1、中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,第3章短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型 【考試內(nèi)容】 3.1理賠次數(shù)和理賠額的分布 理賠次數(shù)的分布 理賠額變量 3.2理賠總量模型 S的概率分布 S的均值、方差 S的矩母函數(shù) 3.3復(fù)合泊松模型 3.4聚合理賠量的近似模型 正態(tài)近似 平移伽瑪近似,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【要點(diǎn)詳解】 3.1理賠次數(shù)和理賠額的分布 短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型： 其中：N表示某類保單在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生理賠的次數(shù)，Ci表示該類保單在此期間第i次理賠的金額，S為該類保單在此期間的理賠總量。 模型假設(shè)： 隨機(jī)變量N，C1，C2，相互獨(dú)立。 C1，C2，具有相同的分布，即Ci都是同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)。

2、記它們的共同分布為P(x)、概率密度（或概率函數(shù)）為p(x)，用C表示服從該共同分布的隨機(jī)變量。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,1理賠次數(shù)的分布 理賠次數(shù)變量是取值非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，它刻畫保單組合在給定的時(shí)間內(nèi)的總理賠次數(shù)。 （1）二項(xiàng)分布 （2）負(fù)二項(xiàng)分布,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,（3）泊松分布 參數(shù)為常數(shù)： 注：泊松分布是二項(xiàng)分布的一種極限結(jié)果。 參數(shù)為隨機(jī)變量： 假定N的泊松分布的參數(shù)是隨機(jī)變量，記作，設(shè)其分布密度為u()，0。 定理：當(dāng)取定為某個(gè)值后，N服從參數(shù)為的泊松分布，Gamma(，)，則N的無條件分布為負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)分別為：,中華精算師考試網(wǎng)

3、官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,2理賠額變量 理賠發(fā)生后的理賠金額是一個(gè)取值于非負(fù)實(shí)數(shù)的隨機(jī)變量，它刻畫每次理賠的損失金額狀況。各類離散型分布、連續(xù)分布、混合型分布都可用于描述理賠額分布。 【例題3.1】（2008年春季真題）某保險(xiǎn)人承保保險(xiǎn)標(biāo)的索賠次數(shù)N服從參數(shù)為的泊松 分布，假設(shè)服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，則 =（）。 A1/2B2/3C3/4D5/6E6/7 【答案】A 【解析】由已知，有f()=e-，0，則 故,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,3.2理賠總量模型 1S的概率分布 設(shè)理賠總量S的分布函數(shù)為Fs(x)，密度函數(shù)為fs(x)，則： 2S的均值、方差 3S的矩母函數(shù) 只要已知理賠

4、次數(shù)N的矩母函數(shù)MN(t)和理賠額Ci的矩母函數(shù)，便可由上式進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算得到S的矩母函數(shù)。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.2】（2005年真題）總損失額S服從復(fù)合分布，S的概率函數(shù)可表示為： 其中，個(gè)體損失額X的概率函數(shù)為：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。 表示fX的n重卷積，總損失額S的方差為（）。 A265.48B270.48C275.48D280.48E285.48 【答案】B 【解析】由已知條件可知，損失次數(shù)N服從負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)r=3，p=0.2，q=0.8， 故E(N)=rq/p=12，Var(N)=rq/p2=60。 且E(

5、X)=10.2+20.5+30.3=2.1，E(X2)=120.2+220.5+320.3=4.9， Var(X)=E(X2)E2(X)=4.92.12=0.49 所以Var(S)=E2(X)Var(N)+Var(X)E(N)=2.1260+0.4912=270.48。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.3】（2005年真題）對(duì)于總損失模型 ，已知 Xi（i=1，2，）相互獨(dú)立，Xi的概率分布為： P(Xi =1)=0.2，P(Xi=2)=0.8 其中，隨機(jī)變量N在=的條件下服從參數(shù)為的泊松分布。隨機(jī)變量服從期望為p的泊松分布。已知、N與個(gè)體索賠額Xi獨(dú)立，Var(S)=10

6、，則p=（）。 A1.1B1.2C1.3D1.4E1.5 【答案】E 【解析】由已知條件得：E(N)=E()=p，Var(N)=E()+Var()=2p； E(X)=10.2+20.8=1.8，E(X2)=120.2+220.8=3.4 Var(X)=E(X2)E2(X)=3.41.82=0.16 故10=Var(S)=E2(X)Var(N)+Var(X)E(N)=1.822p+0.16p， 解得：p=1.51。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.4】（2008年春季真題）假定理賠次數(shù)N服從幾何分布，概率分布為P(N=n)=pqn， n=0，1，2，0p1，p+q=1；個(gè)別理

