1、多目標優(yōu)化摘要：對市場上的多種風(fēng)險投資和一種無風(fēng)險資產(chǎn)（存銀行）進行組合投資策略的的設(shè)計需要考慮連個目標，總體收益盡可能大和總體風(fēng)險盡可能小，然而，這兩目標并不是相輔相成的，在一定意義上是對立的。模型一應(yīng)用多目標決策方法建立模型，以投資效益沒目標，對投資問題建立個一個優(yōu)化模型，不同的投資方式具有不同的風(fēng)險和效益，該模型根據(jù)優(yōu)化模型的原理，提出了兩個準則，并從眾多的投資方案中選出若干個，使在投資額一定的條件下，經(jīng)濟效益盡可能大，風(fēng)險盡可能小。模型二給出了組合投資方案設(shè)計的一個線性規(guī)劃模型，主要思想是通過線性加權(quán)綜合兩個設(shè)計目標：假設(shè)在投資規(guī)模相當(dāng)大的基礎(chǔ)上，將交易費函數(shù)近似線性化，通過決策變量化

2、解風(fēng)險函數(shù)的非線性?！娟P(guān)鍵字】：經(jīng)濟效益 線性規(guī)劃模型 有效投資方案 線性加權(quán) 1. 問題重述投資的效益和風(fēng)險(1998年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題)市場上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）Si ( i=1,n) 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資。公司財務(wù)分析人員對這n種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買Si的平均收益率為并預(yù)測出購買Si的風(fēng)險損失率為。考慮到投資越分散，總的風(fēng)險越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來度量。購買Si要付交易費，費率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費按購買計算（不買當(dāng)然無須付費）

3、。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無交易費又無風(fēng)險。（=5%） 已知n = 4時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：(%)(%)(%)(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險盡可能小。(2)試就一般情況下對以上問題進行討論，并利用一下數(shù)據(jù)進行計算。9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55498.11.27.627014393.439740.7685.617831.233.433.122033

4、.653.52.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.7.2679.45.34.532815237.61312模型的假設(shè)與符號說明2.1模型的假設(shè)：（1）在短時期內(nèi)所給出的平均收益率,損失率和交易的費率不變。（2）在短時期內(nèi)所購買的各種資產(chǎn)（如股票，證券等）不進行買賣交易。即在買入后就不再賣出。（3）每種投資是否收益是相互獨立的。（4）在投資的過程中，無論盈利與否必須先付交易費。2.2符號說明：參數(shù)范圍說明Sii=1,2n欲購買的第i種資產(chǎn)的種類M相當(dāng)大公司現(xiàn)有的投資總額xii=1,2n公司購買Si煩人金額rii=1,2n公司購買Si的平均收益

5、率qii=1,2n公司購買Si的平均損失率pii=1,2n公司購買Si超過ui時所付的交易費Eii=1,2n公司購買資產(chǎn)Si所或得的收益k0.11權(quán)因子A不等式右端的系數(shù)矩陣f目標向量3問題分析由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險特性，在這里投資Si的平均收益率為xiri，風(fēng)險損失為xiqi。要使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險損失盡可能小，第一個解決方法就是進行投資組合，分散風(fēng)險，以期待獲得較高的收益，模型的目的就在于求解最優(yōu)投資組合，當(dāng)然最優(yōu)投資還決定于個人的因素，即投資者對風(fēng)險，收益的偏好程度，怎樣解決二者的相互關(guān)系也是模型要解決的一個重要問題。本題所給的投資問題是利用原給的數(shù)據(jù)，通過

6、計算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案，并推廣到一般情況，利用第二問進行驗證，下面是實際要考慮的兩點情況：（1） 在風(fēng)險一定的情況下，取得最大的收益（2） 在收益一定的情況下，所冒的風(fēng)險最小當(dāng)然，不同的投資者對利益和風(fēng)險的側(cè)重點不同，將在一定的范圍內(nèi)視為正常，所以只需要給出一種盡量好的模型，即風(fēng)險盡量小，收益盡量大，這是一般投資者的心里。對于模型一，在問題一的情況下，公司可對五種項目投資，其中銀行的無風(fēng)險，收益r0=5%為定值，在投資期間是不會變動的，其它的投資項目雖都有一定的風(fēng)險，但其收益可能大于銀行的利率，我們擬建立一個模型，這個模型對一般的投資者都適用，并根據(jù)他們風(fēng)險承受能力的不同提出多

