1、12.6雙曲線的性質(zhì) 一、教學內(nèi)容分析本節(jié)的重點是雙曲線性質(zhì)的研究，通過雙曲線的圖像來研究雙曲線的范圍、對稱性、頂點、實軸、虛軸、漸近線等內(nèi)容.本節(jié)的難點是漸近線方程與雙曲線方程之間的關(guān)系，以及漸近線與雙曲線的位置關(guān)系.二、教學目標設(shè)計 本節(jié)課主要采用類比的教學方法研究雙曲線的基本性質(zhì)，介紹等軸雙曲線、共軛雙曲線的概念及性質(zhì)，討論共漸近線的雙曲線系方程，使學生加深對雙曲線性質(zhì)的理解，能利用這些性質(zhì)解決實際問題.三、教學重點及難點 重點：雙曲線的性質(zhì). 難點：雙曲線的漸近線與雙曲線的位置關(guān)系.四、教學流程設(shè)計漸近線的研究問題拓展:共漸近線的雙曲線系方程等軸雙曲線共軛雙曲線小結(jié)概念辨析范圍,頂點,

2、對稱性復(fù)習引入類比橢圓性質(zhì)五、教學過程設(shè)計一、 復(fù)習引入 1觀察 復(fù)習雙曲線的定義、雙曲線的標準方程（焦點位置）、標準方程中的意義（與橢圓對比） 2思考（類比橢圓）橢圓有哪些幾何性質(zhì)？ 說明 討論雙曲線的幾何性質(zhì)與討論橢圓的幾何性質(zhì)，方法是相同的，這部分的內(nèi)容可以采用類比的教學方法，讓學生根據(jù)研究橢圓性質(zhì)的方法類比雙曲線的性質(zhì)，得到一些結(jié)論并加以研究. 3討論研究雙曲線幾何性質(zhì)，雙曲線圖形發(fā)展趨勢怎樣？二、學習新課 1概念辨析以雙曲線標準方程，為例進行說明. 1范圍: 觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè).從雙曲線的方程如何驗證？由標準方程可得，當時，y才

3、有實數(shù)值；對于y的任何值，x都有實數(shù)值這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線2.對稱性：雙曲線不封閉，但仍具三個對稱性，稱其對稱中心為雙曲線的中心 3頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點.(結(jié)合圖形)，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，它們是雙曲線的頂點,對稱軸上位于兩頂點間的線段叫做雙曲線的實軸長，它的長是2a，a叫半實軸長 而在方程中令x=0得，這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線和y軸沒有交點.但y軸上的兩個特殊點，在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛

4、軸，它的長是2b，b叫做虛半軸長歸納：頂點： 特殊點：實軸：長為2a，a叫做半實軸長. 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長.注意：名稱，不要把虛軸與橢圓的短軸混淆雙曲線只有兩個頂點，與橢圓的又一差異4 漸近線：經(jīng)過作軸、軸的平行線，圍成一個矩形，其對角線所在的直線方程為.（1） 定義：如果有一條直線使得當曲線上的一點沿曲線無限遠離原點時，點到該直線的距離無限接近于零，則這條直線叫這一曲線的漸近線；（2） 直線與雙曲線在無窮遠處是否相交？解：不失一般性，只研究雙曲線在第一象限內(nèi)的部分與直線的位置關(guān)系;設(shè)是上的點，是直線上與有相同橫坐標的點，則,，在的下方.，是關(guān)于的減函數(shù)，無限增大時，無限趨近于，而

5、到直線的距離，無限增大時，也無限趨近于，但永不相交.其他象限類似證明；（3） 求法：在方程中，令右邊為零，則，得漸近線方程即；若方程為，則漸近線方程為.2問題拓展（一）等軸雙曲線1、定義：若a=b即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線2、方程：或.3、等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直.注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價.3）等軸雙曲線方程可以設(shè)為：,當時交點在軸，當時焦點在軸上. 例：等軸雙曲線的兩個焦點在直線上，線段的中點是原點，分別寫出等軸雙曲線和兩條漸近線的方程.（二）共軛雙曲線1、定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲

6、線.2、方程：（1）的共軛雙曲線為；的共軛雙曲線為;（2）互為共軛的一對雙曲線方程合起來寫成為或;3、性質(zhì)：有一對共同的漸近線；有相同的焦距，四焦點共圓；4、注意：（1）共漸近線的兩雙曲線不一定是共軛雙曲線，如和；（2）與（ab）不共漸近線，有相同的焦距，四焦點共圓；例如：分清、與、之間的關(guān)系.（三）共漸近線的雙曲線系方程問題 (1)與;(2) 與的區(qū)別?(1) 不同（互換）相同，焦點所在的坐標軸也變了,但二者具有相同的漸近線(共軛雙曲線);(2) 不同,不同，焦點所在的坐標軸未變且二者具有相同的漸近線.由此: 雙曲線的漸近線是，但反過來此漸近線對應(yīng)的雙曲線則很多.問題: 共用同一對漸近線的雙

7、曲線的方程具有什么樣的特征？ 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?當時交點在x軸，當時焦點在y軸上.即:雙曲線（）與雙曲線有共同的漸近線.證明：若，則雙曲線方程可化為，漸近線，雙曲線的漸近線方程為，兩雙曲線漸近線相同；若，則雙曲線方程可化為，漸近線，即，又雙曲線的漸近線方程為，兩雙曲線漸近線相同，所以，原命題結(jié)論成立.說明與雙曲線（）有共同漸近線的所有雙曲線方程為（） 3例題分析1、若雙曲線以為漸近線, 根據(jù)下列條件，分別求雙曲線標準方程.（1） 且實軸長為；（2）過點；（3）一個焦點坐標為.解：（1）設(shè)雙曲線方程為,當時焦點在x軸上，雙曲線方程;當時焦點在y軸上

8、，雙曲線方程;（2）設(shè)雙曲線方程為將代入得，雙曲線方程（3）設(shè)雙曲線方程為，因為焦點坐標為，所以，雙曲線方程為.2、（1）求雙曲線的兩條漸近線包含雙曲線的部分所成的角； （2）焦距為，兩條漸近線包含雙曲線的部分所成角為，求雙曲線標準方程.解：（1）漸近線方程為，;（2） 當焦點在軸上時，方程為; 當焦點在軸上時，方程為.三、鞏固練習1、中心在原點，一個焦點為(3，0)，一條漸近線方程2x-3y=0的雙曲線方程是 .2、求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程.3、求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點A的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離.4、以5x2+8y2=40的焦點為頂點，且以5x2+8y2=4

9、0的頂點為焦點的雙曲線的方程是 .四、課堂小結(jié)雙曲線的范圍、對稱性、中心、頂點、實軸和虛軸、實軸長、虛軸長、漸近線方程、等軸雙曲線；雙曲線的漸近線是，但反過來此漸近線對應(yīng)的雙曲線則是或?qū)懗?五、作業(yè)布置1、習題冊P363，4，5，6，72、補充作業(yè)（1）求方程mx2ny2mn=0(mn0)所表示的曲線的焦點坐標. （2）雙曲線的漸進線方程為，且焦距為10，求雙曲線方程.（3）求以為漸近線，一個焦點是F（0，2）的雙曲線方程.七、教學設(shè)計說明 1研究雙曲線的性質(zhì)的方法和研究橢圓的方法是類似的，所以采用類比的教學方法，讓學生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，研究雙曲線并得出結(jié)論，比較兩者之間的異同.這樣可以激發(fā)學生學習的興趣，提高學生分析問題的能力.2漸近線是雙曲線所特有的，證明雙曲線上的點到漸