1、3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù),【閱讀教材】 根據(jù)下面的知識結(jié)構(gòu)圖閱讀教材,了解函數(shù)的極值與導函數(shù)值的正、負轉(zhuǎn)換的關(guān)系,并理解函數(shù)極值的的求法.,【知識鏈接】 1.導數(shù)的運算法則 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+ f(x)g(x); (3) 2.函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負的關(guān)系 在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.,主題:函數(shù)極值的概念及求法 【自主認知】 函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.,1.函數(shù)在x=a點的函數(shù)值與這點附近的函數(shù)值有什

2、么大小關(guān)系? 提示:函數(shù)在點x=a的函數(shù)值比它在點x=a附近的其他點的函數(shù)值都小. 2.f(a)為多少?在點x=a附近,函數(shù)的導數(shù)的符號有什么規(guī)律? 提示:f(a)=0,在點x=a附近的左側(cè)f(x)0. 3.函數(shù)在x=b點處的情況呢? 提示:函數(shù)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值 都大,f(b)=0,且在點x=b附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0.,根據(jù)以上探究過程,試著寫出函數(shù)的極大(小)值的定義及求法: 1.函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值 都小,且_,在點x=a附近的左側(cè)_,右側(cè)_,則 a叫做極小值點,f(a)叫做函數(shù)

3、y=f(x)的極小值. 2.函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值 都大,且_,在點x=a附近的左側(cè)_,右側(cè)_,則 a叫做極大值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.,f(a)=0,f(x)0,f(x)0,f(a)=0,f(x)0,f(x)0,3.求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是: 解方程f(x)=0.當f(x0)=0時: (1)如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么f(x0)是極小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,【合作探究】 1.函數(shù)的極值包含哪些值? 提示:函數(shù)的極值

4、包括極大值和極小值. 2.函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎? 提示:不一定,極值刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì),反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況,極大值可能比極小值還小.,【過關(guān)小練】 1.函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為() A.導數(shù)y由負變正,則函數(shù)y由減變?yōu)樵?且有極大值 B.導數(shù)y由負變正,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值 C.導數(shù)y由正變負,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極小值 D.導數(shù)y由正變負,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值 【解析】選D.由導數(shù)y與函數(shù)值的變化情況以及極值之間的關(guān)系,可知選項D正確.,2.已知函數(shù)y=|x2-1|,則() A.y無極小值,且無極大值 B.y有極小值

5、-1,但無極大值 C.y有極小值0,極大值1 D.y有極小值0,極大值-1 【解析】選C.函數(shù)y=|x2-1|的大致圖象如圖所示. 所以函數(shù)y有極小值0,極大值1.,3.x=0是否是函數(shù)f(x)=x3的極值點? 【解析】在x=0處,曲線的切線是水平的,即f(x)=0,但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大,也不比它附近的點的函數(shù)值小,故不是極值點.,【歸納總結(jié)】 理解極值概念時需注意的五點 (1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念,是僅對某一點的左右兩側(cè)附近的點而言的. (2)極值點是函數(shù)定義域內(nèi)的點,而函數(shù)定義域的端點絕不是函數(shù)的極值點. (3)若f(x)在定義域a,b內(nèi)有極值,那么f(x)在a

6、,b內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在定義域區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值.,(4)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系.一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值,且在某一點的極小值可能大于另一點的極大值. (5)f(x)=0只是可導函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件,不是充分條件.,類型一:求函數(shù)的極值 【典例1】(1)(2015西安高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則() A.x=1為f(x)的極大值點 B.x=1為f(x)的極小值點 C.x=-1為f(x)的極大值點 D.x=-1為f(x)的極小值點 (2)求函數(shù)y=3x3-x+1的極值.,【解題指南】(1)可先對函數(shù)求導,令其導函數(shù)值等于0,求它的

7、極值點即可. (2)首先對函數(shù)求導,然后求方程y=0的根,再檢查y在方程根左右的值的符號,進而得出極值. 【解析】(1)選D.求導得f(x)=ex+xex=ex(x+1),令f(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1.當x-1時,f(x)0,所以x=-1是函數(shù)f(x)的極小值點.,(2)y=9x2-1,令y=0,解得x1= ,x2=- . 當x變化時,y和y的變化情況如下表: 因此,當x=- 時,y有極大值,并且y極大值= . 而當x= 時,y有極小值,并且y極小值= .,【規(guī)律總結(jié)】利用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域. (2)求導數(shù)f(x). (3)解方程f(x)=0得方程的根

8、. (4)利用方程f(x)=0的根將定義域分成若干個小開區(qū)間,列表,判定導函數(shù)在各個小開區(qū)間的符號. (5)確定函數(shù)的極值,如果f(x)的符號在x0處由正(負)變負(正),則f(x)在x0處取得極大(小)值.,【鞏固訓練】求函數(shù)y=2x+ 的極值. 【解析】函數(shù)的定義域為(-,0)(0,+). y=2- ,令y=0,得x=2. 當x變化時,y,y的變化情況如下表: 由表知:當x=-2時,y極大值=-8; 當x=2時,y極小值=8.,【補償訓練】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-9x的導函數(shù)為f(x),且f(2)=15. (1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程.(2)求函數(shù)f(x)的極值.