7、個實用于各種類型人的投資方案（一般投資者分為：冒險型與保守型。即越冒險的人對風(fēng)險損失的承受能力越強）。對于模型二：由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險特性，將資產(chǎn)的風(fēng)險預(yù)期收益率用一定的表達式表示出來，在這里，投資Si的平均收益為X(i)*r(i),風(fēng)險損失為r(i)*q(i).要使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險損失盡可能小。4模型的建立與求解投資者的凈收益為購買各種資產(chǎn)及銀行的收益減去此過程中的交易費用。在對資產(chǎn)Si進行投資時，對于投資金額xi的不同，所付的交易費用也有所不同步投資時不付費，投資額大于ui時交易費為xipi，否則交易費為uipi，記 即題中所給的交易費的計算數(shù)額是一個分段

8、函數(shù)，在實際的計算中不容易處理，但我們注意到，在表1中，ui的數(shù)值非常小，=103+198+52+40=387元，對其中最大的ui來說，u2=198<200元，而已知M是一筆相當(dāng)大的資金，同時交易費率pi的值也很小，即使在xi<ui時，以ui來計算交易費與用xi直接計算交易費相差無幾，所以，后面我們具體計算式，為簡化暫不考慮ui的約束，都已xi來答題ui計算交易費。4.1模型一：問題分析與求解設(shè)購買的金額為，所付的交易費 ()為 ()=0。 (1)因為投資額M相當(dāng)大，所以總可以假設(shè)對每個的投資，這時（1）式可化簡為 (2)對Si投資的凈收益: (3)對投資的風(fēng)險: （4） 對投資所

9、需資金（投資金額與所需的手機費 ()之和）即 (5)當(dāng)購買的金額為（i=0n）,投資組合x=(,，)的凈收益總額 (6)整體風(fēng)險： (7)資金約束： (8)多目標數(shù)學(xué)規(guī)劃模型凈收益總額R(x)進、盡可能大，而整體風(fēng)險Q(x)又盡可能小，則該問題的數(shù)學(xué)模型可規(guī)劃為多目標規(guī)劃模型，即 (9)模型（9）屬于多目標規(guī)劃模型，為了對其求解，可把多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃。假定投資的平均 風(fēng)險水平，則投資M的風(fēng)險k=M，若要求整體風(fēng)險Q(x)限制在風(fēng)險k以內(nèi)，即Q(x)<=k，則模式（9）可轉(zhuǎn)化為 (10)4.2模型一的求解（1）求多目標規(guī)劃模型（9）的非劣解 由多目標規(guī)劃理論可知，模型（9）非劣解

10、的必要條件（Kuhn-Tucker條件）為，存在,，>0使問題在于如何求 （7）式給出的Q(x)的導(dǎo)數(shù)。（2）求模型（10）的最優(yōu)解 由于模型（10）中的約束條件Q(X) k,即所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為：這是模型（10）可轉(zhuǎn)化為如下的線性規(guī)劃： (11)給定k,可方便的求解模型（11）。具體計算時，為了方便起見，可令M=1，于是（1+）可視作投資的比例。下面針對n=4,M=1的情形，按原問題給定的數(shù)據(jù)，模型（11）可變?yōu)椋?4.3模型二：問題分析與求解我們的目標是對各種資產(chǎn)投資以后，不僅收益盡可能大，同時總體風(fēng)險還要盡可能小，所以我們的目標函數(shù)應(yīng)為收益和風(fēng)險兩個函數(shù)，由于在一般時間內(nèi)的各種

