1、四川理T.學(xué)院高幣故學(xué)E州VW|講8劉長2四川理T.學(xué)院高幣故學(xué)E州VW|講8劉長2第 貝共108頁第 #貝共108頁四川理T.學(xué)院高管故學(xué)5研溫虬占講s劉長iT第I頁共108頁第一章函數(shù)與極限一、知識點1、函數(shù)的概念1.1函故的定義），=/）, xelX為口變豪，V為因變*或稱為函數(shù)值f：xy 為對應(yīng)關(guān)系日變危任定義域里血取位的時候.所仃的函數(shù)值的全體就稱為偵域。1.2分段函數(shù)（考研中用得很多）例 I: .V =:函數(shù)N是否為初等函數(shù)?1, x0例 2： f(x)= sgnx= 0. x= 0-1, x0 x2 ,3 0例3：x ,0 0,“員常數(shù)丿 y = b （g = 2.7182.，無

2、理數(shù)）（4丿.對數(shù)函 y = log, x （ a O.a 1 常數(shù)）常用對數(shù) y = logIox= Igx fl 然對數(shù) y = log, x = luxl5人三角函數(shù) y = sin x: y = cos x: y = (an x ： y = co(x: y = sec x ： y = esc x .(6人 反T角函數(shù) y = arcsine： y = arccosx： y = arctan.r : y = arccotx.y = arctail xlun arc (au x-丄1-丄1例2：me 工 圖像知li】(-)=-s 因此lime / = 0 討論Inn eK Inn ex I

3、。 v*10r-0*，-。-以結(jié)：y = aictanx, y = , y=lnx等基本初等函數(shù)的圖象要熟悉.四川理T.學(xué)院高筲故學(xué)（專研&也丿&講s劉長rr四川理T.學(xué)院高筲故學(xué)（專研&也丿&講s劉長rr第 貝共108頁第 #貝共108頁四川理T學(xué)院高幣故學(xué)(號研。斷匕講8劉長JT第3頁共108頁16飪合函數(shù)設(shè)y = fM定義域u = g(x)定義域x,值域*如果U*uU ,則y = /g(x)是定義在X上的一個復(fù)合函數(shù)。其中稱為中間變氐典型題型3)己知 f(x). g(x),求 fg(x) (ii)已知 fg(x). g(x),求/(x) 1.7初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過仃限次四則運(yùn)律和復(fù)

4、合運(yùn)聳所構(gòu)成的用-個分析表達(dá)式表示的函 數(shù)稱為初等函數(shù).例/V)、*5丿是初等函數(shù).問虬X丿= max/(Aj,g(v是否為初等函敖？考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的II初等函數(shù)用極限表示的函數(shù)y=lim/rt(x) (2) y = liiMZF-HX方法：首先求極限.用變上、下限枳分表示的函數(shù)y = _(*)=八必 其中/(，)遷續(xù)，則分= /(my= G(.v) = p其中啊,伊,(.1)可導(dǎo)，處)連續(xù),則務(wù)=也丄1W /血同SH)方法：變限積分是積分上限的函數(shù)；出現(xiàn)之后先求導(dǎo).18函數(shù)的兒種性質(zhì)(1).有界性8(1)定義：設(shè)函數(shù)y = /(X)在X內(nèi)白定義，若存在正數(shù)M,使X6 X都們/(刈則稱/在X

5、上是有界的.(U)例：f(.v)=-在(0, 1)內(nèi)無界，在(1/2. 1)內(nèi)有界X.奇偶性：(1)定義：改區(qū)間X關(guān)原疚対稱，若対都有/(x)=/(x),則稱/在X上是奇函數(shù).若對xEX,都j/(-x)=/(x)則稱/(X)在X上是佃函數(shù)。(ii)圖像對稱性：奇函數(shù)的閥象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.八-f0當(dāng)f為奇函數(shù)伽厶式：匸,奶也”心f為偶函數(shù)注意：上述公式僅對有限區(qū)間上的奇偶函數(shù)適用，對于無窮限上廣義積分的奇偶函數(shù) 不再具有此性質(zhì).（3）.單調(diào)性:（1）定義：設(shè)/（X）在X上有定義，若對任意&eX, x2 eX ,x2都有/U）/（-v2則稱在X上是單調(diào)增加的單調(diào)減少的：若對任

6、意x.eX, x2eX, xt0,則/（x）單調(diào)增加；若廣（力 0)周期為=；f(x) = sin- +cos-周期為 12力是 234正和6左的最小公倍數(shù)：/（.（） = srnm-+a】2x不是周期函數(shù)，因為2和;r沒冇最小公倍數(shù).不是所白的周期函數(shù)都有小正周期.如服）=J1當(dāng)、為仃理數(shù)o、為無理數(shù).易知所仃的有理數(shù)均為相數(shù)的周期，無易小卍周期.19極限的概念與基本性質(zhì)（1）極限的定義（1.1）hmxn = A （稱數(shù)列.q收斂 F A ）任給0存在正整數(shù)N,當(dāng)N時，就ixn-A0,存在正整X.當(dāng)xX時，就f（x）-A（1.3） Inn f（x）= A At給O,存在正數(shù)Xx-X時，就們/

7、一人|(1.4)lun/(x)= A 0,存在E 數(shù) X,當(dāng) |X 時，就 W f(x)- A0 存在正數(shù) 5. 0Lv-xJ J 時.就仃u1f(x)-A0.存在正數(shù)$.當(dāng)時，就有|/(x)- 4| Q.存在正數(shù)當(dāng)-SV.T-.% 0時.就有|/&)一人|B.則式變化一定以后，x(x)(注：當(dāng)g(x)三0, 8二0情形也 稱為極限的保，；性)定理3 (極限的W部仃界性)設(shè)hm/()= 4姻當(dāng)?shù)蹲兓欢ㄒ院螅?(x)是有界的。定理 4 設(shè) hm f(x)= A . lnnx(-v)= B則(1) lun/W+xW= + B lim/(x)-g(x)= A8lim/(x)- g(x) -ABhm

8、華=4(g。)亦)B四川理T.學(xué)院 高筲故學(xué)(男研。如lim/(x),u) = Aff(A0)110無窮小、無窮大無窮小定義：Inn/(x)=O.則稱/*(x)為無打小(注：肥窮小與x的變化過 程仃關(guān)，1UU-=O,當(dāng)J-00時丄為無宛小，而XT%或其它時，丄不是無窮小)8 xxX無窮大定義：任給M 0.當(dāng)工變化一定以后，總.則稱/V)為無窮大，訕以lini/(x)=a無窮小與無窮大的關(guān)系：在工的同一個變化過程中，若/(X)為無窮大.則頑二為無窮?。喝?(x)為無窮小，為無窮大. fMf(x)無窮小與極限的關(guān)系：lim/(x)= A /(-r)= A + a(x).其中 lima(x) = O