7、賠額X服從參數(shù)為的指數(shù)分布Exp()，聚合理賠S的矩母函數(shù)Ms(t)等于（）。 【答案】A 【解析】由已知，有 故,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,3.3復(fù)合泊松模型 1復(fù)合泊松模型的定義 短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型滿足以下條件時(shí)： （1）N服從參數(shù)為0的泊松分布。 （2）理賠額變量C1，C2，相互獨(dú)立具有相同的分布，簡稱為理賠額變量C。其分布函數(shù)為P(x)，x0；密度函數(shù)為p(x)，x0；并記其k階原點(diǎn)矩為： （3）N與C1，C2，相互獨(dú)立。 則短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型的隨機(jī)變量S為參數(shù)0的復(fù)合泊松模型。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,2復(fù)合泊松模型的性質(zhì) （1）基本性質(zhì) （2）特殊性質(zhì)

8、 求和的封閉性： 已知S1，S2，Sm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，Si為參數(shù)i的復(fù)合泊松分布，理賠額變量的分布函數(shù)為Pi(x)=1，2，m。則S=S1+S2+Sm服從參數(shù)為 的復(fù)合泊松分布，且S的分布函數(shù)為：,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,可分解性： 假設(shè)隨機(jī)變量S服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)0，理賠額變量為離散型，概率函數(shù)為i=P(C=xi)，i=1，2，m，其中xi表示理賠額變量的取值。若記Ni為S中取值為xi的次數(shù)，i=1，2，m，則有： N=N1+N2+Nm，N0， 有以下結(jié)論成立： N1，N2，Nm相互獨(dú)立； Ni服從參數(shù)為i=i的泊松分布，i=1，2，m。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總

9、站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,分布計(jì)算的遞推性質(zhì) 對(duì)于復(fù)合泊松模型，當(dāng)理賠額變量C取值于正整數(shù)時(shí)，有如下的fS(x)的迭代公式： 若理賠次數(shù)N的分布滿足： 則稱理賠次數(shù)N的分布為（a，b）類計(jì)數(shù)分布。 若理賠次數(shù)N的分布為（a，b）類計(jì)數(shù)分布，且理賠額變量C取值于正整數(shù)，則有如下的fS(x)的迭代公式： fs(0)=PN=0 說明：常見的離散型分布都可歸入（a，b）類計(jì)數(shù)分布：,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,常見的（a，b）類分布,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,（3）假設(shè)保險(xiǎn)合同規(guī)定保險(xiǎn)理賠是按照以下免賠方式進(jìn)行的，保險(xiǎn)人的每次理賠為： 其中參數(shù)d被稱為免賠額，X為實(shí)際的損失額，Y

10、為保險(xiǎn)公司的理賠額變量。如果在某一段固定時(shí)間內(nèi)損失發(fā)生次數(shù)是參數(shù)為的泊松變量，則理賠次數(shù)是參數(shù)為p的泊松變量，其中： p=PXd 理賠額變量的分布密度是：,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.5】（2005年真題）已知總索賠額 服從復(fù)合泊松分布，Xi的概率函數(shù)為： P(Xi=1)=P(Xi=2)=0.2，P(Xi=3)=0.6 N服從期望為2的泊松分布，則Emax(S1.2，0)=（）。 A3.6B3.8C4.0D4.2E4.4 【答案】B 【解析】由已知條件得：E(N)=2，E(X)=10.2+20.2+30.6=2.4， 所以 E(S)=E(X)=4.8。 而由復(fù)合泊松分布

11、的概率分布的迭代公式： 得：fS(0)=e-=e-2，fS(1)=2P(Xi=1)fS(0)=20.2e-=0.4e-2。 故,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.6】（2005年真題）對(duì)于索賠數(shù)目N，已知pn=P(N=n)滿足 n=1，2，則N的分布為（）。 A二項(xiàng)分布，期望為1B負(fù)二項(xiàng)分布，期望為1 C泊松分布，期望為1D負(fù)二項(xiàng)分布，期望為2 E二項(xiàng)分布，期望為2 【答案】A 【解析】由于(a，b)類計(jì)數(shù)分布滿足： 由已知條件可知索賠數(shù)目N服從(a，b)類的二項(xiàng)分布，且 解得：p=1/3，m=3。 故E(N)=mp=1。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.

