1、線性代數(shù)在生活中的運用 線性代數(shù)的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，既求解有限維的線性方程組，使各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，解線性方程組正是解決這些問題的有力工具。本文由用初等數(shù)學解線性方程組的例子，引用線性代數(shù)中的一些基本概念，論述了線性代數(shù)與線性方程組的內(nèi)在聯(lián)系。 線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組xj表示未知量，aij為系數(shù)，bi為常數(shù)項。則有若x1c1，x2c2，xncn代入所給方程各式均成立，

2、則稱（c1，c2，cn）為一個解。若c1，c2，cn不全為0，則稱（c1，c2，cn）為非零解。若常數(shù)項均為0，則稱為齊次線性方程組，它總有零解（0，0，0）。兩個方程組，若它們的未知量個數(shù)相同且解集相等，則稱為同解方程組。 線性方程組主要討論的問題是：一個方程組何時有解。有解方程組解的個數(shù)。對有解方程組求解，并決定解的結構。 當非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應齊次線性方程組有非零解。但反之當非齊次線性方程組的導出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實上，此時方程組不一定有解。 克萊姆法則給出了一類特殊線性方

3、程組解的公式。n個未知量的任一齊次方程組的解集均構成n維空間的一個子空間。 線性方程組有廣泛應用，熟知的線性規(guī)劃問題即討論對解有一定約束條件的線性方程組問題。請看下面一個例子。例： 一個廟里有一百個和尚, 這中間有大和尚有小和尚, 這一百個和尚每頓飯總共要吃一百個饅頭, 其中大和尚一個人吃三個, 小和尚三個人吃一個, 問有多少大和尚, 多少小和尚?那么, 假設大和尚的數(shù)目是x1, 小和尚的數(shù)目是x2, 那么由第一個條件, 總共有100個和尚可以知道： x1+x2=100 而由第二個條件, 大和尚一個人吃3個饅頭, 小和尚一個人吃1/3個饅頭, 吃的饅頭的總數(shù)是100個, 那么就得第二個方程 將

4、上面兩個方程聯(lián)立, 就得線性方程組: 要解這個方程組有兩種辦法, 其實質(zhì)是一樣的, 一種叫消元法, 從(1)式解出x1得 x1=100-x2將其代入到(2)式, 得 因此算出共有75個小和尚, 25個大和尚.或者用加減法, 先將(1)式乘3得 3x1+3x2=300(3)用此(3)式減去(1)式得 同樣能夠解得 x2=75由此可以推知更多元的線性方程組的解法。而其實, 更多元的線性方程組也是同樣的解法.那么, 為什么還要開線性代數(shù)這門課程專門研究解線性方程組的問題呢?線性代數(shù)要研究的是解有許多變元的線性方程組, 即變量的個數(shù)要比上例多得多, 可能會多到幾十個變元, 上百個變元, 甚至成千上萬個

5、變元.因此, 線性代數(shù)給出的一般的線性方程組的形式是:那么, 既然變元如此之多, 一定不能用人工手算, 必然要用計算機來進行計算. 因此, 如果沒有計算機的發(fā)展, 線性代數(shù)這門課也就沒有什么用. 實際上, 線性代數(shù)正是為了用計算機解線性方程組提供理論基礎。 在科技實踐中，從實際中來的數(shù)學問題無非分為兩類：一類線性問題；一類非線性問題。線性問題是研究最久、理論最完善的，我們可以簡單地說數(shù)學中的線性問題是最容易被解決的，如微分學研究很多函數(shù)線性近似的問題。而非線性問題則可以在一定基礎上轉化為線性問題求解。因此遇到一個問題，首先判定是線性問題還是非線性問題；其次如果是線性問題如何處理，若是非線性問題

6、如何轉化為線性問題。可見線性代數(shù)作為研究線性關聯(lián)性問題的代數(shù)理論的重要性。隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。 在物理學方面, 整個物理世界可以分為機械運動, 電運動, 還有量子力學的運動。而機械運動的基本方程是牛頓第二定律, 即物體的加速度同它所受到的力成正比, 這是一個基本的線性微分方程. 由此根據(jù)不同的力學系統(tǒng), 又可以構成更為復雜的微分方程。電運動的基本方程是麥克思韋方程組, 這個方程組表明電場強度與磁場的變化率成正比, 而磁場的強度又與電場強度的變化率成正比, 因此麥克思韋方程組也正好是線性方程組。而量子力學中描繪物質(zhì)的波粒二象性的薜定諤方程, 也是線性方程組。 所以在各種理、工學的研究與實踐中，都脫離不了線性方程組。 而在經(jīng)濟學和會計學方面, 線性方程組也得到了廣泛的運用。比如上面這個實際上是一個經(jīng)濟學的例子, 是給一個廟的和尚作伙食供給時的問題。而實際過程如果不是一個廟, 而是一家公司, 這家公司的職員也不是分為兩等, 而是許多等, 他們的薪水不同, 消耗的生產(chǎn)或者辦公器材的多少也不同, 投資多少也不同, 這樣就可以構成了大量的線性方程組。 總之，線性代數(shù)的主