該投影面上的投影重合，稱這兩點為對該投影面的重影點。,六、重影點及其投影的可見性,3.2 直線的投影,3-1 直線的投影,3-2 直線對投影面的相對位置,3-6 直角投影定理

6、,3-3 一般位置線段的實長及它與投影面的夾角,3-4 屬于直線上的點,3-5 兩直線的相對位置,基本要求,兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。,一、直線對一個面的投影特征,直線垂直于投影面 投影重合為一點 積聚性,直線平行于投影面 投影反映線段實長 ab=AB,直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 ab=AB*cos,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,二、直線在三個投影面中的投影特性,1 一般位置直線,直線與H、V、和W三

7、投影面的夾角分別用、表示,ab=ABcos ab=ABcos a”b”=ABcos ,一般位置直線投影特性：,各投影的長度均小于直線本身的實長,直線的各投影均不平行于各投影軸,我們判斷一般位置直線的標(biāo)準(zhǔn)！,2 投影面平行線,水平線,側(cè)平線,正平線,與H面的夾角: 與V面的夾角: 與W面的夾角: ,實長,實長,實長,1、在其平行的那個投影面上的投影反映實長， 并反映直線與另兩投影面的真實傾角。,2、另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。,投影面平行線的投影特性：,投影面平行線,3 投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線,反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。, 另外兩個投影, 在其垂直的投影面上，

8、,投影有積聚性。,投影面垂直線投影特性:,投影面垂直線,小結(jié):各種位置直線的投影特性, 一般位置直線,三個投影與各投影軸都傾斜。, 投影面平行線,在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸。, 投影面垂直線,在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。,四、直線上的點,直線上的點具有兩個特性： 1從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac :

9、 cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。,例：判斷點K是否在線段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故點K不在AB上。,應(yīng)用簡單比定理,a,b,k,a,b,k,另一判斷法?,例1試在AB線段上取一點C，使ACCB12， 求:分點C的投影,分析：分點C的投影，必在AB線段的同面投影上， 且accbaccb12，可用比例作圖法作圖。,作圖步驟： 1）過a(或b)任作一直線aB1（或bB1) ； 2）在aB1上取C1，使aC1C1B112； 3）連接B1、b； 4）過C1作C1cB1b，與ab交于c； 5）過c作X軸的垂線與

10、ab交于c。 則c、c即所求分點C的投影。,例2 已知直線EF及點K的二投影，是判斷點K是否在直線EF線上。,作圖步驟：,1）在H投影上，過f（或e）任作一條直線fE1; 2) 在fE1上取fK1=f k,K1E1= ke; 3) 連接E1e，過K1作直線平行于E1e，與fe交于k1；因已知投影k與k1不重合，所以點K不在直線EF上。,一、平行兩直線 二、相交兩直線 三、交叉兩直線 四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 例題5 例題6 例題7,六、兩直線的相對位置,1若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2

11、平行兩線段之比等于其投影之比。,a,V,H, 兩直線平行,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。,求出側(cè)面投影后可知：,AB與CD不平行。,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。, 兩直線相交,判別方法：,若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。反之亦然。,交點是兩直線的共有點,例：過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,3 交叉兩直線,凡不滿

12、足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。,4、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷,1 平面的表示法,2 各種位置平面的投影特性,3 屬于平面的點和直線,基本要求,3.3 平面的投影,1、用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。 2、平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。,一、平面的表示方法,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,1 用幾何元素表示平面,2 用平面的跡線表示平面,平面和投影面的交線，稱為平面的跡線

13、,平面和H面的交線，稱為水平跡線，和V面的交線，稱為正面跡線，和W面的交線，稱為側(cè)面跡線。,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,二、各種位置平面的投影特征,1、平面對于三投影面的位置可分為三類：,2、一般位置平面,一般位置平面和三個投影面既不垂直也不平行，與三個投影面都傾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，則它的三個投影均不是實形，但具有相仿性。,3、投影面垂直面,只垂直于一個投影面的平面， 稱為投影面垂直面,根據(jù)其所垂直的投影面不同，可以分為三種： 1)鉛垂面垂直于H面； 2)正垂面垂直于V面； 3)側(cè)垂面垂直于W面。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,相仿性,相仿性

14、,積聚性,鉛垂面,3 投影面垂直面,投影面垂直面的投影特性是： 1)在其所垂直的投影面上，投影為斜直線，有積聚性；該斜直線與投影軸的夾角反映該平面對相應(yīng)投影面的傾角； 2)如平面用平面形表示，則在另外兩個投影面上的投影不是實形，但有相仿性。,4、投影面平行面,垂直于兩個投影面的平面，平行于第三個投影面,根據(jù)其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分為三種： 1)水平面平行于H面； 2)正平面平行于V面； 3)側(cè)平面平行于W面。,投影面平行面,積聚性,積聚性,實形,水平面,投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的實形； 2)在另外兩個投影面上的

15、投影均為直線段，有積聚性，且平行于相應(yīng)的投影軸。,如下圖，用跡線表示了投影面平行面和投影面垂直面。,1、平面上的點 2、平面上的直線 3、屬于平面的投影面平行線 4、屬于平面的最大斜度線,三、平面上的直線和點,點在平面上的條件： 如果點在平面上的某一直線上，則此點必在該平面上,1 平面內(nèi)的點,直線在平面上的條件:通過平面上的兩個點 或通過平面上的一個點且平行于平面上的一條直線 .,2 平面內(nèi)的直線,例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,例2已知四邊形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V投影abc，試完成其V投影,1）連接a、c和a、

16、c，得輔助線AC的兩投影； 2）連接b、，b交ac于e； 3）由e在ac上求出e； 4）連接b、e，在be上求出； 5）分別連接a、及c、，即為所求。,PV,X,PH,a,a,PV,PH,a,b,X,a,b,例3 已知鉛垂面P內(nèi)一條水平線AB的端點A的兩投影，且AB=20mm，求直線AB的兩投影。,分析 鉛垂面P的H投影有積聚性，鉛垂面P內(nèi)點和直線的H投影，必重合于PH跡線上，而直線AB為水平線，故其H投影反映實長。,作圖步驟：,1） 在跡線PH上，過a量取ab=20mm，得點b； 2） 由b引垂線，與自a所作OX的平行線相交， 其交點為b ，則ab,ab即為所求。,三、屬于平面的投影面平行線,屬于平面的水平線和正平線 例題4 例題5,屬于平面的水平線和正平線,PV,PH,例題4 已知 ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面 的水平線。,m,n,n,m,例題5 已知點E 在ABC平面