1、課題名稱: 點到直線的距離設(shè)計者: 何瑞廣 通訊地址: 廣東省臺山市臺城鎮(zhèn)石化路1號一、概述點到直線的距離是課程標準實驗教材北師大版數(shù)學(xué)必修2第二章內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了兩點間距離公式運用的基礎(chǔ)上的一節(jié)起始課，它是高中解析幾何課程中最重要的也是最精彩的公式之一,它是解決點線、線線距離的基礎(chǔ),也是研究直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的重要工具,同時為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線作準備.教材試圖讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)、探究點到直線的距離公式的思維過程,深刻領(lǐng)會蘊涵于其中的數(shù)學(xué)思想和方法,逐步學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合、算法、轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法來解決數(shù)學(xué)問題;能讓學(xué)生充分體驗作為學(xué)習(xí)主體進行探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣.本節(jié)課重點是創(chuàng)

2、設(shè)問題情境，恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生探究出具體問題中的距離關(guān)系，能推導(dǎo)出點到直線的距離公式并解決實際問題。難點在于如何在具體的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，尋找距離關(guān)系，將實際問題抽象為公式模型。二、教學(xué)目標分析課 程 標 準：掌握點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。教 學(xué) 目 標：讓學(xué)生熟悉兩點間的距離公式;使學(xué)生掌握點到直線的距離公式;讓學(xué)生會求兩平行直線間的距離; 學(xué)習(xí)并領(lǐng)會探究點到直線的距離公式的思維過程,掌握用數(shù)形結(jié)合、算法、轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想來研究數(shù)學(xué)問題的方法,培養(yǎng)學(xué)生自主探究和發(fā)散思維的能力.知識和能力: 通過對點到直線的距離公式的推理，使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)問題的一般

3、方法，掌握點到直線的距離公式、并靈活運用。培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生字母運算的能力，領(lǐng)悟特殊與一般、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.過程和方法: 通過探究點到直線的距離公式的發(fā)現(xiàn)與證明，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強邏輯思維能力。情感態(tài)度和價值觀: 培養(yǎng)學(xué)生問題解決意識、養(yǎng)成勤于思考、敢于探索思維習(xí)慣、合作意識、們持之以恒和永不言棄的數(shù)學(xué)精神，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識.三、學(xué)習(xí)者特征分析本節(jié)課的學(xué)習(xí)者特征分析主要是根據(jù)教師平時對學(xué)生的了解而做出的：（1）學(xué)生是廣東省臺山市第一中學(xué)高一年級學(xué)生；（2）學(xué)生已經(jīng)熟練掌握兩點間的距離公式和簡單的平面幾何的基礎(chǔ)知識等；（3）學(xué)生對生活

4、中隱含數(shù)學(xué)問題的事件興趣濃厚；（4）學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和數(shù)學(xué)建模的能力還不強。 四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計（1）自主學(xué)習(xí)策略：學(xué)生通過自己獨立思考隱藏在現(xiàn)實生活中與距離有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，促進思維的深層次加工和提高課堂參與度；（2）游戲激趣策略：通過日常生活中與距離有關(guān)的具體實例，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，創(chuàng)設(shè)寬松活潑的課堂教學(xué)氣氛，維持學(xué)生學(xué)習(xí)的動機；（3）情境遷移策略：在完成課標要求的基礎(chǔ)上，通過設(shè)置與生活實際緊密聯(lián)系的問題情境，鞏固提高學(xué)生運用方程解決生活問題的能力。(4)探究引導(dǎo)策略:探討和啟發(fā)式,教師合理進行引導(dǎo),啟發(fā).五、教學(xué)資源與工具設(shè)計(1)教師自制的多媒體課件；

