1、小學畢業(yè)生數(shù)學學習材料（一）小學數(shù)學知識精粹第一講 整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)例1用0、1、2、3、4、5、6、7八個數(shù)字可以組成一個八位數(shù)，如果百萬位和百位上的數(shù)字分別是7和4，那么這8個數(shù)字組成的八位數(shù)最大是多少？最小是多少？解：根據(jù)整數(shù)的數(shù)位順序，百萬位和百位上的數(shù)字分別是7和4的八位數(shù)可以表示為74。把較大的數(shù)字排在較高的數(shù)位上，得到最大的八位數(shù)是67532410；把較小的數(shù)字排在較高的數(shù)位上(0不能排在最高的數(shù)位上)得到最小的八位數(shù)是17023456。 例2有七個數(shù)，0.、0.42、是其中的 5 個。已知從小到大的第三個是 ，從大到小的第三個是多少？ 解法一：把、化成小數(shù)。0.2857，0.4

2、3076，0.4262因為0.28570.42620.420.0.43076，所以0.420.。根據(jù)“從小到大的第三個是 ”，七個數(shù)中的另外兩個數(shù)都小于，不影響這七個數(shù)從大到小的前五個數(shù)，所以，從大到小的第三個數(shù)是0.42。解法二：把0.、0.42化成分數(shù)。根據(jù)在小學數(shù)學奧林匹克班五年級上期學過的循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的方法，0.，0.42，因為，所以0.420.。根據(jù)“從小到大的第三個是 ”，七個數(shù)中的另外兩個都小于，不影響這七個數(shù)從大到小的前五個數(shù)，所以，從大到小的第三個數(shù)是0.42。練 習 一1填空。 (1)6÷15，6÷()()÷4，()160.125()%。(2

3、)>>，方框中能填的自然數(shù)有()個。(3)在中，a是非0自然數(shù)。當a()時，它是真分數(shù)；當a()時，它是假分數(shù)；當a()時，它能化成整數(shù)。2用0、0、0、7、8、9這六個數(shù)字按下面的條件寫出六位數(shù)。(1)一個0都不讀出來的；(2)讀出一個“零”的；(3)讀出兩個“零”的。3把1.2、1.、1.23三個數(shù)按照從大到小的順序排列起來。4一個帶分數(shù)，它的分數(shù)部分的分子是4，把它化成假分數(shù)后，分子是25。這個帶分數(shù)可能是多少？5. 分母是 17 的所有真分數(shù)的和是多少？分母是 18 的所有真分數(shù)的和是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？6怎樣判斷一個分數(shù)化成小數(shù)后，是有限小數(shù)還是循環(huán)小數(shù)？如果是循環(huán)小

4、數(shù)，那么是純循環(huán)小數(shù)還是混循環(huán)小數(shù)？第二講 計算 例1計算：1000999998997996995106105104103102101。解法一：原式(1000999998102101)(998995992104101)×2(1000101)×900÷2(998101)×300÷2×2165750。解法二：原式10001997110611031(1000103)×300÷21×300165750。例2計算：10。解法一：原式10()101063。解法二：原式10(1)(1)(1)(1)(1)(1)106()

5、443。解法三：原式106()4()4()4()4()4()4(1)43。練 習 二1計算：10098969492908642。2計算：77×13255×999510。3計算：19.6÷4.86.4÷4.85.4÷2.4。4計算：9.99×2.223.33×3.34。5計算：()×÷(2)。* 6計算 。第三講 整除例1有四個連續(xù)的正整數(shù)，它們都小于2005，從小到大，第一個數(shù)是5的倍數(shù)；第二個數(shù)是7的倍數(shù)；第三個數(shù)是9的倍數(shù)；第四個數(shù)是11的倍數(shù)。請問這四個數(shù)中最小的數(shù)是多少？解：顯然第一個數(shù)的個位數(shù)只

6、能是0或5；相應的第二個數(shù)的個位數(shù)只能是1或6；第三個數(shù)的個位數(shù)只能是2或7；第四個數(shù)的個位數(shù)只能是3或8。經(jīng)驗告訴我們，當?shù)诙€數(shù)是91時，可以滿足前兩個要求，而不滿足第三個要求。當?shù)诙€數(shù)比91大5×735的倍數(shù)時，仍然可以滿足前兩個要求，經(jīng)試算，9135×2162同時滿足第三個要求(162數(shù)字和是9的倍數(shù))。同理，當?shù)谌齻€數(shù)比162大5×7×9315的倍數(shù)時，仍然可以滿足前三個要求，經(jīng)試算，當?shù)谌齻€數(shù)是162315×51737時，不僅滿足前三個要求，還可以滿足第四個要求，因為1738恰好是11的倍數(shù)。所以，這四個數(shù)中最小的數(shù)是173831