9、兩個無窮小的比較I無窮小與無窮小的關(guān)系)：設(shè)lnn/(.)=O, 】mig(.K)=O, H.hm*=/(5.1) / = 0,稱/(x)J6比g(x)高階的無窮小,記以&)*,稱g(x)是比/()低階的無窮小(5.2) /。0,稱/(X)與g(x)是同階無野小.(5.3) / = b 稱/(x)與 g(x)&等價無窮小,記/(x)g(x)常見的等價無窮小，當(dāng)XT0時】 sin x cm x arcsm x uctan , l-cosx；x、ln(l + x .(l + x)fl-lar.無窮小的重要性質(zhì)有界量乘無窮小仍是無窮小.1.11求極限的方法利用極限的四則運(yùn)算和峯指函數(shù)運(yùn)棄茂則，函數(shù)連

10、續(xù)的定義，去掉使得分母極限為 宰的式子(因式分解、有理化、等價無宛小的代換)兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：単調(diào)有界數(shù)列極限一定存在(1 I)?入宀4 x ( 為正整數(shù))乂, m(n為正整數(shù))，則lmirn =人存在.11厶2 m四川理T學(xué)院 高等敢學(xué)E研溫蜘也講，劉長re四川理T學(xué)院 高等敢學(xué)E研溫蜘也講，劉長re第 貝共108頁第 貝共108頁簡記為：單減有下界的數(shù)列極限存在(1.2)若xn xn (為止整數(shù))又xn M (為iE糧數(shù))，則hm.q = 4存在, 18RA0【8）利用iU積分定義求極限如果存在基本公式:甌客針亦比如果存在（9丿級數(shù)收斂的必要條件：如果級數(shù)*收斂，則LLm=O nMI1 12

11、函數(shù)連續(xù)的槪念（1）.函數(shù)在一點連續(xù)的概念定義1若hm/（x）= /（x0）.則稱/在點處連續(xù)。lnn/(x)=/(x0)=/hmx即如果函數(shù)在點處連續(xù)，則在點處可以交換極限號和函數(shù)號的順序定義2設(shè)函數(shù)y = /（x）,如果Inn /（x）= /（x0）,則稱函數(shù)/（x）在點姓左連續(xù): 如果1UB /（X）=/（XO）.則稱小數(shù)人X）在點1。處右連續(xù).如果函數(shù)y 二/（】）在點處連續(xù)，則/（x）在處既是左連絞，又是右連續(xù)。（2）.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義如果函數(shù)y=在開區(qū)間（“力）內(nèi)的抑一點都連續(xù)，則稱/）在（“力）內(nèi)連續(xù)。如果），二/（I）在升1乂間內(nèi)連續(xù)，在X間左端點右連續(xù)，在X間右端

12、點左連絞，則 稱國在閉區(qū)間濃上連續(xù).113函數(shù)的間斷點及其分類（1）.函數(shù)的間斷點的定義如果函數(shù)y = /（x）在點X。處不連續(xù)，則稱X。為/）的間斷點。（2）.函數(shù)的間斷點的分類：（2.1）第一類間斷點設(shè)是函數(shù)y = /（x）的間斷點，如果/Ct）間斷山處的左、右極限都存在.則稱。a /（x）的第一類間斷點.第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。例如4 = 0是f（x）= 的可去間斷點,是.亦）=四的跳躍間斷火XX四川理T.學(xué)院高筲故學(xué)E研溜趙)上講8劉長rr四川理T.學(xué)院高筲故學(xué)E研溜趙)上講8劉長rr第11 K共108頁第11 K共108頁四川理工學(xué)院高等B學(xué)（考研g(shù)）上講8劉長汀第1

13、0頁Jt L08頁（2.2）第二類間斷點第 項間斷點以外的II:他間斷貞統(tǒng)稱為第二類間斷點。常地的第二炎間斷點仃無窮何斷 點和振蕩間斷點.例如X=。是/（x）=l的無窮間斷點，是f（x）=sin-的振蕩間斷點.I. I1.14初等函數(shù)的連續(xù)性（1）.在區(qū)間1連續(xù)的函數(shù)的和、差、枳及商（分母不為等），在區(qū)間I仍是連續(xù)的。（2丿.由連續(xù)函數(shù)經(jīng)仃限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。（3丿.在區(qū)間I連續(xù)H單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù).在對應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)II.單調(diào)。（4丿.基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。（5丿.初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。1.15閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)何億力上連續(xù)的函數(shù)

14、f（x）. “3個基本性質(zhì)定理。定理1 （仃界定理）如果函數(shù)/（X）在閉區(qū)間,可上連續(xù)，則/必在的用I：仃界.定理2 （最大伉和最小值定理）如果函/（x）在閉區(qū)fua,b上連續(xù)，則在這個區(qū)間 上-定存在最大值材和最小值匚定理3 （介位定理）如果函數(shù)，（X）在閉區(qū)何皿同匕連續(xù)，旦其最丿、值和最小偵分別 為財和川，則対J介JF和M之間的任何實數(shù)6在口,用上至少存在-個&.使得 f）=c推論：如果函數(shù)/W在閉區(qū)間。,用上連續(xù)，且/值）與/（方）異饑 則在（劣）內(nèi)至少 存在一個點4,使徂丿（恥0這個推論也稱零點存在定理.思考圈什么情況卜能保證推論中的&是唯的？（單調(diào)【乂血）:、典型例題己引函數(shù)/（x）

15、= 例1.Y；,則 ff(x).V | 1例 2.設(shè) f(X)=-=t 求 /( /()(以重復(fù)合 VI + X-例 3.R/(1) = O.求 f(x)例4.設(shè)尸（X）= f（x）.則卜列站論正確的是（）例6.設(shè)/(, g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)且ff(x)g(x)-f(x)gx)09則當(dāng)ax f(b)g(x)(B) f(x)g(a)f(a)g(x)(C) f(x)g(x) f(b)g(b)fS)g()例7.設(shè)/(X)在0懷)上可導(dǎo)，./(0)=0,反函數(shù)為g(x),= 求/(x) 例成如求W二f小成-+ 2+ + 1 例 9：算+ 刀 +1 + + 2- + + 丿 例g螂臨+ 3扁-山