12、7】（2005年真題）復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型S的個(gè)體索賠額為正整數(shù)，索賠次數(shù)N服從期望為b的泊松分布。已知E(S)=1.68，且S的概率函數(shù)滿足： 則bk=（）。 A0.10B0.00C0.05D0.10E0.15 【答案】B 【解析】已知=b，而復(fù)合泊松分布的概率分布的迭代公式： 與已知概率函數(shù)作比較得：bp(1)=0.16，2bp(2)=k，3bp(3)=0.72。 又E(S)=bp(1)+2p(2)+3p(3)=1.68，即0.16+k+0.72=1.68，解得：k=0.8。 且p(1)+p(2)+p(3)=1，即 解得：b=0.5k+0.4=0.8。 故bk=0.80.8=0。,中華精算師考試網(wǎng)

13、 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.8】（2005年真題）設(shè)S1服從復(fù)合泊松分布，泊松變量的期望為10，個(gè)體索賠額的分布為fX(1)=0.80，fX(2)=0.20，S2也服從復(fù)合泊松分布，泊松變量的期望為20，個(gè)體索賠額的分布為fY(1)=0.70，fY(2)=0.30，已知Sl和S2相互獨(dú)立，設(shè)S=S1+S2，則P(S=2)=（）。 A250e-30B240e-30C230e-30D220e-30E210e-30 【答案】A 【解析】由已知，有 S服從復(fù)合泊松分布，泊松變量的期望為=10+20=30，個(gè)體理賠額的分布為：,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.9】（2008年

14、春季真題）設(shè)聚合理賠S服從參數(shù)為=2的復(fù)合泊松分布，個(gè)別理賠額變量X的分布如下： 則PS500=（）。 A0.31B0.45C0.48D0.50E0.55 【答案】B 【解析】由已知，有,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.10】（2008年春季真題）（1）（2）題的條件如下： 某保單組合的理賠次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，個(gè)別理賠額變量X的密度函數(shù)為f(x)。對(duì)每張保單，保險(xiǎn)人投保限額損失再保險(xiǎn)，自留額為M，即原保險(xiǎn)人的自留風(fēng)險(xiǎn)是： （1）原保險(xiǎn)人自留該保單組合風(fēng)險(xiǎn)損失的方差為（）。 ABCDE 【答案】D 【解析】由已知，有,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,（2）令=

15、PXM，則由再保險(xiǎn)人所承擔(dān)的損失風(fēng)險(xiǎn)的方差表達(dá)式為（）。 【答案】B 【解析】再保險(xiǎn)人服從損失概率為P(XM)，理賠次數(shù)為=P(XM)的泊松分布。 再保險(xiǎn)人的損失Y及其二階中心距分別為： 故再保險(xiǎn)人的方差為：,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,3.4聚合理賠量的近似模型 1正態(tài)近似 （1）當(dāng)短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型為復(fù)合泊松模型、泊松參數(shù)為、理賠額變量的分布函數(shù)為P(x)時(shí)，有： 的分布當(dāng)時(shí)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 （2）當(dāng)短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型為復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布、參數(shù)為r和p、理賠額變量的分布函數(shù)為P(x)時(shí)，有： 的分布當(dāng)r時(shí)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,2平移伽瑪近似

16、（1）定義： 用Gamma(x：，)表示參數(shù)為和的伽瑪分布函數(shù)，即： 對(duì)任意的點(diǎn)x00，定義如下新的分布函數(shù)，稱為平移伽瑪分布： H(x：，x0)=Gamma(xx0：，)，x x0 注意：平移伽瑪分布相當(dāng)于將伽瑪分布平移了x0個(gè)單位。,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,（2）用平移伽瑪分布來近似聚合理賠S： 采用中心矩相等的原則，令平移伽瑪分布和聚合理賠S的一、二、三階中心矩相等，即： 由此解出x0，的值即可。 特別的，對(duì)于復(fù)合泊松分布，有：,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.11】（2008年春季真題）已知隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，Xk的密度函數(shù)為 A1.1B1.5C2.1D2.5E3.1 【答案】D 【解析】由已知，有XGamma(k,2)，故 故,中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) ,【例題3.12】沒有再保險(xiǎn)時(shí)的總索賠分布為復(fù)合泊松分布，如果用平移伽瑪分布來近似，則平移伽馬分布的參數(shù)為(=20，=5，x0=40)。如果有50%的比例再保險(xiǎn)，也用平移伽瑪分布來近似，則有再保險(xiǎn)時(shí)的平移伽瑪分布的參數(shù)分別為（