1、18.1.2 平行四邊形的判定（1）,學(xué)習(xí)目標(biāo),學(xué)習(xí)重、難點(diǎn),1.知道平行四邊形的四種判定方法及推理格式. 2.能用這些判定方法證明一個(gè)四邊形是平行四邊形.,重點(diǎn)：平行四邊形的判定的歸納與論證. 難點(diǎn)：平行四邊形的判定的應(yīng)用及規(guī)范表述.,目標(biāo)導(dǎo)航,平行四邊形的性質(zhì) 平行四邊形對(duì)邊平行； 平行四邊形對(duì)邊相等； 平行四邊形對(duì)角相等； 平行四邊形對(duì)角線互相平分；,要點(diǎn)回顧,1,知識(shí)點(diǎn),兩組對(duì)邊平行或相等的四邊形是平行四邊形,一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：“一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪些數(shù)據(jù)可說明這張玻璃符合顧客要求.”,合作探究,從邊看： 方法一：兩組對(duì)邊分別平行的四邊

2、形是 平行四邊形；(定義法) 數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，abcd，adbc， 四邊形abcd是平行四邊形； 方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，abcd，adbc， 四邊形abcd是平行四邊形；,合作探究,要證四邊形bfde是平行四邊形， 根據(jù)平行四邊形的定義可證得dfbe，因此可采 用判定方法一即定義法證明defb即可,例1 如圖所示，已知四邊形abcd是平行四邊形，de 平分adc，交cb的延長線于點(diǎn)e，bf平分 abc，交ad的延長線于點(diǎn)f. 求證：四邊形bfde是平行四 邊形,導(dǎo)引：,典例精析,四邊形abcd是平行四邊形， adcabc，adcb. dfbe. d

3、e平分adc，bf平分abc， 1234. adbc，1e. e3. defb. 四邊形bfde是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別 平行的四邊形是平行四邊形),證明：,典例精析,總 結(jié),平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方 法，也是其他判定方法的基礎(chǔ)當(dāng)題目中出現(xiàn)平行 的線段時(shí)，往往借助判定方法一來幫助我們對(duì)四邊 形加以判斷,精要總結(jié),例2 如圖，分別以abc的三邊為一邊，在bc的同側(cè) 作等邊三角形abd，等邊三角形bce，等邊三角 形acf，連接de，ef. 求證：四邊形adef是平行四邊形,由等邊三角形的性質(zhì)可以得到線 段相等，角相等，進(jìn)而可以通過全等三角形證 明四邊形adef的兩組對(duì)邊分別相等

4、，最后根 據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn) 行判定,導(dǎo)引：,典例精析,abd、bce、acf都為等邊三角形， dbabad，bebc，acaf， dba60，ebc60. dbe60eba，abc60eba， dbeabc，dbeabc， deac. 又acaf，afde. 同理可證：abcfec， abfe，fead， 四邊形adef是平行四邊形,證明：,典例精析,總 結(jié),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相 等，進(jìn)而通過證明三角形全等得到四邊形adef的兩 組對(duì)邊分別相等，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是 平行四邊形得證,精要總結(jié),如圖，abdcef，adbc，decf. 圖中

5、有哪些互相平行的線段？,abcd，adbc， cdef，decf， abef.,解：,反饋演練,2 四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，b為 一組對(duì)邊長，c，d為另一組對(duì)邊長且a2b2c2d2 2ab2cd，則這個(gè)四邊形是() a任意四邊形 b平行四邊形 c對(duì)角線相等的四邊形 d對(duì)角線垂直的四邊形,b,反饋演練,2,知識(shí)點(diǎn),兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形,幾何語言： abc=adc，bad=bcd， 四邊形abcd是平行四邊形(如圖所示),合作探究,例3 如圖，在abcd中，be平分abc，交ad于 點(diǎn)e，df平分adc，交bc于點(diǎn)f，那么四邊 形bfde是平行四邊形嗎？為什么

6、？,利用平行四邊形對(duì)角相等 的性質(zhì)可得abc adc，ac，然后 再依據(jù)角平分線的定 義和三角形外角的性質(zhì)證出四邊形bfde的兩組 對(duì)角分別相等，于是可得出結(jié)論,導(dǎo)引：,典例精析,四邊形bfde是平行四邊形 理由：在abcd中，abcadc，ac. be平分abc，df平分adc， abecbe abc， cdfadf adc， cdfadfabecbe. dfbccdf，bedabea， dfbbed，四邊形bfde是平行四邊形,解：,典例精析,總 結(jié),當(dāng)已知條件出現(xiàn)所要說明的四邊形的角時(shí)， 可選擇“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊 形”來判定,精要總結(jié),1 下列給出的條件中，能判定四邊形

7、abcd是平行 四邊形的是() aabcd，adbc babad，cbcd cabcd，adbc dbc，ad,c,反饋演練,3,知識(shí)點(diǎn),對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，平行四邊形的對(duì)邊相等、 對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分.反過來，對(duì)邊相等，或?qū)?相等，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也 就是說，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？ 下面我們以“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊 形”為例，通過三角形 全等進(jìn)行證明.,思考,合作探究,如圖，在四邊形abcd中，ac，bd相交于點(diǎn)o， 且oa=oc，ob=od. 求證：四邊形abcd是平行四邊形. oa=oc，od