7、735。例2小胡和小涂計算甲、乙兩個數(shù)的乘積，小胡看錯了甲數(shù)的個位數(shù)字，計算結果為1274；小涂看錯了甲數(shù)的十位數(shù)字，計算結果為819。甲數(shù)是多少？解：乙數(shù)是1274與819的公因數(shù)，而819的公因數(shù)有1，7，13，91，因為乙數(shù)是兩位數(shù)，可排除1和7。又因為甲數(shù)也是兩位數(shù)，乙數(shù)就不可能是91，否則甲數(shù)就是891÷919，所以乙數(shù)是13。1274÷1398，十位上的9沒有看錯；819÷1363，個位上的3沒有看錯，所以甲數(shù)是93。練 習 三1有一個三位數(shù)，能被2整除，又有因數(shù)5。已知這個三位數(shù)，百位上的數(shù)是最小的合數(shù)，十位上的數(shù)是百位上的數(shù)的倍數(shù)。這個三位數(shù)應該是

8、多少？ 2有一長方體，長90cm，寬60cm，高45cm。如果要把它切成同樣的小正方體，這些小正方體的棱長最大可以是多少厘米？3. 24可能是哪兩個數(shù)的最小公倍數(shù)？ 4六年級學生參加植樹活動，已知人數(shù)在5060之間。分組時，無論3人一組，6人一組或者9人一組，都恰好分完。六年級參加植樹活動的學生有多少人？5用210塊邊長1dm的正方形瓷磚，鋪一個盡可能接近正方形的地面，這塊地面的長和寬各是多少分米？* 6用從1到9這九個不同的數(shù)字組成一個九位數(shù)，要求所得到的九位數(shù)的相鄰兩個數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)。那么，這樣的九位數(shù)中最大的是多少？第四講 平面圖形例 1 三角形ABC的面積是6 cm2，B90

9、6;，AED90°，AC5 cm，BDDC。DE？ A E B D C 解：連接AD，三角形ABD、ADC的面積相等(等底、等高)，都是6÷23(cm2)。把DE看作三角形ADC的高，于是DE3×2÷51.2(cm)。例 2 圖中小圓半徑1cm，陰影部分的面積是多少平方厘米？ 解：圖中大圓的半徑是2 cm，因為圓面積與半徑的平方成正比例，所以大圓面積等于4個小圓的總面積。由此推知4個小圓重疊部分的面積等于大圓與小圓之間的面積，所以陰影部分的面積等于1個小圓的面積，是3.14×13.14(cm2)，練 習 四1用邊長1cm的正方形可以拼成許多面積

10、是6cm2的圖形，其中周長是12cm的圖形有哪些？2圖中，梯形ABCD的上底AD10 cm，下底BC16 cm，高AE11 cm，已知，梯形ABED與三角形DEC面積的比是67，BE和EC的長度各是多少厘米？ A D B E C3圖中ABCD是長方形，AB6cm，BC9cm。所分成的4個三角形的面積分別是S1、S2、S3、S4，并且S1S2S3S4 。求S4。 A D 1 S3 4 2 F B E C4下圖兩個正方形的邊長分別是12cm和10cm，陰影部分的面積是多少平方厘米？5下圖中圓的周長是16.4cm，圓的面積與長方形的面積正好相等，陰影部分的周長是多少厘米？6下圖由5個相同的圓的圓心連

11、線，構成一個邊長10cm的正五邊形，求這5個圓和正五邊形重疊部分的面積。第五講 立體圖形例1有甲、乙、丙三種大小不同的正方體木塊，甲的棱長為1cm，乙的棱長為2cm，丙的棱長為3cm，如果用甲、乙、丙三種木塊拼成一個體積盡可能小的正方體，而且三種木塊都要用，那么至少需要這三種木塊多少塊？解：必須同時考慮拼成的正方體體積既要盡可能小，所用的三種木塊又要盡可能少。因為三種木塊都要用，顯然大正方體的棱長必須大于或等于5 cm。(1)如果大正方體的棱長是5 cm，體積就是53125(cm3)。只能用1塊丙種木塊，體積是3327(cm3)，并且只能把它放在一個角上。畫圖發(fā)現(xiàn)，在這塊丙種木塊旁邊最多只能用

12、8塊乙種木塊，體積是8×2364(cm3)。剩下的用甲種木塊，需要125276434(塊)。至少需要三種木塊183443(塊)；(2)如果大正方體的棱長是6 cm，它的體積就是63216(cm3)。為了使三種木塊的總數(shù)盡可能少，可以用7塊丙種木塊拼成一個缺一個角的正方體，體積是33×7189(cm3)。再用1塊乙種木塊，體積是238(cm3)，和216189819(塊)甲種木塊來補齊?？偣仓恍枰N木塊711927(塊)。所以，拼成一個體積盡可能小的正方體，至少需要這三種木塊27塊。例 2 一個圓柱，底面半徑10 cm，它的側(cè)面展開是一個正方形。這個圓柱的表面積和體積各是多

13、少？(得數(shù)保留整數(shù)。)解：側(cè)面展開是一個正方形，說明這個圓柱體的高是2×3.14×1062.8(cm)。(1)表面積是62.83.14×10×24571(cm2)。(2)體積是3.14×10×62.819719(cm3) 答：表面積是4571cm2，體積是19719cm3。練 習 五1 一個沒有蓋的正方體盒子，它的表面展開圖可能有哪幾種形式？2一個正方體玻璃容器，棱長2dm。向容器中倒入5升水，再把一塊石頭放入水中。這時量得容器內(nèi)的水深14 cm。石頭的體積是多少立方厘米？ 3. 一個圓柱的側(cè)面積是376.8 cm2，底面半徑是2 c