11、資產(chǎn)的平均收益率和風(fēng)險損失率已由表中給出，因此我們可以建立數(shù)學(xué)模型目標1：max 目標2：mins.t.：這是一個多目標非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,且不是xi的連續(xù)函數(shù),優(yōu)化求解困難,下面我們將它轉(zhuǎn)化為一個線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型1目標函數(shù)的確定多目標規(guī)劃有多種方法化為單目標問題解決,我們使用線性加權(quán)總目標函數(shù)：min反映了風(fēng)險投資中投資者的主觀因素,越小表示投資越冒險,當(dāng)=0是表示只顧收益不顧風(fēng)險,這樣的人有可能取得最大收益;=1時表示只顧風(fēng)險不顧收益,這樣的人會將所有的資金存入銀行2交易費函數(shù)的線性化近似本題中不是的連續(xù)函數(shù),現(xiàn)將近似為的線性函數(shù)：3風(fēng)險函數(shù)的轉(zhuǎn)化令,那么必有(i=1,2,3n)由

12、于目標函數(shù)優(yōu)化f，從而優(yōu)化解必可達到使達到,這樣得到線性規(guī)劃模型Minst 4.4模型二的求解：（一）采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的線性規(guī)劃函數(shù)求解，它優(yōu)化下列線性規(guī)劃模型： s.t 使用格式為X=lp(C,A,b,vlb,vub,N)其中vlb，vub分別是上下界，X0為初始值，N表示約束條件中前N個約束為等式約束（二）計算步驟1輸入數(shù)據(jù)，選取權(quán)因子；2生成矩陣C,A,b3根據(jù)需要取vlb,vub,X0,N(問題中vlb取零向量,V去1，vub和X0沒有特殊的要求，設(shè)為空集)4.使用MATLAB函數(shù)lp求解；5模型的結(jié)果分析與評價5.1結(jié)果分析模型一：風(fēng)險投資種類n=4時，建立模型求解，任意

13、給定投資風(fēng)險上限k，在風(fēng)險不超過k的情況下確定最優(yōu)組合，列表1如下：風(fēng)險k0.0020.0030.0060.0070.0080.010.020.030.04收益y0.10110.12660.20190.20660.21120.2190.25180.26730.2673風(fēng)險投資種類n=15時，建立模型求解，任意給定投資風(fēng)險上限k，在風(fēng)險不超過k的情況下確定最優(yōu)組合，列表2如下：風(fēng)險k0.060.070.080.090.10.20.30.40.5收益y0.29450.31320.32290.32920.33530.35860.37320.38680.4004n=4是的風(fēng)險收益圖如下：由列表（1）和

14、圖（1）可知，收益y隨著風(fēng)險上限k的增加而增加，在00.007附近增長速度最快，之后增長速度變緩慢。在k=0.007時，得出一個較優(yōu)的投資組合收益y=0.2066,X=0 0.28 0.4667 0.1273 0.1016n=15時的風(fēng)險收益圖如下：由列表（2）和圖（2）同樣可知，收益y隨著風(fēng)險上限k的增加而增加，在00.08附近增長速度最快，之后增長速度變緩慢。在k=0.08時，可以得出一個較優(yōu)的投資組合收益y=0.3229,X= 0 0 0 0.8333 0 0 0 0.1105 0 0 0 0 0 0 0 0又又以上兩圖可知，收益關(guān)于風(fēng)險是離散的。隨著投資風(fēng)險上限k的增加，收益y逐漸增大

15、，投資者可以根據(jù)自己的偏好，選擇滿足要求的k和y，進行有效資產(chǎn)組合投資，考慮到y(tǒng)要盡量大，k要盡量小。同時分析風(fēng)險收益曲線，當(dāng)收益隨風(fēng)險增大急驟上升，這是由于隨著風(fēng)險增大，收益逐漸增大，人們對風(fēng)險的厭惡程度減緩，投資者逐漸走向風(fēng)險型。當(dāng)上升曲線漸趨平緩，這是由于當(dāng)風(fēng)險大到一定程度時，風(fēng)險-收益大的資產(chǎn)均已投資，收益變化不大。模型二：對于問題一： 使用線性加權(quán)法分別求解當(dāng)k=0.11.0時的最優(yōu)決策及風(fēng)險和收益如下表：表一：（收益、風(fēng)險）Sik=0.1.0.7k=0.8k=0.9k=1.0S10.99010.36900.23760.0000S20.00000.61500.39600.0000S3