8、=ob, aod=cob， aodcob. oad=ocb. ad/bc. 同理 ab/dc. 四邊形abcd是平行四邊形.,證明：,合作探究,從對(duì)角線看： 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，oaoc，obod， 四邊形abcd是平行四邊形,合作探究, 四邊形abcd是平行四邊形， ao=co，bo=do. ae=cf， ao-ae=co-cf，即eo=fo. 又 bo=do， 四邊形bfde是平行四邊形.,例4 如圖， abcd的對(duì)角線ac，bd 相交于點(diǎn)o， e，f是ac上的兩點(diǎn)，并且ae=cf. 求證：四邊形bfde是平行四邊形.,證明：,典例精析,總 結(jié),從對(duì)角線方

9、面判斷四邊形的形狀要注意是對(duì)角線 互相平分，即交點(diǎn)既是第一條對(duì)角線的中點(diǎn)，又是第 二條對(duì)角線的中點(diǎn).,精要總結(jié),如圖，abcd的對(duì)角線ac，bd相交于點(diǎn)o，e，f分別是oa，oc的中 點(diǎn). 求證bedf.,因?yàn)樗倪呅蝍bcd是平行四邊形， 所以bodo，oaoc. 因?yàn)閑，f分別是oa，oc的中點(diǎn)， 所以oe oa ocof. 又因?yàn)閎oedof， 所以boedof，所以bedf.,解：,反饋演練,如圖，線段ab，cd相交于點(diǎn)o，且圖上各點(diǎn)把線段ab，cd四等分，這些點(diǎn)可以構(gòu)成_個(gè)平行四邊形,4,反饋演練,4,知識(shí)點(diǎn),一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,我們知道，如果一個(gè)四邊形是平行四邊形

10、，那么它 的任意一組對(duì)邊平行且相等.反過來，一組對(duì)邊平行 且相等的四邊形是平行四邊形嗎？ 我們猜想這個(gè)結(jié)論正確，下面進(jìn)行證明.,思考,合作探究,如圖，在四邊形abcd中， ab/cd，且ab=cd. 求證：四邊形abcd是平行四邊形. 連接ac， ab/cd, 1=2. 又ab=cd，ac=ca. abccda. bc=da. 四邊形abcd兩組對(duì)邊分別相等，它是平行四 邊形.,證明：,合作探究,歸 納,于是我們又得到平行四邊形的一個(gè)判斷定理： 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.,精要總結(jié),一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，ab cd， 四邊形abcd是平行四邊

11、形,精要總結(jié),四邊形abcd是平行四邊形， ab=cd，eb/fd. 又eb= ab，fd= cd， eb=fd. 四邊形ebfd是平行四邊形.,例5 如圖，在abcd中，e，f分別是ab，cd的中點(diǎn). 求證：四邊形ebfd是平行四邊形.,證明：,典例精析,總 結(jié),要證四邊形是平行四邊形，已知有一組對(duì)邊平行，聯(lián)想的思路有兩種： 一是證明另一組對(duì)邊平行； 二是證明平行的這組對(duì)邊相等 而證明邊相等要三角形全等這條思路較常見,精要總結(jié),為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的 枕木長相等就可以了. 你能說出其中的道理嗎？,因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行 且相等的四邊形是 平行四邊形，所

12、以 鐵軌和夾在鐵軌之間的枕木構(gòu)成了平行四邊形，因此可知兩條直鋪的鐵軌是互相平行的,解：,反饋演練,如圖，在 abcd中，bd是它的一條對(duì)角線，過a，c兩點(diǎn)分別作ae丄bd， cf丄bd，e，f為垂足. 求證：四邊形afge是平行四邊形.,反饋演練,因?yàn)樗倪呅蝍bcd是平行四邊形， 所以abcd，abcd，所以cdbabd. 又因?yàn)閍ebd，cfbd， 所以aebcfd90，所以aecf. 在abe和cdf中， abcd，abecdf，aebcfd， 所以abecdf，所以aecf. 又因?yàn)閍ecf，所以四邊形afce是平行四邊形,解：,反饋演練,3 (中考湘西州)下列說法錯(cuò)誤的是() a對(duì)角線

13、互相平分的四邊形是平行四邊形 b兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 c一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 d一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是 平行四邊形,d,反饋演練,4,【 中考衡陽】如圖，在四邊形abcd中，abcd，要使四邊形abcd是平行四邊形，可添加的條件不正確的是() aabcd bbcad cac dbcad,b,反饋演練,5,如圖，在abcd中，點(diǎn)e，f分別在ad，bc上，若要使四邊形afce是平行四邊形，可以添加的條件是() afcf；aece；bfde；afce. a或 b或 c或 d或,c,反饋演練,6,下列條件不能判定四邊形abcd是平行四邊形的是() aabcd，adbc bac，bd cabcd，adbc dabcd，adbc,d,反饋演練,平行四邊形的判定方法: (1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 (2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形