14、m。它的高是多少厘米？4有一個棱長10 cm的正方體鐵塊，把它熔化后再鑄成一個底面直徑10 cm的圓錐形鐵塊。這個圓錐形鐵塊的高約是多少厘米？(得數(shù)保留一位小數(shù)。)5一個圓錐與一個圓柱的底面積相等。已知圓錐與圓柱的體積的比是16，圓錐的高是9.6 cm，圓柱的高是多少厘米？6一個長方體水池，長12m、寬10m，池中水深1.57m。池底有根出水管，內(nèi)徑2dm。放水時，水流速度為每秒流2m。放完池中的水需要多少分鐘？第六講 比和比例例1下圖中正三角形、正方形、正六邊形的周長相等，那么，abc？ b c c c a a b b c c a b c解：設周長為s。abc432。例2一支工程隊接受鋪設一

15、段鐵路的任務，原計劃每天鋪3km，實際每天比原計劃多鋪20%，實際鋪完這段鐵路用了15天。原計劃用多少天才能鋪完？解：計劃工作效率與實際工作效率的比是1(120%)56。因為，工作量一定，工作時間與工作效率成反比例，所以，計劃工作天數(shù)與實際工作天數(shù)的比是65。設原計劃工作x天。x1565xx18答：原計劃18天才能鋪完。練 習 六 1圖中平行四邊形與三角形的面積的比是多少？ 20 (單位：cm) 15 242愛華小學六年級同學們分3組種樹。已知第一組、第二組、第三組的工作效率的比是645。結果第一組種樹18棵，第二組、第三組各種樹多少棵？3甲數(shù)與乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)的比是 58, 甲數(shù)與甲、乙、

16、丙三數(shù)的平均數(shù)的比是幾比幾？ 4亮亮為了要知道一個雨花石的體積，做了下面的實驗：(1)先把這塊雨花石浸沒在一個長方體水槽的水中。然后把這塊雨花石取出，測得槽里的水面下降了5cm；(2)再把一塊棱長2cm的正方體鐵塊浸入這個水槽的水中，測得槽里的水面上升了4cm。這塊雨花石的體積是多少立方厘米？5修一條公路，已修的和未修的長度的比是14，再修200m后，已修的和未修的長度的比是13。這條公路的全長有多少米？6水果店運來香蕉、蘋果和梨共470kg。香蕉和蘋果的比是34，梨的重量是蘋果的。香蕉比梨多多少千克？第七講 方程例 1 圓柱體的高用h表示，底面半徑用r表示，表面積用S表示，寫出圓柱體表面積的

17、計算公式。解：表面各包括側(cè)面積和上下兩個底面積。側(cè)面積等于底的周長乘高，即2rh, 底面積等于r, 于是 S2rh2r 2r(hr)所以，圓柱體表面積的計算公式是：S2r(hr)。例 2 六一班的男女同學人數(shù)同樣多。一個周末，除了留下8位男同學參加學校大掃除以外，其余的同學按5位女同學和3位男同學編組，到大街上搜集廣告、招牌上的錯別字。六一班男、女同學各有多少人？解：設男、女同學各有x人。根據(jù)搜集錯別字的組數(shù)一定，列出方程：(x8)÷3x÷5 即 xx 方程兩端都減去x，加上，得 ()x x x÷ x20答：六一班男、女同學各有20人。練 習 七 1一個數(shù)的5倍再

18、除以3，商4余2，求這個數(shù)。下面哪個方程是正確的？這個數(shù)是多少？ (1)5x÷342 (2)(5x2)÷34(3)5x÷324 (4)5x4×322. 有這樣一道題：“甲數(shù)是乙數(shù)的4倍，甲數(shù)比乙數(shù)多12。甲乙兩數(shù)各是多少？”小明列出下面幾個方程：(1)4xx12 (2)xx÷412 (3)(x12)÷x4 (4)x÷(x12)4每個方程中的x分別表示什么？每個方程是根據(jù)什么數(shù)量間的相等關系列出的？ 3. 李老師買日記本和練習本各3本，付出50元，找回26元。每本練習本2.5元，每本日記本多少元?4校園里一共種了200棵楊樹和

19、柳樹，其中楊樹的棵數(shù)比柳樹的2倍少10棵。兩種樹各種了多少棵？5兩地間的公路長330km。甲、乙兩輛汽車同時兩地相對開出，甲車的速度是乙車的1.2倍，3小時相遇。兩車每小時各行多少千米？6一個筑路隊原計劃15天修完一條公路，實際每天比原計劃多修50m，提前3天完成任務。原計劃每天修路多少米？第八講 平均問題與和差問題平均問題的數(shù)量關系是：平均數(shù)總數(shù)÷份數(shù)總數(shù)平均數(shù)×份數(shù)份數(shù)總數(shù)÷平均數(shù)例1期中考試，小華的英語得了85分，語文得了93分，數(shù)學因病缺考，她要想使三科平均達到90分，數(shù)學補考至少要得多少分？解：三科平均90分，總分就要達到90×3270(分)，

