1、2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,10.1 分類計數(shù)原理 與分步計數(shù)原理（二）,2020年8月27日星期W,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,教學(xué)目標(biāo)： 1鞏固分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理 2會用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理解決一些較復(fù)雜的應(yīng)用題 3進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，加強分類與分步思想的訓(xùn)練 教學(xué)重點：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的綜合運用 教學(xué)難點：對完成一件事情如何分類與分類的分析判斷,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,分 類 計 數(shù) 原 理,加法原理 做一件事情，完成它可以有n類辦法 , 在第一類辦法中有m1種不同的方法 ,在第二類辦法中有m2種不同的方法 ，

2、在第n類辦法中有mn種不同的方法 。那么完成這件事共有: N=m1+m2+mn 種不同的方法。,復(fù)習(xí),2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,分 步 計 數(shù) 原 理,乘法原理 做一件事情，完成它需要分成n個步驟 ，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有: N=m1m2mn 種不同的方法。,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,相同點:回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題,分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的異同:,區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對的是“分步

3、”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事,聯(lián)系,區(qū)別一,完成一件事情共有n類 辦法，關(guān)鍵詞是“分類”,完成一件事情,共分n個 步驟，關(guān)鍵詞是“分步”,區(qū)別二,每類辦法都能獨立完成 這件事情。,每一步得到的只是中間結(jié)果， 任何一步都不能能獨立完成 這件事情，缺少任何一步也 不能完成這件事情，只有每 個步驟完成了，才能完成這 件事情。,分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，回答的都是關(guān)于 完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。,區(qū)別三,各類辦法是互斥的、 并列的、獨立的,各步之間是相關(guān)聯(lián)的,分類計數(shù)與分步計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,例 題 解 析,例

4、1 要從甲，已 ，丙3名工人中選出2名分別上白班和晚班，有多少不同的選法？,解：要排好一個日班和晚班須分兩個步驟來完成， 第一步是從甲、乙、丙3人中選1人上日班，有3種 選法；第2步是選1人上晚班，但這時只能從剩下的 2人中選1人，有2種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理， 所求的不同選法數(shù)是 32=6,6種選法可以表示為：,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,例2 某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法? 解：由題意可知，藝術(shù)組9人中，只會鋼琴的有6人，只會小號的有2人，既會鋼琴又會小號的有1人(可把該人稱為多面

5、手)因此，選出會鋼琴與會小號各l人可分兩類： 第一類：不選多面手，分2步：第一步從只會鋼琴的6人中選1人，有6種選法；第2步從只會小號的2人中選1人，有2種選法，因此，共有62=12(種) 第二類：選多面手，分2步：第一步從多面手中選，有1種選法；第二步從非多面手中選，有8種選法，因此，共有18=8(種) 故共有12+8=20(種),評注：此題不是簡單的分類或分步就可完成，既要分類又要分步，一般是先分類，然后再在每一類中分步，綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 注意“特殊元素優(yōu)先考慮”法,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,例3 用紅，黃，藍不同顏色的旗各3面，每次升1面，2面，3面在某一旗

6、桿上縱 向 排列，共可以組成多少種不同的信號？,解：不同的信號可分為三類： 第一類：升一面旗，又可分三類，有1+1+1=3種 第二類：升兩面旗，可分兩步，有3 3=9種 第三類：升三面旗，可分三步，有 3 3 3=27種 故共有3+9+27=39 （種）,評注：先分類，再在每一類中分類或分步,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,例4. 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書 （1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？ （2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ （3）從書架上任取2種不同類型的書各1本，有多少種不同的取

7、法？,解: (1)4+3+2=9 (2)43224 (3)43423226,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,例5. 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù) 字大的兩位數(shù)有多少個？ 分析與解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類 個位是9，則十位可以是1，2，3，8中的一個，故有8個； 個位是8，則十位可以是1，2，3，7中的一個，故有7個； 與上同樣： 個位是7的有6個； 個位是2的只有1個 由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有,說明：本題是用分類計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可加深對“做一件事，完成之可以有n類辦法”的理解，所謂“做一件事，完成它可以有n類辦法”，這里是指對完成這件事情的所有辦法的一個分類

8、分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類計數(shù)原理,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,例6.現(xiàn)要安排一份5天值班表，每天有一個人值班。共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由同一個人值班，問此值班表由多少種不同的排法？,解：分5步進行： 第一步：先排第一天，可排5人中的任一個，有5種排法； 第二步：再排第二天，此時不能排第一天的人，有4種排法; 第三步：再排第三天，此時不能排第二天的人，

9、有4種排法; 第四步：同前 第五步：同前 由分步計數(shù)原理可得不同排法有 544441280種,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,小結(jié)： 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終要注意“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,1有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本從其中取出不是同一國文字的書2本，問有多少種不同的取法？ 2集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 從A,B 中各取1個元素作為點P(x,y) 的

10、坐標(biāo) （1）可以得到多少個不同的點？ （2）這些點中，位于第一象限的有幾個？,練習(xí),979575143,344324,22228,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,3.用0，1，2，9可以組成多少個8位號碼； 用0，1，2，9可以組成多少個8位整數(shù)； 用0，1，2，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； 用0，1，2，9可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； 用0，1，2，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4 位奇數(shù)；,1010101010101010108,9101010101010109107,99874536,91010109000,先定個位，再定千位，最后定百、十位 58872240,20

11、07年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,4.自然數(shù)2520有多少個約數(shù)？,解：2520233257 分四步完成： 第一步：取20，21，22，23，24有4種; 第二步：取30，31，32有3種； 第三步：取50，51有2種； 第四步：取70，71有2種。 由分步計數(shù)原理，共有432248種,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,5. 如圖,一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？,2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,小 結(jié),1較復(fù)雜的分步問題，后面的步驟可能要受前面步驟的制約 2解決一個較復(fù)雜問題，可能要綜合分類與分步，一般是先分類，再在每一類中考慮分類與分步 3對于有“特殊元素”的問題，分類和分步時一般可從特殊元素出發(fā)考慮，即“特殊優(yōu)先原則”(如例2),2007年5月,黃岡中學(xué)網(wǎng)校達州分校,作 業(yè),習(xí)題10.1 5，6。,補充題: 1. 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種植物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長