16、0.00000.00000.10800.0000S40.00000.00000.22840.0000存銀行0.00000.00000.00001.0000凈收益0.26730.21650.20140.0500風(fēng)險0.02480.00920.00590.0000對于問題二：使用上述方法分別求解當(dāng)k=0.11.0時的最優(yōu)決策及風(fēng)險和收益如下表：表二：（收益、風(fēng)險）Sik=0.1k=0.2k=0.3k=0.40.5k=0.6K=0.7k=0.8k=0.91.0S10.00000.00000.00000.00000.00000.00000.08750.0000S20.00000.00000.00000

17、.00000.00000.10600.06800.0000S30.94340.20510.16580.12690.10720.09540.06120.0000S40.00000.00000.00000.00000.15310.13630.08750.0000S50.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000S60.00000.00000.00000.00000.00000.00000.09420.0000S70.00000.18100.14630.11200.09460.08420.05400.0000S80.00000.00000.00000

18、.22770.19230.17130.10990.000S90.00000.00000.18670.14280.12060.10740.06890.0000S100.00000.30770.24870.19030.16070.14320.09180.0000S110.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000S120.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000S130.00000.26760.21630.16550.13980.12450.07990.0000S140.00000.00000.0

19、0000.00000.00000.00000.00000.0000S150.00000.00000.00000.00000.00000.00000.15970.0000存銀行0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.000凈收益0.40940.34330.33520.32050.30500.21300.21300.0500風(fēng)險0.56600.12310.09950.07610.06430.05730.03670.0000將凈收益和風(fēng)險有關(guān)權(quán)因子的函數(shù)作圖觀察，得到如下圖：（1）從表一、表二中的結(jié)果可知，得到問題一的四個典型最優(yōu)組合，問題二的7個典型

20、最優(yōu)組合，對于不同風(fēng)險的承受能力，選擇該風(fēng)險水平下的最優(yōu)投資組合，對于問題一，假如風(fēng)險承受水平為0.2，那么取k=0.2時的方案是最優(yōu)決策。(2) 從圖一、圖二中的結(jié)果可知，凈收益高和風(fēng)險都是k(權(quán)因子)的單調(diào)下降函數(shù)，即說明謹慎程度越強，風(fēng)險越小，但是收益也越小，具有明確的實際意義。(3) 從如下的圖三、圖四可知，得出更詳細的計算結(jié)果，我們用k=01內(nèi)300等分點，求得最優(yōu)投資組合集合及他們形成的有效投資曲線，這條曲線上的任一點都表示該風(fēng)險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險，實際上我們發(fā)現(xiàn)其有效投資曲線是離散的，問題一只有5個最優(yōu)方案，問題二中有13個最優(yōu)方案，其中問題一風(fēng)險0.005

21、9（即權(quán)因子k=0.9）的決策（0.2376 ，0.3960，0.1080，0.2284,0）和問題二風(fēng)險0.0995（權(quán)因子k=0.3）的決策（0,0,0.1658,0,0,0,0.1463,0,0.1867,0.2487,0,0,0.2163,0,0,0）具有特別重要的意義，因為它們對應(yīng)在風(fēng)險增長較慢情形下的最大收益，可認為是一般意義上的最優(yōu)解。(4) 適用性分析：當(dāng)0<Xi<u(i)/Mi時，線性規(guī)劃模型可能不是最優(yōu)解，也就是說結(jié)果的正確性與M有關(guān)，但M<u(i)/x(i)時的結(jié)果不一定可靠，比如對問題二，當(dāng)k=0.3時，這個臨界值2581；對問題一，k=0.9時，這個

22、臨界值為500。5.2模型評價5.2(1) 模型優(yōu)點 （1）本文通過將風(fēng)險函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束，建立了線性規(guī)劃模型，直接采用程序進行計算，得出優(yōu)化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者的主觀偏好，選擇投資方向。（2）模型一采用線性規(guī)劃模型，將多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃，選取了風(fēng)險上限值來決定收益，根據(jù)收益風(fēng)險圖，投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方向。（3）模型二采用線性加權(quán)模型求解時，計算過程穩(wěn)定性好，速度快，對不同的權(quán)因子進行比較，得出最優(yōu)決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者的主觀偏好，選擇投資方向。5.2（2）模型缺點 當(dāng)投資金額小于固定值時，建立的線性規(guī)劃模型得到的結(jié)果可能