16、-兩)=例11:求卜列極限 lim 亠(而 _1) ir ln10-1.v 0.v09 b0常數(shù).15.求 UmI。2 + 16.設(shè)曲tHy = f(x)與y = sin r在原點相切，求hnuif-I ft例17.設(shè)/(x), r(x)任(-s,2)內(nèi)有定義，/()為連續(xù)，li/(.r)/O, g(x)有間斷點,則下列函數(shù)中必仃間斷點的為)(C) /訕)(A)虹/(對 (B) g(x-X =/(x)的間斷點,并判別H類型.例19：設(shè)R對在kb連續(xù)，fiaX!x2 - xB2,3,n)為任意正數(shù)，則在(a.b)內(nèi)神仰竹使 E%” 例20.設(shè)/在01.連續(xù)，11/(0)= /(1).求i正：在0

17、.11：至少存在-點為使(22正整數(shù)，三、真題回顧例1：設(shè)Ix丿是連續(xù)函數(shù)Rx)的一個原函數(shù)，、M O N”表示“M的充分必要條件是 則必白.() (2005-1-8)小， . 人 111(1 +X) 一例 2： Inn =2. (2006-1-1)。1-C0SX例 3： lliu(cos.r)l*1*0+時，與右等價的無窮小鼠是（X2007-M)6(A) l-e. (B)In (C)J1 +右-1(D)1-cosV?.1-Vx例6：極限臨2T等于i (X_a)(X+6)(2010-1-1)例7：（本題滿分9分求極限盤卜心沖一岫皿削.7sin4x(2009-2-15)例&求極限時伽、一物血呼、

18、(2008-1-15)例9：設(shè)函數(shù)/在（s,+s）內(nèi)單調(diào)仃界.丄為數(shù)列.卜列命題正確的是（2008-1-4)(A)若化收斂,WJ/(XJ)收斂（B）若化單調(diào),則/（xj）收斂（C）若）收斂，則化收斂.P）若/（xj）單調(diào)，則收斂.例10 （本題滿分12分）設(shè)數(shù)列%滿足。玉 0,a *1)y = anxy = cosxy = In x西個函數(shù)乘枳的階導(dǎo)數(shù)，萊布尼茲公式啊c：f侖，戲心），/%）= v（x）,假設(shè)此。和v（x）都是階可導(dǎo).4導(dǎo)數(shù)與徴分計算U）.導(dǎo)數(shù)與微分表(4=0d(c)= 0（?。?心1（實常數(shù)）dxa)=axaldx (a 實常數(shù))9(S111X)= QOSXdsinx = c

19、osxdx，(cos x) =-shi.idcosx = -sinxdxf(fana) = sec： x(1 (an x = sec2 xdx(CO( X)= -CSC2 Xdcot x = -csc: xdx(sec.v) = sec x tan xd src .v = see a tan xdx(cscx) = -cscxcotxdesex = -esc xcot xdx(log, x) =、一(0 0,心 1)xlnadlogax=-(a 0,心1)xlna(lnx)=Xdlnx= dxX()=a x hu/ ( 0,心 1)d(T = a1 In adx (a 0, 工 1)de =

20、edx四川理T學(xué)院高結(jié)故學(xué)E研。0&講8劉長n四川理T學(xué)院高結(jié)故學(xué)E研。0&講8劉長n第 頁共108頁第 #頁共108頁四川理工學(xué)院高幣故學(xué)（專研溫岫1佛劉KJT第 頁Jt L08頁(arc sin x)=Jmcsiii .v =dx(arccosx)=Jl-XJarccosx = -(arctanx) =?1+x*/x2 - a1 )= 2-dxy/x1 - az（2丿.導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則（1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式/(x)g(x) =/(x)g(x)/（x）g（x） = r（x）g（】）+/（x）g（x）廣(x)g(x)- /(x)g(x) /(x)Mr土 g(x)=心(x) 土立(x)

21、&J)g(、)= g(x)#(x)+/(成gG)溫I =迎錦婪皿小0）（3）反函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)y = f（x）的反函數(shù)x=g（y）,兩者皆可導(dǎo),且廣（*）尹0尸 k(y)頃H。）（廣（小。）二階導(dǎo)藪 g(y)= &) =(Iv（4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式設(shè)y如果諷在x處可導(dǎo)/()在對應(yīng)點處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y = /)在x處可導(dǎo),II有華=牛當(dāng)=廣応)偵()ax du ax對應(yīng)地/y = /(“)/ =廣偵(x)k(x)th:由公式由二/(加不管是自變鼠或中間變鼠都成立：.因此稱為一階微分形式不 變性。(5丿山參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)口法則設(shè)x =(p(t)9 y = wO)確定函數(shù)y = /x).其

22、中夕(f), “(，)存在，且/(f)己0,則、/(，) dx 伊”)(*)工0)一階導(dǎo)數(shù)具ax dx=4日=#節(jié)加(，)#(，燦節(jié))出亟 kofdt(6丿隱函數(shù)運(yùn)算法蚓設(shè)y = y(x)是由方程F(x,y)二。所確定,求y的方法兩種.K -,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法:1( 3.隱函數(shù)求導(dǎo)公式。把尸(x,y)= 0兩邊的各項對求導(dǎo)，把y看作中間變雖，用紅介函數(shù)求導(dǎo)公式計算，然后再解出y的衣達(dá)式(允許出現(xiàn)y變欣)虹.旦女 F,(7)對數(shù)求導(dǎo)法則對：犧指函數(shù)求導(dǎo)：多個函數(shù)遷乘除或開方求導(dǎo)的問題。先對所給函數(shù)式的兩 邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)法奇出導(dǎo)/.對廣幫指函數(shù)y = /(x)G,的求導(dǎo)，也可以仿照求極

23、限的處理方法，化成y =這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行.微分學(xué)中四大定理：羅爾定理,拉格朗日中中定理,柯西中分定理和大勒定理(春定公 式),是占研的熱門何題，并且多以證明題出現(xiàn).技巧性比較跖因此典型例題比較多，討 論比較詳細(xì)。5.羅爾定理設(shè)函數(shù)/(X)滿足第3頁共108頁第3頁共108頁四川理t.學(xué)院高篤故學(xué)e研。虬(1)在閉區(qū)冋,可上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(“力)內(nèi)可導(dǎo)：(3) f(a) = f(b)則存在e(a,h)，使得廣仁)=0兒何意義：條件(1)說明曲線,v = /(-V)在A(,/()和8(bJ(b)之間是連續(xù)曲線:包括點A和點8：條件(2)說明曲線y=f(x)在人,8之間的依

