1、,制作與設計 賈啟芬,第5章 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,Mechanical and Structural Vibration,機械與結(jié)構(gòu)振動,天津大學,第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法 5.2 李茲(Ritz)法 5.3 鄧克萊(Dunkerley)法 5.4 矩陣迭代法 5.5 子空間迭代法 5.6 傳遞矩陣法,Mechanical and Structural Vibration,第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,Mechanical and Structural Vibration,5.1 瑞利(Rayl

2、eigh)能量法,5.1.1瑞利第一商 5.1.2瑞利第二商,Mechanical and Structural Vibration,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,5.1.1瑞利第一商,設A為振型矢量，對于簡諧振動，其最大動能和最大勢能為,對于保守系統(tǒng)，由能量守恒，則有,若A是系統(tǒng)的第i階主振型A(i)，則得相應的主頻率的平方,若A是任意的n維矢量，則可得,稱為瑞利商為了區(qū)別用位移方程求得的值，又稱之為瑞利第一商。,Mechanical and Structural Vibration,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,5.1.2瑞利第二商,瑞利商的平方根是基頻p1的近似值。假

3、設振型越接近于真實的第一階振型，則結(jié)果越準確。通常，以系統(tǒng)的靜變形作為假設振型，可以得到較滿意的結(jié)果。,Mechanical and Structural Vibration,用瑞利法求出的基頻近似值大于實際的基頻p1 。這是由于假設振型偏離了第一階振型，相當于給系統(tǒng)增加了約束，因而增加了剛度，使求得的結(jié)果高于真實的值。,由于 1,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,5.1.2瑞利第二商,如果采用位移方程描述系統(tǒng)的運動微分方程，即,同理，若A是任意的n矢量，則有,稱為瑞利第二商,若假設振型接近于第一階主振型時，則 是基頻 的近似值,給出同樣假設振型的同一振動系統(tǒng)，用瑞利第二商計算的結(jié)果，要

4、比用瑞利第一商計算的結(jié)果更精確一些。,Mechanical and Structural Vibration,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,5.1.2瑞利第二商,例5-1 用瑞利法求圖示三自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的第一階固有頻率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。,解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為,計算得,求第一階固有頻率的估值，取假設振型,Mechanical and Structural Vibration,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,5.1.2瑞利第二商,在上面的計算中，假設振型比較“粗糙”，與該系統(tǒng)的第一階固有頻率 ，精確到第四位值的比較誤差較大。,Mec

5、hanical and Structural Vibration,5.1 瑞利(Rayleigh)能量法,5.1.2瑞利第二商,如果進一步改進假設振型，即以靜變形曲線為假設振型， 設,顯然，在工程上，若以靜變形曲線作為假設振型，可以得到很好的第一階固有頻率的近似值。,Mechanical and Structural Vibration,第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,5.2 李茲(Ritz)法,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,用瑞利法估算的基頻的精度取決于假設的振型對第一階主振型的近似程度，而且其值總是精確值的上限。 李茲

6、法對近似振型給出更合理的假設，從而使算出的基頻值進一步下降，并且還可得系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應的主振型 在李茲法中，系統(tǒng)的近似主振型假設為,是選取的s個線性獨立的假設振型,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,由于 在系統(tǒng)的真實主振型處取駐值，這些駐值即相應的各階固有頻率的平方 ，所以a的各元素由下式確定,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,n個自由度縮減至s 自由度。,剛度矩陣,質(zhì)量矩陣,Mechanical and Structural Vibration,5

7、.2 李茲(Ritz)法,李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似方法。,頻率方程,求出s個固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。,解出其相應的特征矢量,求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型,正交性,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,對于瑞利第二商,利用駐值條件可得s個方程，將其寫成矩陣形式,特征方程,求出s個固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。,解出其相應的特征矢量,求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,例5-2 用李茲法求圖示四自由度

8、振動系統(tǒng)的前二階固有頻率及主振型。,解：由條件可求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣,設振型,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,求出,求出2個固有頻率，即4自由度系統(tǒng)的前4階固有頻率。,Mechanical and Structural Vibration,5.2 李茲(Ritz)法,求出系統(tǒng)的前二階主振型,Mechanical and Structural Vibration,第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,5.3 鄧克萊(Dunkerley)法,Mechanical and Structural Vibration,5.

