1、第二章高中數(shù)學常用的數(shù)學思想二、分類討論思想方法在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體 現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、 探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如間的定義分a>0、a = 0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。問題中涉及到的數(shù)學定理

2、、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分 q = 1和qwi兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。 解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地 劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本

3、方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其 次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復)；再對所分類逐步進行 討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。I、再現(xiàn)性題組：1 .集合 A= x|x|<4,x R, B= x|x 3| < a, x 6 R,若 A B,那么 a 的范圍是。A. 0 <a<1 B. a <1 C. a<1 D. 0<a<12 .若 a>0 且 a w 1, p = log a (a 3 + a+ 1) , q = log a (a 2 + a

4、+ 1),則 p、q 的大小關(guān)系是 。A. p = q B. p<q C. p>q D.當 a>1 時，p>q；當 0<a<1 時，p<q3 .函數(shù)y = 里工+ -cosx + 匣 +蛆幽的值域是 o|sin x| |cosx| |tgx| ctgxn n ,.n r fn 九、rart 1" COS " sin " 1yl/古、/14 .右o 6 (0, )，則lim nn 的值為 。2n-00 cos 。+ sin 0A. 1 或一1 B. 0 或一1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或1i,1-25 .函數(shù)y

5、= x+ 的值域是。xA. 2,+8) B. (-8,-2 U2,+ 8) C. (-8,+ 8) D. -2,26 .正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為 oA.- V3B. - 13 C. _ ,3 D. 一寸13 或'4r37 .過點P(2,3),且在坐標軸上的截距相等的直線方程是 OA. 3x -2y=0 B. x +y-5=0 C. 3x 2y = 0 或 x+y 5= 0 D. 不能確定【簡解】1小題：對參數(shù) a分a>0、a=0、a<0三種情況討論，選B；2小題：對底數(shù) a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選 C；3小題：

6、分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案 4,-2,0；4小題：分8= O 0< e < > 9<0<,三種情況，選 D;5小題：分x>0、x<0兩種情況，選 B;6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選 D;7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選Con、示范性題組：例 1.設(shè) 0<x<1 , a>0 且 a/1,比較 110g a (1 x)| 與 110g a (1 +x)| 的大小?！痉治觥勘容^對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對底數(shù) a分兩類情況進行討論?！窘狻? 0<x&

7、lt;10<1 x<1 , 1+x>1當 0<a<1 時，log a (1 x)>0 , log a (1 +x)<0 ,所以|10g a(1一x)| -|10g a(1+x)| = log a (1 x) log a (1 + x) = log a (1 x 2 )>0；當 a>1 時，log a (1 x)<0 , log a (1 +x)>0 ,所以|log a(1 -x)| -|log (1 +x)| =log (1x) log (1 +x) = log (1 x2)>0； aaaaa由、可知，|log a (1

8、- x)|>|log a(1+x)|。【注】本題要求對對數(shù)函數(shù)y = log ax的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當 a>1時其是增函數(shù)，當 0<a<1時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例2.已知集合A和集合B各含有12個元素，AH B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： .CAU B且C中含有3個元素；.CnAw()o【分析】由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于 A元素；不屬于 A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種?！窘狻緾 12 C； +C；2 C；+

9、 C；2 C0 = 1084128128128【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學的分類，達到分類完 整及每類互斥的要求，還有一個關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即晦C3 = 1084。例3.設(shè)a n是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和。 .證明：1g Sn 21g S1 2 <lgS n 1;.是否存在常數(shù)c>0,使得 必Sn一C) 1g(Sn 2c) = lg (S -c)成立？并證明結(jié)論。(95年全國理) 2n 1【分析】要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形；再應用比較法而求解。其中在應用等比數(shù)列前

10、n項和的公式時，由于公式的要求，分 q = 1和qw 1兩種情況?！窘狻?設(shè)a n的公比q,則a1 >0, q>0.當q=1叱Snna1,從而 SnSn 2na 1(n + 2)a 1 一(n + 1) 2a1 2 = a1 2<0；qw 1 時,a1(1q ),從而SnSnSn1a12(1nn 2 q )(1 q )由上可得Sn Sn 2<Sn.要使lg(Sn C)分兩種情況討論如下:q = 1 時，S(Sn-c)(S nqw 1 時,c-a1(1 qn1 q(1 q)2a12(1 (1qn1)2 q)2a12q n <0 ；2,所以lg(Slg(Sn2 c)2

11、c)一(Snc)Sn1)a 1qnw0而 Sn-c=S由上綜述,nSn2)<lg(S nlg(Sn1-c)2 = (na 1 c)(na1(1qn)則(S n c)(S n-c 2 =- a1q n a 1-c(1 -q)c(1 q) = 0 即不存在常數(shù)c>0,使得必Sn1 2),即的lg Sn22成立，則必有(S n c)(S+ 2)a1c -(n +1)a 1 - c2 -c) -(S n 1c=-a-1 q對數(shù)式無意義c) lg(Sn 2 c)2c)lg本例由所用公式的適用范圍而導致分類討論10g0.5 Sn10g0.5 Sn 2n 2c) =(Sn 1-a12<0c