24、一點都仃不垂心次軸的 切絞不包拈點A和點B。條件(3)說明曲線y = f(x) 端點A和B處縱坐標(biāo)相等，結(jié)論說明曲線y= /在點人和點B之間不包括點A和點B至少仃一點，它的切線平行于工軸。注意：導(dǎo)函數(shù)的零點存在定理.與前閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點存在定理區(qū)別.6、拉格朗口中值定理設(shè)函數(shù)/(x)滿足(1)在閉區(qū)間金，可上連續(xù)：(2)在開區(qū)間(，展)內(nèi)可導(dǎo)；則存在e(a.b),使得或?qū)懗?f(b)- f(a)=a) (ab)仃時也寫成/(% + A.v)- /(.v0)= / Vo + 做O A.v (0 Q 1) 這里k可正可負(fù).兒何點義：條件的幾何說明同羅爾定理的前兩個條件.四川理T學(xué)院高筲故學(xué)E

25、研溜0t：講8劉長ST四川理T學(xué)院高筲故學(xué)E研溜0t：講8劉長ST第 #頁共108頁第 頁共108頁四川理T.學(xué)院 高幣&學(xué)(*研C 0印h劉長IT第 頁共108頁結(jié)論說 曲線y = f(x)在人，8之間不包括點A和點8,至少仃點，它的切線與 削線A8是平行的，推論1若/(X)在(。,切內(nèi)可導(dǎo)，且廣云。,則/(x)在(力)內(nèi)為常數(shù)。推論2 Ti f(x)和g(x)在(。助內(nèi)可導(dǎo)，且廣(X)三/，則在(a9b )內(nèi) f(x)=g(x)+C,其中C為一個常數(shù).(注：拉格朗丨1中值定理為羅爾定理的推廣，/()=特殊怙形，就是羅爾定理)7、柯西中值定理設(shè)函數(shù)/和g(x)滿足:(1)在閉區(qū)間，,b內(nèi)皆連

26、續(xù):(2)在開區(qū)間(。)內(nèi)皆可導(dǎo):ftgV)*O,則存在(注：柯西中伉定理為拉格朗日中偵定理的推廣，特殊情形g(x)=.r時，柯西中偵定理就是拉格朝日中值定理)兒何意義：考慮曲線舫的參數(shù)方程x=g(D7 = /(0t e a.h點A(g(C/S),點B(g(b)J(b)曲flj在曲E是連續(xù)曲級，除端點外有不垂心x軸的切絞，那么在曲線上至少仃一點，它的切絞平行割線而。值得注意：在數(shù)學(xué)理論上, 拉格朗日中值定理最成要，仃時也稱為微分學(xué)堆本定地 羅爾定理看作拉格朗H中偵定理的 預(yù)備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多, 其次是用拉格朗口中偵定理，而用柯西中(rt定

27、理也是較少。8、泰勒定理(麻勒公式)定理1 (帯皮收諾余項的階泰勒公式)設(shè)/V)在含仃的某個開區(qū)間奶內(nèi)JUi/i + 1階&數(shù).則仃公式/（.，）= /（X。）+ /Vo - %） +f ）2 * + / （xr）吳&2n!m中4同二認(rèn)XT。）” （xf）稱為皮亞諾余項. 棚當(dāng)=。）定理2 （帶拉格朗日余項的階泰勒公式）設(shè)，3）在包含的區(qū)間（。力）內(nèi)白F +1階導(dǎo)數(shù).在伍，可上仃階連絞導(dǎo)數(shù).則對 xea.b,仃公式/w=/u）, 牛（。）+ 牛（、f yr+ .+/印仔-%尸玖（X）n!其中&,3=f)m + i)（x-xor，（$在與與x之間）稱為拉格朗日余項。上面展開A稱為以為心的階泰勒公

28、式. = 0時，也稱為麥克勞林公我。如果ln】、（x）=0,那么駅勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級數(shù)，這企后而無窮級數(shù)中再i寸論“ I0（v0）則/（x）在（外奶內(nèi)單調(diào)増加（單週減少）；如W/（x）20（M0）.則f（x）/i la.b）內(nèi)單調(diào)不減（單調(diào)不増）.四川理T.學(xué)院高筲故學(xué)E研。岫1：講，劉長IT四川理T.學(xué)院高筲故學(xué)E研。岫1：講，劉長IT第 #頁共108頁第 頁共108頁四川理T.學(xué)院 高筲故學(xué)（專研拋）印h *JKiT,第23頁共10&頁單調(diào)性證明不等式的基本思路：設(shè)/（、）在R+s）內(nèi)連續(xù)，在（、+s ）內(nèi)可導(dǎo)，II/）0（0）. 乂/（。）=0,則當(dāng)xa時,恒冇/（x）0 （0）o10

29、.函數(shù)的極值.定義設(shè)函數(shù)/在（。,方）內(nèi)有定義，吒是（外切內(nèi)的某一點,則如果在點L存在-個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點x（x*x0）,總仃f（x） f（xQf（x） /（A-o）.則稱/*（%）為函數(shù)/的一個極大偵（極小的，稱為函 8（/（x）的一個極大值點I極小偵點）：函數(shù)的悵大值勺極小值統(tǒng)稱極值。極大伉點與極小偵點統(tǒng)稱極值點。（2）.必要條件（可導(dǎo)情形）設(shè)函在與處可導(dǎo)，旦.為/V）的一個極值點，則廣偵）=0。我們稱滿足廣氐）=0的為/，）的駐點可尋函數(shù)的極值點一定是駐點,反之不 然。極值點只能是駐點或不可導(dǎo)點，所以只嬰從這兩種點中進(jìn)-步去判斷。（3）第一充分條件設(shè)/（X）在處連續(xù)，在0|吋

30、5內(nèi)可導(dǎo)，廣怎）不存在，或廣（）=0。1如果在氐）內(nèi)的任一點x處，有尸（1）0而在氐, + $）內(nèi)的任一點x 處，白廣（x）vO,則,（%）為極大他 為極大優(yōu)點：2。如果在（-漢）內(nèi)的任-點x處，仃廣0,而在（,% + $）內(nèi)的任一點x 處，有r（x）0, RIJ，氐）為極小值，只為極小偵點：3如果在（%-脆0）內(nèi)與（,%+$）內(nèi)的任一點x處，fx）的符號相同，在么 /（%）不是極值，甚不是極值點。（4）.第二充分條件設(shè)函數(shù)/（x）在處仃二階導(dǎo)數(shù)月.廣化）=0,廣氐）莉.則當(dāng)廣氐）0時，fM為極大低為。大值品當(dāng)廣卜）0時，/（%）為極小伉，為極小仇點求函數(shù)/（x）在M |_的最大值和最小偵的方