9、3 鄧克萊(Dunkerley)法,鄧克萊法是求多圓盤的軸的橫向振動系統(tǒng)基頻近似值的一種方法。當其它各階頻率遠遠高于基頻時，利用此法估算基頻較為方便。 由表示位移方程得到的頻率方程，即,并展開得,令,根為,式又可寫成各因式連乘積的形式，即,展開得,Mechanical and Structural Vibration,5.3 鄧克萊(Dunkerley)法,比較，得到,若基頻p1遠低于高階頻率，即,kii是第i個質(zhì)量產(chǎn)生單位位移時，在第i個質(zhì)量上所需加的力。,Mechanical and Structural Vibration,5.3 鄧克萊(Dunkerley)法,稱為鄧克萊公式。由于略去

10、了高階頻率的成分，所以求得的基頻總是低于精確值。,pii表示只有mi存在時，系統(tǒng)的固有頻率。,Mechanical and Structural Vibration,5.3 鄧克萊(Dunkerley)法,例5-3 用鄧克萊公式計算例5-1中的三圓盤轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的基頻。,解：由例5-1所解可知,顯然用鄧克萊法求基頻十分方便，但誤差較大，故僅適用于初步估算。,Mechanical and Structural Vibration,第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,5.4 矩陣迭代法,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻

11、率和主振型 5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻率和主振型,矩陣迭代法，亦稱振型迭代法是采用逐步逼近的方法來確定系統(tǒng)的主振型和頻率。,系統(tǒng)的動力矩陣,求系統(tǒng)的基頻時，矩陣迭代法用的基本方程是由位移方程，即,用動力矩陣D前乘以假設振型A0 ，然后歸一化，可得A1，即,矩陣迭代法的過程是：,（1）選取某個經(jīng)過歸一化的假設振型A0,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻率和主振型,（2）如果 ，就再以

12、A1為假設振型進行迭代，并且歸一化得到A2，,（3）若 ，則繼續(xù)重復上述迭代步驟，得,直至 時停止,第一階主振型,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻率和主振型,可以看出：盡管開始假設的振型不理想，它包含了各階主振型，而且第一階主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代過程中，高階振型的分量逐漸衰減，低階振型的分量逐漸增強，最終收斂于第一階主振型。假設振型越接近A(1)則迭代過程快；假設振型與A(1)相差較大則迭代過程收斂的慢，但最終仍然得到基頻和第一階主振型。 如果在整個迭代過程中，第一階主振型的分量始終為零，則

13、收斂于第二階主振型；如果前s 階主振型的分量為零，則收斂于第s+1階主振型。 應當指出，若用作用力方程進行迭代，則收斂于最高固有頻率和最高階主振型。,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻率和主振型,例5-4 用矩陣迭代法求例5-1所示系統(tǒng)的第一階固有頻率及振型。,解： 由例5-1中計算的結(jié)果可得到動力矩陣,取初始假設振型,進行迭代，經(jīng)過第一次迭代后，得,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻率和主振型,第二次迭代,繼續(xù)迭代下去,Mec

14、hanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.1 求第一階固有頻率和主振型,與之對應的第一階主振型為,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型,當需用矩陣迭代法求第二階、第三階等高階頻率及振型時，其關鍵步驟是要在所設振型中消去較低階主振型的成分。由展開定理,由正交性,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型,如果要在A中消去A(1)的成分，則只需取假設振型為,其中,稱為

15、前P階清除矩陣。應用QP A作為假設振型進行迭代，將得到第P+1階固有頻率及主振型。,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型,應當注意到，在運算中不可避免地存在舍入誤差，即在迭代過程中難免會引入一些低階主振型分量，所以在每一次迭代前都必須重新進行清除運算。實際上，可以把迭代運算和清除低階振型運算合并在一起，即將清除矩陣并入動力矩陣D中去，并入原理如下。,所以,因為,從DA中清除A(1)，即,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.2 求較高階的

