1、7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)練題組一復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算 1.若復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=3-i,則z1z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i2.(2020山東滕州一中高一檢測)已知復(fù)數(shù)z=1ii(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A.1B.-1C.iD.-i3.已知a+2ii=b+i(a,bR),其中i為虛數(shù)單位,則a+b等于()A.-1B.1C.2D.34.若z是復(fù)數(shù),且(3+z)i=1(i為虛數(shù)單位),則z為()A.-3+iB.3+iC.-3-iD.3-i5.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i2i的模等于()A.5B.3C.33D.556.(2020湖北名師聯(lián)盟高二期末)已知

2、i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)a+2i2i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為()A.1B.-1C.12D.27.(2020河北辛集中學(xué)高二月考)已知(a+i)(1+bi)=1+3i,其中a,b均為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,則|a+bi|=()A.5B.25C.5D.28.(2020天津高一期末)已知i是虛數(shù)單位,z1=3i1i.若復(fù)數(shù)z2的虛部為2,且z1z2的虛部為0,求z2.深度解析題組二復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的問題9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,cR)的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根為()A.3+iB.1-3iC.3-iD.-1+3i10.(2019上海曹楊二中高二期末)若1+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元

3、二次方程x2+bx+c=0的一個(gè)根,則()A.b=2,c=5B.b=-2,c=5C.b=-2,c=-5D.b=2,c=-111.(多選)(2019上海交大附中高二期末)下列關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,cR,a0)的說法正確的是()A.兩根x1,x2滿足x1+x2=-ba,x1x2=caB.兩根x1,x2滿足|x1-x2|=(x1-x2)2C.若判別式=b2-4ac0,則該方程有兩個(gè)相異的根D.若判別式=b2-4ac=0,則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程.(1)x2+5=0;(2)3x2+2x+1=0;(3)x2+4x+6=0.13.(2020江蘇南京

4、秦淮中學(xué)高二期末)已知復(fù)數(shù)z1=3a+2+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(aR,i是虛數(shù)單位).(1)若復(fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2-6x+m=0的根,求實(shí)數(shù)m的值. 能力提升練題組一復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用 1.(2020東北三省三校高三聯(lián)考,)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-ii=z-2i(i為虛數(shù)單位),則z=()A.12-32iB.12+32iC.-12-32iD.-12+32i2.()復(fù)數(shù)z=1i1+i,則=z2+z4+z6+z8+z10的值為()A.1B.-1C.iD.-i3.(多選)()對任意z1,z2,zC,下列

5、結(jié)論成立的是()A.當(dāng)m,nN*時(shí),有zmzn=zm+nB.z1z2=z1z2C.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等,且|z|2=|z|2=zzD.z1=z2的充要條件是|z1|=|z2|4.()若一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),則稱此復(fù)數(shù)為“理想復(fù)數(shù)”.已知z=a12i+bi(a,bR)為“理想復(fù)數(shù)”,則()A.a-5b=0B.3a-5b=0C.a+5b=0D.3a+5b=05.(2020天津一中高二期末,)已知復(fù)數(shù)z=a-i2+i(i為虛數(shù)單位,a為實(shí)數(shù))為純虛數(shù),則|a+2i|=.6.()設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是z,若z+z=4,zz=8,則zz等于.7.(2020北京大興高一期末,)已知復(fù)數(shù)z=(

6、m2-m)+(m+3)i(mR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z.(1)若m=2,求zz;(2)若點(diǎn)Z在直線y=x上,求m的值.8.(2020北京通州高一期末,)已知復(fù)數(shù)z=1-i(i是虛數(shù)單位).(1)求z2-z;(2)如圖,復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,求z1+z2z.題組二復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題9.(2019河南南陽高三期中,)已知1+i是關(guān)于x的方程ax2+bx+2=0(a,bR)的一個(gè)根,則a+b=()A.-1B.1C.-3D.310.(2019上海吳淞中學(xué)高二期中,)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:-12x2+x-3=.11.()關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程|z|+2z=13+6i的解是.12.()已

7、知關(guān)于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有實(shí)數(shù)根b.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=1,求z為何值時(shí),|z|有最小值,并求出|z|的最小值.深度解析答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.Az1=1+i,z2=3-i,所以z1z2=(1+i)(3-i)=3-i2+2i=4+2i.2.Bz=1ii=i+1-1=-1-i,復(fù)數(shù)z的虛部是-1.3.Ba+2ii=b+i,a+2i=-1+bi,a=-1,b=2.a+b=1.4.C由(3+z)i=1,得3+z=1i=-i,所以z=-3-i.5.D因?yàn)閕2i=i(2+i)(2-i)(2+i)=i(2+i)5=-15+25i,所以i2i