31、法首先，求出/G）在（劣幻內(nèi)所有駐點和不可導(dǎo)點&, ,.” m次計食駐點及端點處的函數(shù)tfi/kV-,/k）,/（U（/）.最后，比較 處）/（以緋。），其中最大？;就是/在上的最大值M,最小者就是 f（x）在劣司上的最小值m凹凸性與拐點（1）凹凸的定義設(shè)/（X）在區(qū)間/ I:連續(xù)，於對任意不同的兩點心七，恒仃如卜）+ f（X1）（/扣3）+ /（為）,則稱/（X）在/上是凸（凹）的。在兒何上，曲線y = /（A）任意西點的割線在曲線卜（上）血，則J = /（.r）是凸（凹） 的。如果曲線y = f（x）H切線的話，每一痂的切線都在曲線之上（卜）則y二八X）是凸（凹） 的。（2）拐點的定義曲線

32、上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。（3）.凹凸性的判別和拐點的求法設(shè)函數(shù)/（】）在（外厶）內(nèi)11/J二階導(dǎo)尸如果在（，）內(nèi)的每一點X,恒ff/*（x）0,則仙線y = f（x）在（0）內(nèi)是凹的；如果在（劣方）內(nèi)的每一點恒有廠（x）0.則曲線y = f（x）在（力）內(nèi)是凸的。 求曲線y = f（x）的拐點的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)/（）：第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等零或一.階導(dǎo)數(shù)不/在的點、號m三步:對于以上的連續(xù)點.檢驗第點兩邊階導(dǎo)數(shù)的符匕，如果符匕不同，該點就是 扔點的橫坐標(biāo)：第四步：求出拐點的縱坐標(biāo)。漸近絞的求法U丿.垂H漸近線四川理T/7R高筲敢學(xué)（專研溫0匕講8劉長汀四川理T/7R

33、高筲敢學(xué)（專研溫0匕講8劉長汀弟26頁共108頁弟26頁共108頁四川理T學(xué)院高管故學(xué)E研g(shù)I佛劉長rr第 頁共108頁若hi】 /(.r)= co或hni f(x)= s ,則=a為前線y = /(I)的一條地仃.漸近線. IiT.水平漸近線若lun，(i) = b,或血”(i)=b,則y = b是曲線y = /(x)W一條水平漸近線。 14A-.斜漸近線若 limZk) = fl0 ， hmf(x)-ax=b 或 ilinZk)=flo1-400 刀1-Y XInn f(x)- a. = b,則y = ax+h是曲線y = /(x)的一條斜漸近線。函藪作圖的一般步驟求IK y = f(x)

34、的定義域，判定函數(shù)的奇偶性和周期性。求出尸(x),令/V)=0求出註點，確定導(dǎo)數(shù)不存在的點，可根據(jù)廣的符弓 找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。求出尸(x),確定廣的全部零點及廣不存在的點，再根據(jù)廠的符另找 岀曲線的凹凸區(qū)間及拐點。求出曲線的漸近線。將上述“單調(diào)性、極值點、凹凸性、拐點”等特性綜合列表，必要時可用補(bǔ)充曲 線卜.某些特殊點(如與坐標(biāo)軸的交點),依據(jù)表中性態(tài)作出函數(shù)y = f(x)的圖形。曲率部見，則稱R =為設(shè)曲線V = /(./.t = /（OK求證；存在（0）使7川）=0例 7.設(shè)/（X）. g（x）在（“力）內(nèi)可導(dǎo).且7（x）g（x）w/（x）g（x）,求ill: /（X）在（以）內(nèi)

35、任意兩個零點之間至少有一個g（H的零點。例 8. S/（x）40,3上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo),L/（O）+/（l）+/（2）=3. /（3）=1. 試證，必存在e（03）.使r（g）=O例9.設(shè)/（.（）在0上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，對任&kl.有/=kxel-f（xLx .求證存在4e（0,l）使尸佔）=（1 一廣）/（4）模型L設(shè)/（X）在展上連續(xù)，（,b）內(nèi)訂導(dǎo)，f（a）=f（b）= 0則卜列各結(jié)論皆成存在使/佔）+膺）= （/為實常數(shù)）存在4泮（以）使廣（畐）+尊。（名）=0尊為非零常數(shù)）存在為W（財使/傷）+g（員）/（鳥）=0（亦）為連續(xù)函數(shù)）例 10.設(shè)f（x）在0,1上連續(xù)，

36、ft（0.1）內(nèi)可導(dǎo)，/（0）=/（1）=0, /（!）=】，試證：四川理T學(xué)院高筲C(學(xué)E研拋)匕講8劉長rr四川理T學(xué)院高筲C(學(xué)E研拋)匕講8劉長rr第28頁共10S頁第28頁共10S頁四川理T學(xué)院高筲敢學(xué)（專研拋）匕講8劉長n第 頁共108頁（1）存在頃，使（2）對任意實數(shù)上存在言使得廣估）-4/佔）-言=1例1R設(shè)f（x）是周期為1的連續(xù)函數(shù).在（0J）內(nèi)可導(dǎo)，且/（1） = 0,又設(shè)M 0是/（X）在1,2上的最大值.證明：存在（L2）,使得”（司22材。例12.設(shè)/（、）在【上連續(xù),（）內(nèi)訂導(dǎo).且/（）=,處）=1,證明:存在六（）.使得及）=1 了）存在（0,1）, “，使廣（

37、辦化）=1例13.設(shè)函數(shù)/（X）在閉區(qū)間伍，可上連續(xù)，在開區(qū)M（fl.fr）內(nèi)訶導(dǎo),且地）0,若極限 hin /）存在，證明：X- a(1)在(口力)內(nèi)/(x)0；10（2）在（“）內(nèi)存在本,使b2-a2 _ 24s協(xié)一而例14.設(shè)/（X）在一1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，11/（-1）=0. /=1,廣（0）=0求證：36（-1J） 使尸（4）=3.例15.設(shè)函數(shù)/（X）在（-吃俱）內(nèi)連續(xù)，其字函數(shù)的圖形如圖所示，則/（x） （）（A）個極小值點和兩個極大值點（B）兩個極小伉點和-個極大值點（C）兩個極小偵點和兩個極大偵點（D）三個極小值點和一個極大值點例16.設(shè)/(X)的導(dǎo)數(shù)在x = o處連續(xù)，乂