12、) 2,-ca1(1(SnO成立。2)該題文科考生改問題為：證明>lOg 0.5Sn 1，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時，對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的, 我們解決時按要求進行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例4.設(shè)函數(shù)f(x) =ax2 2x+2,對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0 ,求實數(shù)a的取值范圍【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值 等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進行分類討論，最后綜合得解。，1

13、【解】當a>0時，f(x) = a (x)a2 + 2-1a101成a或f (1) = a 2 2>01 1 4a1f(-)=2 a或！"f(4) = 16a 8 2>0即a>f(1)=a 2當a<0時，f (4) = 16a2> 08 2> 0當 a = 0 時，f(x) =- 2x+2, f(1)=0f(4) =- 6,.不合題意，小31由上而得，實數(shù) a的取值范圍是a>-2a 分 a>0、a<0、a=0三種情況，再每種情況結(jié)合【注】本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉

14、區(qū)間的關(guān)系分三種,即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運用。例5.解不等式（x曹（；6嘰0 （a為常數(shù)，小【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù) a決定了 2a+ 1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數(shù) a分四種情況a>0、a=0、1 <a<0、a<-分別加以討論。224a<6a 時，a>0所以分以下四種情況討論:1【解】2a +1>0時，a>2當 a>0 時，(x + 4a)(x 6a)>0 ,解得：x<4a 或 x>6a；當 a = 0 時，x 2 >

15、0,解得：x w 0 ；一 1當一 一<a<0 時，(x + 4a)(x 6a)>0 ,解得：x<6a 或 x> 一4a；2當 a> 1 時，(x+4a)(x 6a)<0 ,解得： 6a<x< 4a 2綜上所述，當 a>0 時，x< 4a 或 x>6a；當 a=0 時，x*0；當一1 <a<0 時，x<6a 或 x> 4a；當 a>1 時,226a<x< 4a?！咀ⅰ?本題的關(guān)鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對

16、結(jié)果的影響而進行分類討論，此種題型為含參型。例6.設(shè)a>0,在復數(shù)集C中，解方程：z2+2|z| =a。 (90年全國高考)【分析】由已知 z2+2|z| =a和因 R可以彳4到z2cr,即對z分實數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進行討論求解。【解】 |z| 6 R,由z2 + 2|z| =a得：z26R；z為實數(shù)或純虛數(shù)當 z c R時，|z| 2 + 2|z| =a,解得：|z| = - 1 + v 1 a - z = ± ( - 1 + V;1""a )；當 z 為純虛數(shù)時，設(shè) z=±yi (y>0) ,1- - y 2 + 2y = a 解得：y=

17、1 士，1a(0<a<1)由上可得，z = ± ( 1 + Jia )或 ± (1 士 V11 a ) i【注】本題用標準解法(設(shè) z=x+y入再代入原式得到一個方程組，再解方程組)過程十分繁難，而挖掘隱 含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題?！玖斫狻吭O(shè)7=* + 丫1,代入得 x 2 -y 2 + 2 v x2y2+2xyi=a；222 ix y 2.x y a2xy 0當 y = 0 時，x 2 + 2|x| = a,解得 x = ± ( 1 + 1 a ),所以 z = ± ( 1 + J1 a )；當 x = 0 時，y 2 + 2|y

18、| =a,解得 y = ± (1 士 幣一a ),所以士 (1 士 V1 a ) i。由上可得，z = ± ( 1+ V1 a)或士 (1 士 v1 a ) i【注】此題屬于復數(shù)問題的標準解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy = 0而分x = 0和y=0兩種情況進行討論求解。實際上，每種情況中絕對值方程的求解，也滲透了分類討論思想。例7.在xoy平面上給定曲線 y2 = 2x,設(shè)點A(a,0) , a 6 R,曲線上的點到點 A的距離的最小值為 f(a),求 f(a)的函數(shù)表達式。(本題難度0.40 )【分析】求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

19、在約束條件x>0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。【解】 設(shè)M(x,y)為曲線y2 = 2x上任意一點，則|MA| 2 = (x - a) 2 + y 2 = (x - a) 2 + 2x = x 2 - 2(a - 1)x + a 2 = x - (a - 1) 2 + (2a 1)由于y 2 = 2x限定x> 0,所以分以下情況討論：當 a1>0 時，x = a- 1 取最小值，即 |MA 2 min =2a- 1；當 a1<0 時，x=0 取最小值，即 |MA2min=a2;綜上所述，有f(a)=2a 1 |a|（a小 時）（a 1時）【注】本題解題的基本

20、思路是先建立目標函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a,以及還有隱含條件x>0的限制，所以要從中找出正確的分類標準，從而得到 d = f(a)的函數(shù)表達式。田、鞏固性題組：1 .若log a 2<1,則a的取值范圍是 。 3A. (0,2) B. (2,1) C.(0,2)U(1,+ 8)d. (2,+ 8)2 .非零實數(shù)a、b、c,則亙+ _b + £ +史C的值組成的集合是 o |a|b|c| |abc|A. -4,4 B. 0,4 C. -4,0 D. -4,0,43 . f(x) =(ax)13a x| , a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是 。A.當x= 2a時有最小值 0 B. 當x = 3a時有最大值 0C.無最大值，且無最小值D.有最小值但無最大值4 .設(shè)f1(x,y) =0是橢圓方程，f 2(x,y) =0是直線方程，則方程