16、固有頻率及主振型,從DA中清除A(1)，即,稱之為已含清除矩陣的新動力矩陣。用矩陣D*進行迭代將得到第二階主振型及第二階固有頻率。,因此，包含前P階清除矩陣的動力矩陣為,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型,例5-5 用矩陣迭代法求例5-4系統(tǒng)中的第二階固有頻率及主振型。,解：在例5-4中，用矩陣迭代法已求出系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型為,于是，可計算出,Mechanical and Structural Vibration,5.4 矩陣迭代法,5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型,得到含清除矩陣的

17、動力矩陣,選取初始假設振型,現(xiàn)經(jīng)過十二次迭代后，得到,Mechanical and Structural Vibration,第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法,5.5 子空間迭代法,Mechanical and Structural Vibration,5.5 子空間迭代法,將矩陣迭代法與李茲法結(jié)合起來，可以得到一種新的計算方法，即子空間迭代法。 它對求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效。,Mechanical and Structural Vibration,5.5 子空間迭代法,計算系統(tǒng)的前P階固有頻率和主振型，按照李茲法，可假設s個振型且sP。 將這些假設振型排列

18、成ns階矩陣，即,其中每個 都包含有前P階振型的成分，也含有高階振型的成分。,Mechanical and Structural Vibration,5.5 子空間迭代法,為了提高李茲法求得的振型和頻率的精確度，將A0代入動力矩陣中進行迭代，并對各列陣分別歸一化后得,目的是使 比A0含有較強的低階振型成分，縮小高階成分。但如果繼續(xù)用 進行迭代，所有各階振型即 的各列都將趨于A(1)。,為了避免這一點，可以在迭代過程中進行振型的正交化。,用李茲法進行振型正交化具有收斂快的特點。因為它是利用瑞利取駐值的條件，尋求s2個aij的系數(shù)，使得 的每一列都成為相對應振型A(i)的最佳近似。,Mechani

19、cal and Structural Vibration,5.5 子空間迭代法,所以用 作為假設振型，再按李茲法求解，即設,可求得廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣,ss階待定系數(shù)方陣,得到s個值 及對應的特征矢量,再由李茲法特征值問題，即求解方程,從而求出,Mechanical and Structural Vibration,5.5 子空間迭代法,然后，以求出的 作為假設振型進行迭代，可求得,與李茲法特征值問題，解出 。,由李茲法，即,不斷地重復矩陣迭代和李茲法的過程，就可以得到所需精度的振型和固有頻率。,Mechanical and Structural Vibration,迭代的功能是使這s個

20、矢量的低階成分不斷地相對放大，即向 張成的子空間靠攏。,5.5 子空間迭代法,子空間迭代法是對一組假設振型反復地使用迭代法和李茲法的運算。 從幾何觀點上看，原n階特征值系統(tǒng)有n個線性無關的特征矢量，它們之間是正交的，張成一個n維空間。,而假設的s個線性無關的n維矢量 張成一個s 維子空間，,Mechanical and Structural Vibration,如果只迭代不進行正交化，最后這s個矢量將指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李茲法作了正交處理，則這些矢量不斷旋轉(zhuǎn)，最后分別指向前s個特征值的方向。,5.5 子空間迭代法,即由張成的一個s 維子空間，,經(jīng)反復地迭代正交化的旋轉(zhuǎn)而逼近于由,所張成的子空間。,Mechanical and Structural Vibration,5.5 子空間迭代法,在實踐中發(fā)現(xiàn)，最低的幾階振型一般收斂很快，經(jīng)過二至三次迭代便已穩(wěn)定在某一數(shù)值。 在以后的迭代中不能使這幾個低階振型值的精度進一步提高，只是隨著迭代次數(shù)的增加，將有越來越多的低階振型值穩(wěn)定下來。 所以，在計算時要多取幾個假設振型，如果所需求的是P個振型，則假設振型個數(shù)s一般應在2P與2P+8之間取值。,Mechanical and Structural Vibration,5.5 子空間迭