38、 hm火)=-,則(i X (A)B)是/的極大值疚(C)(/( (x)由方程y=l-.w*確定，則知*設(shè)汗=疽 例3. (2010-1-9) (200625丿(D)v = u不是極值點，(JS)也不是曲線 =/(x)的拐痂 例 17.設(shè)e a b -(h-a) 三、真題回顧例1：設(shè)函數(shù)犬為在X-0處連續(xù)，卜列命跡It収的&(A)若15】您存在，F(xiàn) X(C)-I? inn 2 存在，10 X.(20084-10)例5曲線sin(xy) + ln(y-x) = X在點(0,1)的切線方程為 例6設(shè)y=y(x)是由方程XV +時=工+1確定的隱函數(shù).則g|z =(2009-2.12)dx_例7(本

39、題滿分10分)設(shè)/(.。是連續(xù)函數(shù)，利用定義證明函數(shù)F(x)=J：JV)dE導(dǎo),且F(x)=/(x)：f(x)是以2為周期的周期函數(shù)時，證明KG(x) =- xj也是以2為周期的周期函數(shù).(2008-1-18)例S (本題滿分11分)(2009-1-18)(1 )證明拉格朗丨1中fft定理：若函數(shù)/(X)在：何,可I：連續(xù)，在伽劣)可導(dǎo)，則存在興即),使得r(6)-/j)=尸(功。-)四川理T.學(xué)院高M(jìn)B學(xué)E研溫為匕講s劉長it四川理T.學(xué)院高M(jìn)B學(xué)E研溫為匕講s劉長it第 頁共108頁第 #頁共108頁(II)證明：脖函數(shù)/(X)在x = 0處連續(xù)，在(0,舟($0 )內(nèi)可導(dǎo).11 Um /

40、r()= A,i-0*則工(0)存在，nq(0)二/u例91本題滴分11分X2008-2-20)U)證明枳分中值定理：若函數(shù)/(、)在閉區(qū)冋“，饑上連續(xù)，則至少存在-點r/ea,b,使餉 J：f(x)d.=fS)(b3)；(2)?；：函故0(x)IL仃二階導(dǎo)數(shù)，H滿足02)S1), j(p(x)dx，則至少存在一點，6(1.3),使得/(S) =(X-5)X3的拐點坐標(biāo)為 .(2008-2-12)例13狀尸()不變號,11曲線y = /(x)在點(1,1)上的曲率圖為x2 + y2 = 2,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)()(2009-2-5)(A)仃極值點，無亨點(B)無極值點，有零點(C

41、)有極值點,有點點(。)無極值點，無零點第三章一元函數(shù)積分學(xué)一、知識點1 .原函數(shù)與不定積分的概念設(shè)函&/(A)和尸在區(qū)間/上有定義，若Fr(.v)= f(x)在區(qū)間/上成立。則稱F為 /()在區(qū)間/的原函數(shù)，/(】)在區(qū)間/中的全體原函數(shù)成為/在區(qū)冋/的不定積分， 記為原函數(shù)：j/(xk/-v=F(.r)+CJE叮 稱為枳分弓.x稱為枳分變成/(x)稱為被枳分函數(shù).f(xlx稱為被積表達(dá)式.2.不定積分的性質(zhì)四川理T.學(xué)院高等敢學(xué)5妍9虬上講，劉KiT四川理T.學(xué)院高等敢學(xué)5妍9虬上講，劉KiT第 K 共 108 K第 K 共 108 K第 頁共108頁四川理T學(xué)院高筲故學(xué)E研。的設(shè)j/（x

42、燦= F（x）+C,其中八r）為/（X）的 個臨函數(shù)，C為任意常數(shù)。則（1）j F(.r)dt = F(x)+ C 或 JjF(.v)= F)+ C 或 J dF(x) + C= F(x) + C(2)/（曲=?。┗虿沸”?3)jkf(x)dx = kjf(x)dx(4)J/(-t) 川)弘=j/(A/.v J小払 3J京函數(shù)的存在性設(shè)/（）在區(qū)間/上連續(xù).則/（X）在區(qū)間/上臨函數(shù)一定存在，但初等函數(shù)的原函敦不一定 是初等睛數(shù). MftliJsin（x2）dx, Jcos（x2）rfx. J重&r, j竺如 J, jedxx.i In x等.被枳函數(shù)仃塩函數(shù)，但.不能用初等倆數(shù)表示,故這共不

43、定枳分均稱為積不出來。4基本積分公式1.xaJx = + Ca+10工-1,實常數(shù)）2. Jdx =+ CI0.(? * 11么=e + C4.J COS AtZv = Sill .V + Csin xdx = - cos r + C6.sec2 xdx = ；dx = tanx + CJ cos。x7.esc2 xdx = I； r = -co(x+ CJ siir xS.tan x sec xdx = sec x + C9.col xcsc xdx=-esc x + C10. j tau xdx = - lu|cos.v| + C11. I cot xdx = hi|siu .r| + C

44、12. jsec xdx = ln|sec x + (an x + C13. Jcsc xdx = ln|csc x-cot.v|+ C14.es2+C(0)丄丄q+ca a（）J 0)C (a0)”催5.第-換元枳分法（襁微分法）設(shè)j/（mW= F（tt）+C,又可導(dǎo),則j=j n如岫阡 料 處地= F（m）+C = F（.v）+C這里要求讀若對常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟練地準(zhǔn)出微分. 常用的幾種湊微分形式：（1）(2)(3)(4)(7)(S)(9)(10)(11)(12)(14)j/(av+ b)dx= ij f (ax + b)d(ax+b) (a W 0)J f(axn

45、 + hxdx = J/(at + bl(ax + b) (a 工 0, 工 0) j/(lnx)y = J/(lnxW(lnx)(5)卩(心垮=2卩(廊必)(6)f f x k * = & J fa x H) (n o,心 1)卩&*%如)J/(sin v)cosxdx = /(sin x)c/(siii v)/(cosA-)sin vrfv = -J /(cos v)J(cosx)I*/(tanx)sec2 xd.x = | /(an.v)c/(tan.r)J /(cotx)csc2 xdx= -/(cotxV(cotx)/(sec v)sec xtanxdx = |/(sec.r)rf(