20、數(shù)學至少要得270859392(分)。也可以用方程解。設數(shù)學至少要得x分。列出方程： (8593x)÷390 8593x270 x92和差問題的數(shù)量關系是：（和差）÷2大數(shù)（和差）÷2小數(shù)例2兩桶汽油共重150kg，從第一桶倒給第二桶18kg以后，第一桶比第二桶還多14kg，兩桶汽油原來各重多少千克？解：每從第一桶倒給第二桶1kg，第一桶減少1千克，第二桶增加1kg，兩桶汽油的差就要減少2kg。所以，原來第一桶比第二桶多18×21450(kg)。于是第一桶原來重：(15050)÷2100(kg)第二桶原來重：(15050)÷250(k

21、g)或15010050(kg)也可以用方程解。設第一桶汽油原來重x千克，第二桶就重150x千克。列出方程： x1814150x18 x32168x xx16832(方程兩端都加上x和32) 2x200 x100 第二桶重15010050(kg)。練 習 八1有三個數(shù)。甲、乙的平均數(shù)是24.5，乙、丙的平均數(shù)是20.5，甲、丙的平均數(shù)是18。這三個數(shù)各是多少？2一輛汽車從甲地到乙地用了5小時，前3小時行了144km。以后的速度是原來的1倍。這輛汽車平均每小時行多少千米？ 3張明同學參加語文、數(shù)學、英語三科考試, 結果, 語文 83 分, 英語 74 分, 數(shù)學成績比這三科平均分還多 11 分,

22、數(shù)學多少分?4文具店有鋼筆和圓珠筆850支，當兩種筆賣出同樣多以后，還剩下鋼筆123支，圓珠筆87支，原來有圓珠筆多少支？5甲、乙兩船共載乘客623人，從A港經(jīng)B港開往C港。在B港甲船增加34人，乙船減少57人，到C港時，兩船乘客恰好相等，兩船原來各載乘客多少人？6紅星小學四、五、六年級共有學生702人，四年級比五年級少18人，六年級比五年級少24人，四、五、六年級各有學生多少人？第九講 和倍問題與差倍問題和倍問題的數(shù)量關系是：數(shù)量和÷倍數(shù)和一倍數(shù)例 1 學校買來三種新書共100本，其中文藝書是科技書的3倍，畫冊比科技書的一半還少8本。這三種書各買了多少本?解：從“畫冊比科技書的一半

23、還少8本” 想到，假如給畫冊增加8本，那么，畫冊的本數(shù)就正好是科技書的一半，同時三種書的總數(shù)變成1008108(本)。把科技書的本數(shù)看作1倍，文藝書就是3倍，畫冊就是0.5倍，所以科技書有108÷(130.5)24(本)。文藝書有24×372(本)。假設的畫冊本數(shù)是24×0.512(本)，實際只有1284(本)。也可以用方程解。設科技書有x本。文藝書就是3x本，畫冊就是x8本。列出方程： x3xx8100 4x108 x24文藝書有3×2472(本)，畫冊×2484(本)。差倍問題的數(shù)量關系是：數(shù)量差÷倍數(shù)差一倍數(shù)例 2 森迪科技公司

24、的男職員比女職員的3倍還多6人，已知男職員比女職員多38人，男、女職員各有多少人？解：為了使男職員正好是女職員的3倍，男職員就要減少6人，這樣，男職員只比女職員多38632(人)，與這32人對應的是女職員的312倍，所以女職員有32÷216(人)，男職員有163854(人)。也可以用方程解。設女職員有x人，男職員就是x38人。列出方程 x383x6 2x32x16男職員有163854(人)。練 習 九1六一班和六二班共訂報刊130份，一班訂的比二班的2倍還多4份，兩個班各訂報刊多少份？2甲、乙、丙三人共集郵票600枚，甲的郵票數(shù)量是乙的2倍，乙的郵票數(shù)量是丙的3倍。三人各集郵票多少枚

25、？3甲、乙、丙、丁共有存款9100元，甲的存款是乙的，乙的存款是丙的，丁的存款是丙的，四個人各有存款多少元？4甲書店的圖書本數(shù)是乙書店的3倍，甲店賣出850本，乙店賣出50本后，兩店剩下的圖書本數(shù)相等，原來兩個書店各有圖書多少本？5三盒糖所裝糖的塊數(shù)不等，大盒比中盒多16塊，并且大盒裝的是小盒的4倍，小盒裝的是中盒的一半，三盒糖各有多少塊？6育華小學的籃球比排球多7個，足球比籃球多4個，已知足球比排球的3倍還多1個，三種球各有多少個？第十講 行程問題解答行程問題的基本思路是，首先要搞清楚幾個物體在運動，以及運動的出發(fā)點、方向、終點、是否同時出發(fā)、中間有無停留等情況，然后再根據(jù)“速度”、“時間”