5、(2)多媒體課件、實物展示平臺、投影儀、電腦平臺等。(3)三角板等作圖工具.六、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧：教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式，則兩點間的距離公式是什么？學(xué)生：（點，）。教師：很好。也就是說對于平面中任意兩點間的距離我們就可以用這個公式來求。我們都知道平面中除了點以外還有直線。如果我們研究的不是兩點間的距離，而是點與直線之間的距離。這時我們應(yīng)該如何來解決這個問題呢？這就是我們今天將要探究的問題。由此引入課題。（二）課題引入：1、 引入沖突，激發(fā)興趣。如圖,在鐵路的附近,有一大型倉庫.現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來.那么怎樣設(shè)計能使公路最短？最短路程又是多少？倉庫鐵路教師：今天根據(jù)

6、前面所學(xué)習(xí)的內(nèi)容和以上的問題，請同學(xué)們試一試解決下列問題：EDBA0yx求點到下列直線的距離 （作者注：復(fù)習(xí)鞏固上一節(jié)課所學(xué)知識的同時，又提供新的問題背景，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，創(chuàng)設(shè)了新的情景。）根據(jù)點到直線的距離的定義，學(xué)生容易想到運用數(shù)形結(jié)合的思想求得的結(jié)果，對于第一步由求出；第二步寫出；第三步由得；第四步求出實物投影儀展示學(xué)生的練習(xí)，求得 ，。教師：用規(guī)范的解題步驟要求學(xué)生，用激勵的語言贊美學(xué)生的創(chuàng)作成就，讓學(xué)生初步感受到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的探究欲，提出：將問題一般化，即：若，直線L的方程為 ，同學(xué)們：你們還能求出點到直線的距離嗎?。ㄗ髡咦ⅲ航滩恼f這一方法運算量較大，筆鋒突轉(zhuǎn)問：能否用其

7、他方法求距離？不符合學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，思路又不夠自然。應(yīng)鼓勵學(xué)生靜下心來、認真演算，探索結(jié)論。）2、學(xué)生體驗、探究，教師點撥、引導(dǎo)。學(xué)生1：首先我們來考慮特殊情況，當(dāng)直線垂直于軸或軸時，即：時，直接根據(jù)數(shù)形結(jié)合得：教師：那么對于一般情況你能求出來嗎？即，留下足夠的時間給學(xué)生思考！實物投影儀展示學(xué)生的成果，教師用贊賞的眼光點評學(xué)生2：求出經(jīng)過P與L垂直的直線，由消元解得交點Q點到直線的距離為PQ=（點題：這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的點到直線的距離公式）（作者注：平面解析幾何的思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題，我們不應(yīng)該放棄自然的思路去尋求某種所謂的簡捷方法，況且此法與教材三角形的構(gòu)造解法相比并不復(fù)雜，還

8、有利于將來學(xué)習(xí)對稱問題，用代數(shù)的方法來研究點到直線的距離，提高了學(xué)生的運算能力，培養(yǎng)了他們的意志，又讓同學(xué)們體驗發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的成就感！是對學(xué)生直接思維的肯定。）教師：點到直線的距離（板書）為了能進一步開啟學(xué)生的思路，激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生既服從理性，又能保持思維的開放性，教師可以引發(fā)認知沖突，鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的創(chuàng)新見解。也可強調(diào)性設(shè)問：什么是點到直線的距離？它有那些特點？性質(zhì)？學(xué)生3：點到直線的距離就是點P到直線上任意一點M的距離的最小值。教師：你能建立PM的目標函數(shù)嗎？留下足夠的時間給學(xué)生去構(gòu)建?。ㄗ髡咦ⅲ哼@一引導(dǎo)仍然符合解析幾何的思想“用代數(shù)的方法研究幾何問題”的指導(dǎo)思想，同時也強

9、化了函數(shù)思想。）3、師生互動、交流，教學(xué)相長。實物投影儀展示學(xué)生的成果，教師用激動的，興奮的語調(diào)點評學(xué)生4：設(shè)Q是直線上任意一點，且PQ= 將代入消元，展開配方得PQ=（作者注：通過逐層構(gòu)建，分層遞進，學(xué)生對解析幾何的思想，解析幾何問題的研究方法已經(jīng)有了進一步的深化和提升。此時可以引導(dǎo)學(xué)生解析幾何是數(shù)形完美的結(jié)合，我們來觀察圖形，看能否有新的發(fā)現(xiàn)？）教師：通過多媒體，利用幾何畫板動態(tài)演示線段QP，y設(shè)Q是直線上任意一點，啟發(fā)提問；這些動線段中有沒有很容易求得的線段？ P M學(xué)生5：平行于軸或軸的線段PN，PMQ（作者注：又一次深化了特殊與一般的關(guān)系）Nx O教師：你能借助于構(gòu)造的三角形，求出點