46、secx)J /(esc x)csc xcot xdx = -1 /(esc xd(csc x)(13)j 當(dāng)，。么=j j (arcsiu a )d (aicsin x)/(arccosx)_ f /(arccosx)四川理T.學(xué)院高筲敢學(xué)E研溫斷上講8劉長rr四川理T.學(xué)院高筲敢學(xué)E研溫斷上講8劉長rr第 頁共108頁第 頁共108頁四川理T.學(xué)院高幣故學(xué)E研。如匕講8劉長rr第 頁共10&頁j寫羿火”海CE小阮前X） /(t7rccot.) = - j/(s cot x0(“/rcot x)1+r J(IS) (20)J侖火=叩（屮C(/(迎 0) (”o)=卩缽+7?7*詠+ VF7P

47、-) （19） j/M三寫刃么=卩卩宀后/機(jī)114+后萬）（0） 厶-廣6.第二換元積分法 設(shè).=*）可*冃0（。工0,若湖豚（M=G（n+c, 則j亦虹令”沖）J /物版（沖=G（小c = g|（x）+ C其中，=0-（*）為x = 0（r）的反函數(shù).第二換元積分法絶大多數(shù)用根式的被枳函數(shù)，通過換元把根式去掉，箕常見的變質(zhì)替 換分為兩大類： 第一類：被枳函數(shù)是與ST血或x與J也或由構(gòu)成的代數(shù)式的根式.例如Vcx+ d 等。只要:令根式寸而j”，解出工=戒，）已經(jīng)小仰仃根式.那么就作這種變量枠換0時先化為 鳳二訐可，4O)=Jr= = -j7ti =1+X方法二令V.r+1=/.再作例代換.m

48、w ： fl；t侃專據(jù)沈以3位野熨右丄Mllfhd第 頁共108頁第X頁共108頁四川理T.學(xué)院 高管故學(xué)E蜥。虬7 .分部枳分法設(shè)w(). v(x)均仃連續(xù)的導(dǎo)數(shù).則C心加=*(小(同- f心加(.1)或J心)3心=Jw( vHx)J.v使用分部枳分法時關(guān)鍵是如何選取卩(k),將其湊到微分符匕后.(1)叵通、岸、巨頊五種基本初等函數(shù)的其中兩種函數(shù)之枳做被積函數(shù)時.如果 無法用內(nèi)接法、換兀法計算.按照排列順序雑后的優(yōu)先號慮選擇作為u(x).(2) 4。*口，Pn(x)smaxt /；(x)cosar情形，乙(x)為次多項式，為常數(shù), 要:進(jìn)行次分部枳分法，仰次均取K, sinav, cosax

49、XjvV)：多項式部分為“G)(3)以加x, R，)arcsinx, (x)arctanx情形，已為次多項式取已為(4),而lax , arcsinx. aictan x .用分部枳分法一次，被枳函數(shù)的形式發(fā)生變ft.再考慮其它方法。廣sink, ealcoshx情形，進(jìn)行二次分部枳分法后要移項，合并。比較復(fù)雜的被稅函數(shù)使用分部枳分法，要用湊微分法，使盡多的因*和dx,成定枳分的概念與性質(zhì)(1).定枳分的定義/J)在R可上的定枳分為f/(.*炒=1刖(如果極限存在)M中&為.J,.訂上任一點：,力任意劃分為個小區(qū)何a = xt xz x. xn = bi如果/(x)在R司上仃定積分，則稱/()

50、在a.bk可積。Mk的連續(xù)函數(shù)或只仃有限個第一類間斷點的函敢都是可積函數(shù)。(2丿定枳分的兒何意義設(shè)函數(shù)f(.x)A b I:連續(xù),定枳分Z(.rV-v在兒何上表示曲線,二/和H線x=a.x = b以及工軸圍成各部分面枳的代敷和,在x軸上方的面枳取正號,在工軸卜方的収負(fù)號。（3）.定枳分的性質(zhì)（3 1）四川理T學(xué)院高管故學(xué)（專研澀也）口(獨=-(心(3.2) /(x)rfx =(3.3)，厲/； (x)+心人出=4 f九(x協(xié)+處f厶(協(xié)f(x)dx = /(.rJit + /(a(c也可以在血可之外) (3 5) &a h. f(x)g(x)(a xb),則/(x)t/x Jg(x)tZt(3

51、 6)設(shè)7 b.mq xh), WiJm(h-u) f(x)dx M(b-a)(3 7)設(shè)atp(x)nj麻 吠小小 J-；3W”=F4x)”JIHii 事M：l 卩口(=),，1。)雙也、“ 4冷福，側(cè)4諧二 口 沖例渺/J = g)/J府q = (W，=(z?沖(?):海某丁 W加)列設(shè)(J) (T)矛塾(渺=r娜另岀 W %罪q(x)/浪對4況X派団&謎M TT()-(q)=；=M*)/J四川理T學(xué)院高筲故學(xué)E研。 它的仇，那么計# inn Q f(x)dx是可以的0(1.2)常用公式g 土財收斂xPG發(fā)散,2).無界函數(shù)的廣義枳分(瑕枳分)(2 1)定義設(shè)/在)內(nèi)連續(xù),且lin】/(x

52、)=s,則稱、為/(x)的瑕點.1卜-定義(頑蜩r/G込若極限存在，則稱廣義積分收致，F(xiàn)L它的偵就是極限偵；，極限不存在，則 稱廣義枳分/(xWv發(fā)散，發(fā)散的廣義積分沒仃依的概念。設(shè)/()在(。,司內(nèi)連續(xù),lUnn /(x)=od.則稱a為/(x)的瑕點。x-fa*定義”(】所=出如(心若極限存在，則稱廣義積分收斂，H它的偵就是極限偵。苕極阻不存在，則稱廣義枳分發(fā)散，它沒任仙。設(shè)/在0,c)和(c,可皆連續(xù)，且hmf(x)=s,則稱c*/(x)的瑕點定義/()d：v = /(.r)t/j + f fx)dx = f)dx + f(x)dx(值得注意：這里判別收斂性時，弓和上要獨立地取極限，不能