9、【解析】(1)因為f(x)=3x2+2ax-9, 因為f(2)=15,所以12+4a-9=15, 所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x, 所以f(x)=3x2+6x-9, 所以f(0)=0,f(0)=-9, 所以函數(shù)在x=0處的切線方程為y=-9x.,(2)令f(x)=0,得x=-3或x=1.當x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表: 即函數(shù)f(x)在(-,-3)上單調(diào)遞增,在(-3,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,所以當x=-3時,f(x)有極大值27,當x=1時,f(x)有極小值-5.,類型二:利用函數(shù)極值求參數(shù)的值 【典例2】(2015南京高二檢測)已知函數(shù)f(x)

10、=x3-3ax2+2bx在點x=1處的極小值為-1,試確定a,b的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【解題指南】f(x)在x=1處的極小值為-1包含以下的含義:一是f(1)=-1,二是f(1)=0.,【解析】由已知得f(x)=3x2-6ax+2b, 所以f(1)=3-6a+2b=0, 又因為f(1)=1-3a+2b=-1, 由解得a= ,b=- , 所以f(x)=x3-x2-x. 由此得f(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 令f(x)0,得x1, 令f(x)0,得- x1,所以f(x)在x=1的左側(cè)f(x)0, 所以f(x)在x=1處取得極小值, 故a= ,b=- ,且f(x)=x

11、3-x2-x. 它的單調(diào)遞增區(qū)間是 和(1,+); 單調(diào)遞減區(qū)間是,【延伸探究】若本例中條件“極小值為-1”改為“極大值為4”,結(jié)果如何? 【解析】由已知得:f(x)=3x2-6ax+2b. 所以f(1)=3-6a+2b=0, f(1)=1-3a+2b=4 由得a=2,b= ,所以f(x)=x3-6x2+9x, f (x) =3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),令f(x)0得x3, 令f(x)0,右側(cè)f(x)0, 所以f(x)在x=1處取得極大值. 故a=2,b= ,且f(x)=x3-6x2+9x, 它的遞增區(qū)間為(-,1)和(3,+),遞減區(qū)間為(1,3).,【規(guī)律總結(jié)】已知函數(shù)極值

12、求函數(shù)解析式中的參數(shù)時的關(guān)注點 (1)根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解. (2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證充分性.,【鞏固訓練】(2015寧波高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中a,bR. (1)當a=- 時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. (2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍.,【解析】(1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). 當a=- 時,f(x)=x(4x2-10 x+4)=2x(2x-1)(x-2). 令f(x)=0,解得x1=0,x2

13、= ,x3=2. 當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,所以f(x)在 (2,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-,0), 內(nèi)單調(diào)遞減. (2)f(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根. 為使f(x)僅在x=0處有極值,必須4x2+3ax+40恒成立,則有 =9a2-640. 解此不等式,得 這時,f(0)=b是唯一的極值. 因此滿足條件的a的取值范圍是,【補償訓練】1.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2,當x=1時,有極大值3. (1)求a,b的值.(2)求函數(shù)f(x)的極小值. 【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx, 因為當x=1時,函數(shù)有極大值3.

14、 所以 解得a=-6,b=9.,(2)f(x)=-18x2+18x=-18x(x-1). 當f(x)=0時,x=0或x=1. 當f(x)0時,01. 所以函數(shù)f(x)=-6x3+9x2的極小值為f(0)=0.,2.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1與x=- 時都取得極值,且f(-1)= 求a,b,c的值. 【解析】f(x)=3x2+2ax+b, 令f(x)=0,由題設(shè)知x=1與x=- 為f(x)=0的解. 所以 解得a=- ,b=-2, 所以f(x)=3x2-x-2.,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,由上表知,函數(shù)在x=1與- 處取得極值. 所以a=- ,b=-2.

15、 所以f(x)=x3- x2-2x+c, 由f(-1)=-1- +2+c= , 得c=1.,類型三:函數(shù)極值的綜合應用 【典例3】(1)(2015廈門高二檢測)若a0,b0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等于() A.2B.3C.6D.9 (2)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1(a0).若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.,【解題指南】(1)由極值點處的導函數(shù)值等于0,可求出關(guān)于a,b的等式,進而求出ab的最大值.(2)先由已知條件求出a值,確定f(x),再由直線y=m與y=f(x)的

16、圖象有三個不同交點,利用數(shù)形結(jié)合求出m的范圍.,【解析】(1)選D.f(x)=12x2-2ax-2b,由條件知f(1)=0,所以a+b=6, 所以ab =9,等號在a=b=3時成立.,(2)因為f(x)在x=-1處取得極值, 所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3, 由f(x)=0解得x1=-1,x2=1. 當x0; 當-11時,f(x)0. 所以由f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.,作出f(x)的大致圖象如圖所示: 因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三

17、個不同的交點,結(jié)合f(x)的圖象可知,m的取值范圍是(-3,1).,【延伸探究】 1.(變換條件,改變問法)若本例(2)“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結(jié)果如何?改為“一個交點”呢? 【解析】由例(2)解析可知:當m=-3或m=1時,直線y=m與y=f(x)的圖象有兩個不同的交點;當m1時,直線y=m與y=f(x)的圖象只有一個交點.,2.(變換條件)若本例(2)中條件改為“已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x= 處取得極值,其他條件不變,求m的取值范圍. 【解析】由題意可得f(x)=-3x2+2ax,由 可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4, 則f(x)=-3x2+4x.

18、 令f(x)=0,得x=0或x= ,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表 因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,所以m的取值范 圍是,【規(guī)律總結(jié)】 1.三次函數(shù)有極值的充要條件 三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a0)有極值導函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c=0的判別式=4b2-12ac0.,2.三次函數(shù)單調(diào)性與極值(設(shè)x10,則f(x)在R上是增函數(shù); 若a0時,若a0,則f(x)的增區(qū)間為(-,x1)和(x2,+),減區(qū)間為(x1,x2),f(x1)為極大值,f(x2)為極小值;若a0,則f(x)的減區(qū)間為(-,x1)和(x2,+),增區(qū)間為(x1,x2),f(x1)為極小