26、、“路程”間的關系逐步加以解決。例1甲、乙兩地相距480km。一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行50km，行駛300km后遇到從乙地開來的另一輛汽車。如果乙地開來的汽車每小時行40km，這兩輛汽車是不是同時開出的？ 解法一：甲車行300km用300÷506(小時)，相遇時乙車行(480300)÷404.5(小時)，乙車行的時間比甲車少，說明乙車比甲車晚開出。 解法二：甲車行300千米用300÷506(小時)，如果兩車同時開出，乙車要行40×6240(km)，而300240480，說明乙車比甲車晚開出。 解法三：甲車行300千米用300÷506(小

27、時)，如果兩車同時開出，乙車要行40×6240(km)，而實際只要行480300180(km)就和甲車相遇，這說明乙車開出的時間比甲車晚。例 2 兩輛汽車同時從A地出發(fā)往B地送貨。甲車每小時行60km，乙每小時行45km，甲車在途中發(fā)生故障，修車用了2小時，結果兩車同時到達B地。A、B兩地相距多少千米？解：甲車如果不發(fā)生故障，在乙車行車的同時將會比乙車多行60×2120(km)，而每小時甲車比乙車多行604515(km)，說明乙車的行車時間是120÷158(小時)，A、B兩地相距45×8360(km)。也可以用方程解。設乙車共用了x小時。列出方程 60&

28、#215;(x2)45x 60x12045x 15x120 x8兩地相距45×8360(km)。練 習 十1一列貨車從甲站開往乙站，每小時行62km，一列客車從乙站開往甲站，每小時行70km，兩車在距離中點12km處相遇，甲乙兩站相距多少？ 2一個學生的家離學校有3km。他每天早晨騎車上學，以每小時12km的速度行進，恰好準時到校。一天早晨，因為逆風，開始的1km，他只能以每小時8km速度騎行。剩下的路程他應以什么速度騎行，才能準時到校？ 3甲乙兩港相距400km。一艘貨艙從甲港開往乙港，4小時后，一艘客輪從乙港開往甲港?？洼嗛_出10小時后與貨輪相遇。貨輪每小時行12km，客輪每小時

29、行多少千米？4兩列火車錯車，第一列火車的速度是每秒10m，第二列火車的速度是每秒12m。第二列火車上一位旅客發(fā)覺第一列火車從車窗旁開過共用了6秒鐘，第一列火車的長度是多少米？5李老師從學校出發(fā)到市教育局開會。去時乘公交車平均每分鐘行250m，回來時步行，每分鐘行平均行50m，結果比乘車多用了20分鐘。學校到市教育局相距多少米？6在一條高速公路上，警察騎摩托追前方的肇事汽車。汽車每小時行60km，摩托車每小時行80km，從摩托開動到追上汽車用了0.2小時，摩托開動時，汽車已經(jīng)開走幾分鐘？第十一講 盈虧問題與還原問題解答盈虧問題的基本思路是，針對形成盈虧的原因找出其間的對應關系，從而使問題得到解決

30、。例1 學校組織高年級同學參加植樹活動，如果平均分成12個組就多11人；如果平均分成14個組就少9人。求每組人數(shù)和高年級的總?cè)藬?shù)。解：當組數(shù)從12個增加到14個時，人數(shù)不僅不再多11人，反而少9人，與原來相比相差11920人，這是由于多了14122(組)的緣故。所以，每組是20÷210(人)。高年級總共有12×1011131(人)。也可以用方程解。設每組有x人。列出方程 14x912x11 2x20 x10高年級總共有10×149131(人)。解答還原問題的基本思路是，根據(jù)四則運算的互逆關系，從最終得數(shù)一步一步倒推回去，直到得出開始的數(shù)量。例2小明的爺爺今年的年齡

31、加上20以后，再縮小4倍，再減去15以后，再擴大10倍，恰好是100歲。小明的爺爺今年多少歲？解：從最后的數(shù)量100入手倒著推回去。100是擴大10倍以后得到的，未擴大10倍之前是1000÷1010；10是減去15以后得到的，未減去15之前是101525；25是縮小4倍以后得到的，未縮小4倍之前是25×4100；100是加上20以后得到的，未加上20之前是1002080。所以，小明的爺爺今年80歲。也可以用方程解。設小明爺爺今年x歲。列出方程： (x20)÷415×10100 (x20)÷41510 (x20)÷42520100 x8

32、0練 習 十 一1學校把一批課外讀物獎給三好學生。每人發(fā)3本，余84本；每人發(fā)5本，仍余12本。三好學生有多少人？這批課外讀物有多少本？2曉東計劃看一本書，如果每天看45頁可以提前1天看完；如果每天看30頁就要比計劃多看3天。他計劃幾天看完這本書？這本書有多少頁？ 3有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果多租一只船，正好每船坐 6 人；如果少租一只船，正好每船坐 9 人。這個班有多少個同學？4蘭蘭把自己存的錢的一半買了圖書。媽媽又給她20元，她又用這時她所有的錢的一半買了文具，結果還剩13元。他原來存了多少錢？5山頂有棵桔子樹，一只猴子每天去吃橘子。第一天吃了，第二天吃了余下的，第三天吃了余

