1、9.1 特殊函數(shù)的常微分方程,第九章 本征值問(wèn)題,園球形和園柱形是兩種常見(jiàn)的邊界，本章考察球坐標(biāo)系和坐標(biāo)系中分離變量法所導(dǎo)致的常微分方程以及相應(yīng)的本征值問(wèn)題。,（一）拉普拉斯方程,正交曲線座標(biāo)系中的拉普拉斯方程,直角坐標(biāo)：,柱坐標(biāo)：,球坐標(biāo)：,（1）球坐標(biāo)系拉普拉斯方程的分離變量,令,拉普拉斯算子：,歐拉形方程,解為,球函數(shù)方程,球函數(shù)方程,再令,自然的周期邊界條件：,l-階締合勒讓德方程,l-階勒讓德方程,u 是軸對(duì)稱的，對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)不改變 u 。,令,（2）柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的分離變量,1.,2.,3.,貝塞耳方程,虛宗量貝塞耳方程,側(cè)面的齊次邊界條件,的可能數(shù)值,上下低面的齊次邊界條件,的

2、可能數(shù)值,（二）波動(dòng)方程的分離變量,令,振動(dòng)方程,亥姆霍茲方程,（三）輸運(yùn)方程的分離變量,令,亥姆霍茲方程,增長(zhǎng)或衰變的方程,（四）亥姆霍茲方程,1. 球坐標(biāo),l 階球貝塞耳方程,球函數(shù)方程,階貝塞耳方程,m階貝塞耳方程,2. 柱坐標(biāo),齊次邊界條件，本征值問(wèn)題,分離變數(shù)結(jié)果,拉普拉斯方程,方程,球坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系,l-階連帶勒讓德方程,m-階貝賽爾方程,m-階虛宗量貝賽爾方程,9.2 常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法,線性常微分方程在指定初始條件下的級(jí)數(shù)解法。,對(duì)于復(fù)變函數(shù)：,（一）定義,方程的常點(diǎn) ： 和 在其鄰域解析。否則為奇點(diǎn)。,（二）常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解,定理：,方程的常點(diǎn) 的鄰域 中 和 解析，則在這

3、個(gè)圓中存在唯一的解析解 滿足初始條件,由于解的唯一性，可將此解寫(xiě)為泰勒級(jí)數(shù)：,解析函數(shù)理論,（三）勒讓德方程的級(jí)數(shù)解法,化為標(biāo)準(zhǔn)形式：,是方程的奇點(diǎn),在 點(diǎn)的鄰域：,1.級(jí)數(shù)解,帶入方程,或,遞推公式,系數(shù)的兩 個(gè)序列,2. x=1解的收斂性,可以證明，當(dāng)解 是無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)，不可能在兩點(diǎn)同時(shí)收斂。,如果解是多項(xiàng)式，即只有有限項(xiàng)，這樣的解可以在這兩點(diǎn)同時(shí)收斂,由系數(shù)的遞推關(guān)系 可知：,當(dāng)l是偶數(shù)，則偶次項(xiàng)的系數(shù)在k=l以后為零。,當(dāng)l是奇數(shù)，則奇次項(xiàng)的系數(shù)在k=l以后為零。,3.自然邊界條件,“解在x=1保持有限”是自然邊界條件，勒讓德方程變成本征值問(wèn)題，本征函數(shù)為勒讓德多項(xiàng)式，l(l+1)是本征

4、值。,9.3 正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法,和,（一）奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解,定理：如果z0是方程 的奇點(diǎn)，則在p(z)和q(z)都解析的環(huán)狀區(qū)域0z-z0R內(nèi)，方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解是,或,（二）正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解,顯然，把解代入方程時(shí)，會(huì)得到的是一組無(wú)窮多個(gè)未知數(shù)的聯(lián)立方程。但在一定條件下，兩個(gè)線性獨(dú)立解具有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，這樣的解稱為正則解。,正則奇點(diǎn),定理：方程 在它的奇點(diǎn)z0的鄰域0z-z0R內(nèi)有兩個(gè)正則解的充要條件是： (z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在z-z0R中解析,即z0最多是p(z)的一階極點(diǎn)，同時(shí)最多是q(z)的二階極點(diǎn)，即是正則奇點(diǎn)。,和,或,原因分析：,有有限個(gè)負(fù)

5、冪項(xiàng)的解,代入方程后，最低冪項(xiàng)的系數(shù),兩個(gè)根分別作為線性獨(dú)立解的最低冪次,若不是正則奇點(diǎn),m 1 或 n 2,令最低冪項(xiàng)合并后的系數(shù)為零，得不到s得二次代數(shù)方程,（三）貝塞爾方程,(1) v階貝塞爾方程,在x0=0的鄰域上求解,v整數(shù)或半奇數(shù),(2) 半奇數(shù)階貝塞爾方程,在x0=0的鄰域上求解,第一解,什么情況下第二解可能含對(duì)數(shù)項(xiàng)？,若規(guī)定方程在正則奇點(diǎn)處的兩個(gè)指標(biāo),則,代入方程,第一解,l+1/2 階貝塞爾方程通解,(3) 整數(shù)階貝塞爾方程,通解,（四）虛宗量貝塞爾方程,(1) v階虛宗量貝塞爾方程,在x0=0的鄰域上求解,v整數(shù)或半奇數(shù),v階貝塞爾方程,整數(shù)階貝塞爾方程在x=0處的自然邊界

6、條件,正項(xiàng)級(jí)數(shù)，除x=0外恒不為零,9.4 施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題,一定的邊界條件限制了常微分方程的解：僅當(dāng)方程的參數(shù)取特定的值時(shí)，滿足邊界條件的解才存在。參數(shù)的特定值叫本征值，解叫本征函數(shù)，求解的問(wèn)題就叫本征值問(wèn)題。,（一）施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題,施圖姆劉維爾型方程：,化為施圖姆劉維爾型方程：,二階常微分方程最一般的形式：,（1）,振動(dòng)方程：,A 為一常數(shù)。,（2）,勒讓德方程：,（3）,連帶勒讓德方程：,（5）,埃爾米特方程：,標(biāo)準(zhǔn)形式,（4）,貝賽爾方程：,（6）,拉蓋爾方程：,標(biāo)準(zhǔn)形式,證明：,如端點(diǎn)x=a是k(x)的一級(jí)零點(diǎn),在x=a成為無(wú)限大的解應(yīng)該排除，這正是自然邊界條件,如端點(diǎn)x=a或b是k(x)的一級(jí)零點(diǎn)，則在該端點(diǎn)存在自然邊界條件,不高于一級(jí)極點(diǎn),勒讓德方程的自然邊界條件：,（二）本征值問(wèn)題,如 連續(xù)或最多以x=a 和x=b為一階極點(diǎn)，則存在無(wú)限多個(gè)本征值：,及無(wú)限多本征函數(shù),2. 所有本征值,證：,第一類(lèi)、第二類(lèi)邊界條件及自然邊界條件決定右邊一、二項(xiàng)為零,第三類(lèi)齊次邊界條件：,所以,即,3. 對(duì)應(yīng)于不同的本征值的 本征函數(shù)帶權(quán) 正交：,本征值與本征函數(shù)一一對(duì)應(yīng)：,證：,第一、第二類(lèi)齊次或自然邊界條件：,第三類(lèi)齊次邊界條件：,同樣：,