23、不是最優(yōu)解，要根據(jù)公司的資金M決策模型的優(yōu)良。對于不同的金額，得到的結(jié)果不具有代表性，我們建立的模型中采用的只是M的一個特列，具有單一性。6 參考文獻范正森 謝兆鴻等，數(shù)學(xué)建模技術(shù)，北京，中國水利水電出版社，2003王敏生 王庚, 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法, 北京,科學(xué)出版社 2006馮杰 黃力偉等，數(shù)學(xué)建模原理與案例，北京，科學(xué)出版社，2007李志林 歐宜貴 數(shù)學(xué)建模及典型案例分析 北京，化學(xué)工業(yè)出版社 2006附錄：Mat;ab程序1.模型一的Matlab程序%子程序一，問題一的求解clearf=-0.05,0.27,0.19,0.185,0.185'%目標向量A=0,0.025,0,0,

24、0;0,0,0.015,0,0;0,0,0,0.055,0;0,0,0,0,0.026;%不等式左端的系數(shù)矩陣aeq=1,1.01,1.02,1.045,1.065;%等式左端的系數(shù)矩陣beq=1;%等式右端lb=zeros(5,1);i=1;for k=0.001:0.002:0.05 b=k,k,k,k' x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb); x y(i)=-fval i=i+1;endk=0.001:0.002:0.05;plot(k,y);xlabel('k 風(fēng)險');ylabel(&

25、#39;y 收益');title('風(fēng)險收益圖1')%子程序二：問題二的求解clearf=-0.05,0.075,0.153,0.434,0.224,0.005,0.106,0.351,0.281,0.309,0.339,0.067,0.033,0.323,0.049,0.074' %目標向量A=zeros(15,15);a=0.42,0.54,0.6,0.42,0.012,0.39,0.68,0.3343,0.533,0.4,0.31,0.055,0.46,0.053,0.23;B=diag(a,0);a=zeros(15,1);A=a,B; %不等式左端的系

26、數(shù)矩陣aeq=1,1.021,1.032,1.06,1.015,1.076,1.034,1.056,1.031,1.027,1.029,1.051,1.057,1.027,1.045,1.076; beq=1;lb=zeros(16,1);i=1;for k=0.001:0.05:0.65 b=k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k' x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb); x y(i)=-fval i=i+1; endk=0.001:0.05:0.65;plot(k,y);xlabel(&

27、#39;k 風(fēng)險');ylabel('y 收益');title('風(fēng)險收益圖2')2. 模型二的Matlab程序%子程序一：問題一的計算cleari=1;for k=0.1:0.1:1;f=-0.27*(1-k) -0.19*(1-k) -0.185*(1-k) -0.185*(1-k) -0.05*(1-k) k' %根據(jù)題目建立的目標向量A=0.025 0 0 0 0 -1;0 0.015 0 0 0 -1; 0 0 0.055 0 0 -1;0 0 0 0.026 0 -1;%不等式左端的數(shù)據(jù)矩陣b=0 0 0 0'%不等式右端向量

28、aeq=1.01 1.02 1.045 1.065 1 0; %等式左端的系數(shù)向量beq=1;%等式右端lb=zeros(6,1);x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fval;i=i+1;endk=0.1:0.1:1;figure(1);plot(k,y,'g-');xlabel('k 權(quán)因子') ;ylabel('y 收益');title('圖一：凈收益和風(fēng)險關(guān)于權(quán)因子的函數(shù)')%子程序二：問題二的計算cleari=1;for k=0.1:0.1:1;f=-0.075*(1-k) -0.163*(1-k) -0.434*(1-k) -0.224*(1-k) -0.005*(1-k) -0.106*(1-k) -0.351*(1-k) -0.281*(1-k) . -0.309*(1-k) -0.339*(1-k) -0.067*(1-k) -0.033*(1-k) -0.323*(1-k) -0.049*(1-k) -0.074*(1-k) -0.05*(1-k) k&#