33、下的，照這樣，第八天吃了余下的，第九天吃了余下的，這時樹上只剩下10個橘子。樹上原來有多少個橘子？(用一般方法解答后，想想看，還有沒有更簡單的方法。)6甲、乙、丙三個小組共有圖書90本，后來，甲組給了乙組3本，乙組給了丙組5本，結果三個組圖書的本數(shù)相等。三個組原來各有圖書多少本？第十二講 置換問題與消去問題有些應用題中兩種數(shù)量糾纏在一起，可以用一種數(shù)量代替另一種數(shù)量，從而找到解決問題的方法，這類問題就是置換問題。例 1 學校買了4個籃球和8個小足球，共用840元，1個籃球和4個小足球的價錢正好相等。籃球和小足球的單價各是多少？解法一：把小足球換成8÷42(個)籃球，每個籃球840&#

34、247;(42)140(元)，每個小足球140÷435(元)。解法二：把籃球換成4×416(個)小足球，每個小足球840÷(168)35(元)，每個籃球35×4140(元)。也可以用方程解。設小足球的單價是x元，籃球的單價就是4x元。列出方程4x×48x840，24x840，x35?；@球的單價是4×35140(元)。例 2 小剛有2分、5分硬幣共35枚，一共是1.15元。兩種硬幣各多少枚？解：假設35枚硬幣全是2分的，只有2×3570(分)，比1.15元少1157045(分)，用1個5分的換1個2分的可以增加523(分)，增

35、加45分要換45÷315(次)，這就是說，原來的5分硬幣有15個，2分硬幣有351520(個)。也可以用方程解。設5分硬幣有x個，2分硬幣就有35x個。列出方程5x2×(35x)115，3x70115，3x45，x15。2分硬幣有351520(個)。有些應用題中兩種數(shù)量糾纏在一起，可以利用已知條件設法消去一種數(shù)量，從而找到解決問題的方法，這種問題就是消去問題。例 3 誠信中學組織學生春游，把這項活動包給了旅游公司。第一批去了12位教師300名學生，共收費6360元。第二批去了15位教師，400名學生，共收費8450元。每位教師和每個學生收費多少元？解：為了消去“教師”，先求

36、出兩次教師人數(shù)的最小公倍數(shù)60，因為60÷125，把第一批教師人數(shù)、學生人數(shù)和收費數(shù)都擴大5倍，得60位教師1500名學生收費31800元。因為60÷154，把第二批教師人數(shù)、學生人數(shù)和收費數(shù)都擴大4倍，得60位教師1600名學生收費33800元。用擴大后的第二批人數(shù)和錢數(shù)減去擴大后的第一批人數(shù)和錢數(shù)，得16001500100(名)學生收費 33800318002000(元)，每個學生收費2000÷10020(元)。這樣再根據(jù)第一批(或第二批)的情況就能求出每位教師收費(636020×300)÷1230(元)。也可以用方程解。設每位教師收x元，

37、每個學生收y元。列出方程組：12x300y6360(1)15x400y8450(2)參考上面的算術解法。(2)×4(1)×5得100y2000，y20。把y20代入(1)得12x300×206360，x30。練 習 十 二 1百貨商場運來420盒護手霜，分別裝在4個木箱和9個紙箱里。如果3個紙箱同1個木箱裝的一樣多，每個木箱和每個紙箱各裝多少盒護手霜？2有20道數(shù)學競賽題，做對一道得5分，做錯一道倒扣3分，不做不得分也不扣分。小明得了60分，他做對了幾道題？3某社區(qū)裝訂組裝訂一批書，第一天裝訂750本，第二天裝訂890本，規(guī)定每本裝訂費0.18元，如果不合格不付裝

38、訂費，兩天共得裝訂費292.5元，裝訂不合格的有多少本？4張大媽和王大媽一起去商場購物。張大媽買了3塊香皂、5塊肥皂，共花了11.4元。王大媽買了3塊香皂、7塊肥皂，共花了13.8元。香皂和肥皂的單價各是多少元？5運輸公司為一家客戶運送貨物。第一天2臺大卡車3臺小卡車共運了14.5t，第二天3臺大卡車、2臺小卡車運了18t。兩種卡車的載重量各是多少噸？6李老師第一次買來6個羽毛球7個乒乓球，共用了10.7元。第二次買來8個羽毛球5個乒乓球，共用了12.1元。兩種球每個各多少元？第十三講 分數(shù)應用題例 1 一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時行了全程的，第二小時比第一小時多行了6km，這時距離乙地還

39、有30km。甲、乙兩地的公路長多少千米？解：畫出線段圖： 第一小時 第二小時 6km 30km 單位“1”從圖上可以看出，6km與30km的和，相當于全程的1，所以全程是(630)÷(1)84(km)。例 2 紅星小學六年級舉行數(shù)學競賽，參加競賽的女生比男生多28人。結果，男生全部獲得優(yōu)良成績，女生有沒有獲得優(yōu)良成績，男、女生獲得優(yōu)良成績的共計42人。參加競賽的女生有多少人？解：獲得優(yōu)良成績的42人中包括全部男生和女生的1。因為男生比女生少28人，如果42人再加上28人，這422870(人)中將包括與全部女生相等的人數(shù)和獲得優(yōu)良的女生人數(shù)，所以參加競賽的女生有 (4228)÷