10、P到直線L的距離嗎？學(xué)生5：過點P分別作軸、軸的平行線，交于點M，N代入，得，所以PM=，PN=在中，=由此我們可以得到，點到直線的距離為（作者注：教師對學(xué)生的構(gòu)想，自始至終要給予鼓勵和贊美，以培育學(xué)生思維的多樣性，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。）教師：隨著我們知識的不斷豐富，我相信同學(xué)們一定還有其他途徑求出點到直線的距離，我期待著同學(xué)的研究成果！當(dāng)同學(xué)們擁有了點到直線的距離公式，再去解決開始提出的問題就簡單方便了，學(xué)生：.教師：所以科技是第一生產(chǎn)力。識記“點到直線的距離公式”很有必要（作者注：在反饋中策應(yīng)課堂引入，使一節(jié)課形成完整的認知回路。）（三）公式小結(jié)：點到直線的距離公式的特點:平面內(nèi)點P(

11、x0，y0)到直線l： Ax+By+C0的距離為：(投影學(xué)生解答并與學(xué)生共同小結(jié)) ：點到直線的距離公式的特點:直線的方程要化成一般式；分子是用點的坐標代入直線方程左邊再取絕對值;分母是直線方程中x,y系數(shù)平方和的算術(shù)平方根. （四）、課堂鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用：1鞏固性練習(xí)。 求下列點到相應(yīng)直線的距離： (1) P(0,0), l: 3x-2y+4=0 (2) P(-1,2), l: x-y=- (3) P(3,-3), l: x=y2創(chuàng)新應(yīng)用.(1)點A(a，6)到直線3x-4y=2的距離等于4，求a的值分析：應(yīng)用點到直線的距離公式,建立關(guān)于a的方程.解：(略)(2)求平行直線l1：2x-7y-6

12、=0和 l2：2x-7y+8=0間的距離.分析：平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離. 解：(略)引導(dǎo)學(xué)生在課后推導(dǎo)兩條平行直線間的距離公式及總結(jié)其特點.（3）已知點，求的面積。解：如圖，設(shè)邊上的高為， 則=·。 ，邊上的高就是點到直線的距離。邊所在直線的方程為，即 點到的距離。因此，=·。（五）、作 業(yè)：1.已知平行線2x+3y-3=0與2x+3y-9=0，求與它們等距離的平行線的方程.2.求平行于直線x-y-2=0且與它的距離為的直線方程.3已知M，點N為直線上任意一點，求MN的最小值？求的最小值？（六）、反思與小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生從知識、數(shù)學(xué)思想與方法和解決數(shù)學(xué)問題的方法、策略等方面進行總結(jié)。教師：通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，你們學(xué)到了什么？感受或體驗到了什么？掌握了那些？學(xué)生：（1）知識：點到直線的距離的存在性、唯一性、最小性，公式;（2）數(shù)學(xué)思想與方法：本節(jié)課主要滲透了特殊與一般、分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法，我們在平時的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意靈活使用它們;（3）解決數(shù)學(xué)問題或探求數(shù)學(xué)規(guī)律時，我們通常是從特殊情況出發(fā)探究出一般規(guī)律，再用一般規(guī)律解決特殊問題，有利于學(xué)生實現(xiàn)“學(xué)會”到“會學(xué)”的轉(zhuǎn)變。教學(xué)過程流程圖: 知識回顧新課引入課題解決公式運用反思小結(jié)作業(yè)，思考題 七、教學(xué)評價設(shè)計創(chuàng)建量規(guī)，向?qū)W生展示他們將被如何評