53、都用-0+來代替)若上面兩個極限都存:在時才稱廣義枳分7(工)么是收斂的，否則廣義積分f f(xix常用公式：修闆鄂類似地啊烏和借四川理T學(xué)院 高管敢學(xué)E研溫玲占講8劉長U四川理T學(xué)院 高管敢學(xué)E研溫玲占講8劉長U第 #頁共108頁第 頁共108頁廣義積分是變限枳分的極限.因此宙定枳分的運(yùn)算法則和極限的運(yùn)算法則就可以得到廣 義積分運(yùn)算法則。14、平面圖形的而枳.直角坐標(biāo)系I與二而積分的積分區(qū)域X型.Y型對比理解丿模型I禹=方(X ) -凡(X )JX , 其中 y2(x)y,(x), xeM模型R心脅,其中-(y)(y), yec,d注：復(fù)雜圖形分割為若為個小圖形，使其中每 個符合模型I或模型

54、II加以計算,然后再和 加.模型 I S, =4尸(882 M模型U心。)-丄加(2)極坐標(biāo)系.參數(shù)形岀的曲線所囤成的血枳四川理T學(xué)院 高川EC學(xué)(考研專題丿匕講，劉長JT四川理T學(xué)院 高川EC學(xué)(考研專題丿匕講，劉長JT第 頁共108頁第 #頁共108頁設(shè)曲線*數(shù)方程;*)婦“)如E，仆仞二b, *)在。/(或0。) I:仃連續(xù)導(dǎo)數(shù)，tl 0(r)不變弓,心，)20旦連續(xù).則曲邊梯形而枳(曲線cti線工=，1 =力和工軸所用成)5 = ydx =沖加(協(xié)f面曲線的弧長(數(shù)學(xué)-和數(shù)學(xué)二)(1).直角坐標(biāo)系設(shè)光滑曲線y=y(x). (axb)也即)仃連續(xù)的導(dǎo)數(shù)弧長S = Jl + Lv(gx而d

55、s =/1 + .何么也稱為弧微分(2).極坐標(biāo)系設(shè)光滑曲線r = re). (aOp)r(O(wa.p I.ji4續(xù)導(dǎo)數(shù)弧辭=+/(幻財。(3).參數(shù)方程所表曲線的弧長設(shè)光滑曲線在上冇連續(xù)的導(dǎo)數(shù)曲絞C的弧長S = 面)+)仰市特殊的空間圖形的體積U)繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體枳11 1)平面圖形由曲線y = /(x)(2 0)與宜:線x = , x = h和x軸圍成繞x軸旋轉(zhuǎn)-周的體 枳第28頁共10S頁第28頁共10S頁四川理T.學(xué)院高幣ft學(xué)(號研，0-a b繞x軸旋轉(zhuǎn)J周的體枳 v = y2(x)dx繞y軸旋轉(zhuǎn)-周的體枳 * = 2刀，頊、協(xié)(1.2)平面圖形由曲線x = g(y)(20

56、)與直線y = c , y = d和y軸用成繞y拙旋轉(zhuǎn)一周的體繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積K = Rj，(y”y繞】軸旋轉(zhuǎn)一周的體積K = 2 芥，yg(yly繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積(敷 和數(shù)二)設(shè)平面平線。=爲(wèi)位.X軸上方.它繞.1軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲血的面枳為S (1).設(shè) AB 的方程為 y = y(.r) (a x b四川理工學(xué)院高收學(xué)E研澀&上講8 AiJKtT四川理工學(xué)院高收學(xué)E研澀&上講8 AiJKtT第42頁共L08頁第42頁共L08頁四川理T.學(xué)院高箸敢學(xué)（印研溜切上講8劉長汀第41頁共108頁則 s=2就.設(shè)席的極坐標(biāo)方程為r=r(). (aOp則 S = 2 r()sjn+/(

57、。)腿8.設(shè)扁的參數(shù)方程為x = xO), y = y(r), (atp)則 s=2寸 y(r Mm)r+Lw)m18 if H-中經(jīng)常用到的結(jié)論rr(1) 2 /(,sinx)e/,r= 2 fcosx)d.x二、典型例題例1.求卜列不定枳分(1)J(xlnx)2(lii.v+iy.r例2.求卜列不定枳分r 氣 _ j 11J(F +/? +歩)bz-a1x2bzf sin x cos x , J MX*例北求j ai csm.v 例4 .r arctan .vA*X- VI-x2.,、dx例 5 f X (1 + X2)丁+。爲(wèi) 例 6 l-elxfJdx 例7 J Vex+1例 S.求

58、J (arcsin x)2 dx 例9.U)阪為任礎(chǔ)數(shù)岫 E上忐7辦頊可忐？辦弓/=p(tanAf*-i)* l + (tan.f/ = pn(l+tanx*xJln(9 - x)f_, /_ G2 Jln(9_v) +Jln(x+ 3)例10、計算廣義枳分/ = f , u d.K(1 +廣)Mil.設(shè)/(、)為連續(xù)函數(shù)，II満足2 xf(t)dt + 2tf(2t)rf/ = 2x5(x-1),求/(*)在0,2I.的最大01的最小低M 12.設(shè)/(.v)，x(v)/!.t I.連續(xù)，證明(柯西不等式)四川理T學(xué)院高筲故學(xué)E州&剛匕講8劉長JT四川理T學(xué)院高筲故學(xué)E州&剛匕講8劉長JT第4

59、4頁共10S頁第44頁共10S頁四川理t學(xué)院高常故學(xué)e州y匕講s劉長rr第 頁共108頁r地)*汕w廣虹妒么例 3 設(shè)/在M k連續(xù)，uMj|7(xMt (b-J 0例 5 已知=1,則 k = (2009-2-10) 例6 (本題滿分9分)計算丁皿財(2008-2-17)例7 (本題満分10分)(2007-2-17)設(shè)人為是區(qū)間0,上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，H滿足4M矽八 I cK cos/ - suif .I f l(t)dt= I-h，JoJ。sinf + cosf的反函數(shù)，求人。例$ (本題滿分11分)(2007-2-18)X設(shè)D是位曲線y = 4a(ak0 x/y = 0嗨3C (Af&)

60、*O，M(y)HO)23變砒町分離方程的推廣形式（1）齊次方朽！令二=h ,x則華=” +工華=/()dx dx(2) = f(ax+hv-ca * O.b0) ax則牛=a + bf(u)axdu曳頊時+5勺dx a2x + b2y + c2當(dāng)=:壬0情形，先求出b.JW + ZV + q =0a2x + /?2y + c2 =0的解（Q,P）則空頊*Ldu 3/ + hzvu.V a. M,一丿W齊次方程情形當(dāng)=b =情形厶則vKy+c】 + 4)+。2令m = ax + by .lt. du. dv . i 以+G ）蚓不F玷不她變屆叮分離方程情形。3. 一階線性方程及JI:推廣31 -