40、;(11)40(人)。也可以用方程解。設女生有x人，男生就是x28人。列出方程(1)x(x28)42，1x2842，1x70，x40。練 習 十 三1新華小學六年級有120人，已經(jīng)達到體育鍛煉標準的占。而“達標”的學生的是女生，“達標”的男生占六年級總?cè)藬?shù)的幾分之幾？2一批零件按85分配給甲乙兩個車間加工。甲車間加工了1600個，超額25%完成任務；乙車間只完成了95%，乙車間只加工了多少個零件？3一輛汽車從甲地開往乙地，平路占全程的，剩下的路程中是上坡路，其余是下坡路。回來時上坡路是5km。甲乙兩地相距多少千米？ 4. 某班女生人數(shù)是男生人數(shù)的 ，又轉(zhuǎn)來 1 名女生以后，女生人數(shù)是男生人數(shù)的

41、 。全班共有學生多少人？ 5. 有兩個書架，甲書架存書的 等于乙書架的 ，甲書架比乙書架多存 120 本。乙書架存書多少本？ 6某商品按定價出售每個可獲利45元。按定價的85折出售8個與每個減價35元出售12個所獲利的利潤一樣。這種商品每個的定價是多少元？第十四講 工程問題例 1 甲、乙兩個工程隊合修一段公路，甲隊的工作效率是乙隊。兩隊合修6天正好完成這段公路的，如果余下的由乙隊單獨修，還要幾天才能修完？解：兩隊合修的工作效率是÷6，其中包括乙隊的工作效率“單位1”和甲隊的工作效率“”，所以乙隊的工作效率是÷(1)。還余下這段公路的1，如果由乙隊單獨修，需要÷5(

42、天)才能修完。 例 2 一列快車從甲城到乙城要5小時，一列慢車從乙城到甲城要8小時?？燔囬_出2小時后慢車才開出，兩車相遇處距離中點84km。甲乙兩城相距多少千米？ 解：慢車從開出到與快車相遇行了(1×2)÷()1(小時)，行了甲、乙兩城全程的×1，所以甲乙兩城相距84÷()312(km)。練 習 十 四1.做一批零件，甲單獨做要用10小時。乙的工作效率是甲的。甲、乙合做3小時后，剩下的由甲來做，還要幾小時？2一條公路，由甲、乙兩個修路隊合修要12天完成?，F(xiàn)在由甲隊先修3天，再由乙隊接著修2天，完成了全部工程的。如果這條公路全部由甲隊單獨修，多少天可以完成

43、？3一件工作，甲單獨做45天可以完成，乙單獨做60天可以完成?，F(xiàn)在由甲、乙合作，因為中途乙請過幾天假，完成全部工作共用了30天，乙請了幾天假？4一份稿件，如果由打字員小王和小李合打，6小時可以完成；如果由小李和小劉合打，8小時可以完成；如果由小王和小劉合打，12小時可以完成?，F(xiàn)由三位打字員同時打，幾小時可以完成？5有一個水池，裝有進水管、出水管各一根。單開進水管5分鐘可以注滿水池，單開出水管8分鐘可以把滿池的水放完?，F(xiàn)在池內(nèi)已有池水，同時打開進水管和出水管，幾分鐘才能注滿水池？6師徒共同加工一批機器零件，已知師傅單獨加工48小時可以完成，現(xiàn)由師徒同時加工，師傅每小時比徒弟多加工10個，完成任務

44、時，師傅加工了750個，徒弟加工了450個。如果由徒弟單獨加工這批零件，多少小時可以完成？第十五講 其它應用題例 1 六一班有48個同學，每個同學至少會踢毽子或跳繩這兩種活動中的一種。據(jù)統(tǒng)計，有的同學會踢毽子，有的同學既會踢毽子又會跳繩。會跳繩的同學有多少人？解：畫出示意圖： 只會 兩種 只會 踢毽子 都會 跳繩 踢毽子 跳繩按照題意，“”指的是“只會踢毽子”和“既會踢毽子又會跳繩”即“兩種都會”的；“”指的是“兩種都會”的。所求會跳繩的包括“只會跳繩”和“兩種都會”的，從圖上可以看出，這兩類的總?cè)藬?shù)占全班人數(shù)的1，是48×32(人)。例 2 用09這十個數(shù)字中的任意3個數(shù)字，組成沒

45、有重復數(shù)字的兩位數(shù)和三位數(shù)共有多少個？解：在組成兩位數(shù)時，0不能作十位數(shù)，所以用作十位數(shù)的數(shù)字有9種可能，對于每一個選定的十位數(shù)，用作個位數(shù)的數(shù)字都有9種可能，因此，總共可以組成9×981(個)兩位數(shù)；在組成三位數(shù)時，0不能作百位數(shù)，所以用作百位數(shù)的數(shù)字有9種可能，對于每一個選定的百位數(shù)，用作十位數(shù)的數(shù)字都有9種可能，而對于每一個選定的十位數(shù)，用作個位數(shù)的數(shù)字都有8種可能，因此，總共可以組成9×9×8648(個)三位數(shù)；總共可以組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)和三位數(shù)共81648729(個)。練 習 十 五1強華小學學生參觀歷史博物館。他們排成4行，每行人數(shù)同樣多。姜艷麗

46、同學排在第3行，從前數(shù)是第8人，從后數(shù)是第10人，參觀展覽的一共有多少人？2. 六二班58人參加考試，英語得優(yōu)的有25人，數(shù)學得優(yōu)的有31人，兩門都得優(yōu)的有16人。英語和數(shù)學都沒有得優(yōu)的有多少人？3五年級有三個班，在一次數(shù)學競賽中至少有多少人獲獎，才能保證一定有4名同學是同班的？4從6個數(shù)字1、2、3、4、5、6中任取兩個組成位數(shù)，如果其中的6也可以作數(shù)字9使用，那么一共可以組成多少個不同的兩位數(shù)？5在100至1000之間，有多少個各位數(shù)字之和等于10的整數(shù)？* 6某廠對全體工人進行技術考核, 結果如下：80% 的工人會做 A 種工作；87%的工人會做 B 種工作；92% 的工人會做 C 種工

47、作；75% 的工人會做 D 種工作。那么, 最多有( )% 的工人這四種工作都會做，最少有 ( )% 的工人這四種工作都會做。參考答案第一講 整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)1(1)略。(2)能填的自然數(shù)7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共13個。(3)略。2(1)如，789000、708900等(改變7、8、9的排列順序，以下相同)；(2)如，780900、780090、780009、700890、700089等。(3)如,700809等。 3略。 41或3。5. 和分別是 8、8。分母是 n 的所有真分數(shù)的和 S。6一個最簡分數(shù)：(1)當分母是2、4、5、8、10、16

48、、20、25時，可以化成有限小數(shù)。觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)只含有質(zhì)因數(shù)2或5；(2)當分母是3、7、9、11、13、17、19時，可以化成純循環(huán)小數(shù)。觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)只含有2或5以外的質(zhì)因數(shù)；(3)當分母是6、12、14、15、18時，可以化成混循環(huán)小數(shù)。觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2或5以外的質(zhì)因數(shù)。第二講 四則計算1原式(10098)(9694)(9290)(86)(42)2×2550。2原式77×13255×(9992)1001255×1001256×1001256256。3原式19.6÷4.86.4÷4.8(5

49、.4×2)÷(2.4×2)(19.66.410.8)÷4.824÷4.85 4原式3.33×6.663.33×3.343.33×(6.663.34)3.33×1033.3。5原式()×11()×00。6. 原式 11第三講 數(shù)的整除 1這個數(shù)能被2整除，又有約數(shù)5，說明個位上的數(shù)是0；最小的合數(shù)是4，所以這個數(shù)百位上的數(shù)是4；十位上的數(shù)是百位上的數(shù)的倍數(shù)，說明十位上的數(shù)可能是0、4、8。因此，這個三位數(shù)可能是400、440、480。 2. 15cm。 3242×2×

50、2×3。(1)如果這兩個數(shù)有倍數(shù)關系，較大數(shù)就是24，較小數(shù)就是1、2、3、4、6、8、12；(2)如果這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個數(shù)就是3和8；(3)如果這兩個數(shù)有公約數(shù)2，這兩個數(shù)就是6和8，或者8和12。 454人。52102×3×5×7，按照要求把4個因數(shù)組成兩個最為接近的因數(shù)，得210(2×7)×(3×5)14×15，所以這塊地面的長和寬分別是14dm和15dm。6試算得到這個九位數(shù)是985674321。第四講 平面圖形1這樣的圖形有： 2梯形ABCD的面積(1016)×11÷2143(c

51、m2)，三角形DEC的面積143÷(67)×777(cm2)，EC77×2÷1114(cm)，BE16142(cm)。 3S1S2S3S49×6÷318(cm2)，BE18×2÷66(cm)，DF18×2÷94(cm)，所以EC963(cm)，F(xiàn)C642(cm)，S33×2÷23(cm2)，S418315(cm2)。4. 陰影部分的面積，等于小正方形的面積加上小正方形上面的三角形的面積，再加上一個四分之一圓的面積，最后再減去左下方空白三角形的面積，是1010×(12

52、10)÷23.14×12÷4(1012)×10÷2113.04(cm2)。5因為長方形的寬等于圓的半徑，所以陰影部分的周長等于圓周長的加長的2倍。已知長方形的面積與圓的面積相等，即，長×rr2，所以，長r。于是陰影部分的周長是2r×2r2r×16.4×20.5(cm)。 6重疊部分是5個相同的扇形，因為正五邊形的1個內(nèi)角等于180 °×(52)÷5108°，每個扇形的面積是3.14×(10÷2)×23.55(cm2)，重疊部分的總面積是23.5