8、=-15+25i=-152+252=55,故選D.6.Aa+2i2i=(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a-2+(a+4)i5=2a-25+a+45i為純虛數(shù),2a-25=0,a+450,解得a=1.7.A因?yàn)?a+i)(1+bi)=1+3i,所以(a-b)+(1+ab)i=1+3i,即a-b=1,1+ab=3,解得a=1,b=2或a=2,b=1.當(dāng)a=-1,b=-2時(shí),|a+bi|=|-1-2i|=(-1)2+(2)2=5;當(dāng)a=2,b=1時(shí),|a+bi|=|2+i|=22+12=5.綜上,|a+bi|=5.故選A.8.解析z1=3i1i=(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)

9、=4+2i2=2+i,設(shè)z2=a+2i(aR),則z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i,因?yàn)閦1z2的虛部為0,所以a+4=0,即a=-4.所以z2=-4+2i.方法技巧復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法類似,但要注意i2=-1,復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算中,除數(shù)為虛數(shù)時(shí),應(yīng)利用分母實(shí)數(shù)化,將除法轉(zhuǎn)化為乘法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.9.B根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式,知兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù),所以另一個(gè)根為1-3i.10.B由題意可知,關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根分別為1+2i和1-2i,由根與系數(shù)的關(guān)系,得(1+2i)+(1-2i)=-b,(1+2i)(1-2

10、i)=c,解得b=2,c=5.故選B.11.ACD由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=-ba,x1x2=ca,當(dāng)x1,x2是復(fù)數(shù)時(shí),此關(guān)系式仍然成立,故A正確;當(dāng)x1,x2為虛根時(shí),|x1-x2|(x1-x2)2,故B錯(cuò)誤;當(dāng)判別式=b2-4ac0時(shí),該方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,當(dāng)判別式=b2-4ac0時(shí),該方程有兩個(gè)虛數(shù)根,且它們互為共軛復(fù)數(shù),故C正確;若判別式=b2-4ac=0,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,D正確.12.解析(1)因?yàn)閤2+5=0,所以x2=-5,又因?yàn)?5i)2=(-5i)2=-5,所以x=5i,所以方程x2+5=0的根為x=5i.(2)因?yàn)?4-431=-80,所

11、以方程3x2+2x+1=0的根為x=-28i23=-1323i.(3)解法一:由x2+4x+6=0,知=42-416=-80,a2-3a-40,所以-2a12,a4,解得-2a-1.所以a的取值范圍是a|-2a-1.(2)因?yàn)樘摂?shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2-6x+m=0的根,所以z1+z1=6a+2=6,即a=-1, 所以z1=3-2i,z1=3+2i, 所以m=z1z1=13.能力提升練1.Bz=2+i1i=(2+i)(1+i)2=1+3i2=12+32i.2.Bz=1i1+i=-i(1+i)1+i=-i,z2=(-i)2=-1,所以=-1+1-1+1-1=-1.3.ABC由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算

12、律知A正確;設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則z1=a-bi,z2=c-di,所以z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,z1z2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z1z2=(ac-bd)-(ad+bc)i=z1z2,故B正確;由復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的概念知C正確;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但由|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此|z1|=|z2|是z1=z2的必要不充分條件,D錯(cuò)誤.4.Dz=a12i+bi=a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+bi=a5+2a5+bi.由題意知,a5=-2a

13、5-b,則3a+5b=0.5.答案172解析因?yàn)閦=a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-1-(a+2)i5為純虛數(shù),所以a=12,所以|a+2i|=12+2i=172,故答案為172.6.答案i解析設(shè)z=a+bi(a,bR),則z=a-bi,由z+z=4,zz=8,得2a=4,a2+b2=8,a=2,b=2.z=2+2i,z=2-2i或z=2-2i,z=2+2i,zz=22i2+2i=-i或zz=2+2i22i=i,即zz=i.7.解析(1)因?yàn)閙=2,所以z=2+5i,z=2-5i,所以zz=(2+5i)(2-5i)=29.(2)復(fù)數(shù)z=(m2-m)+(m+3)i(

14、mR).在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(m2-m,m+3).因?yàn)辄c(diǎn)Z在直線y=x上,所以m2-m=m+3,所以m=-1或m=3.8.解析(1)z=1-i,z2-z=(1-i)2-(1-i)=1-2i+i2-1+i=-1-i.(2)由題圖得,z1=2i,z2=2+i,z1+z2z=2i+2+i1i=2+3i1i=(2+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-12+52i.9.A當(dāng)a=0時(shí),解得bR,不符合題意,所以原方程為一元二次方程.因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程的虛根互為共軛復(fù)數(shù),所以方程的另一個(gè)根為1-i,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得(1+i)+(1-i)=-ba,(1+i)(1-i)=2a,解得a=1,b=

15、2.所以a+b=-1.10.答案-12(x-1+5i)(x-1-5i)解析將-12x2+x-3=0化簡并整理,得x2-2x+6=0,=(-2)2-416=-200,則x=220i2=15i,所以-12x2+x-3=-12(x-1+5i)(x-1-5i).11.答案z=4+3i解析設(shè)z=x+yi(x,yR),則有x2+y2+2x+2yi=13+6i,于是x2+y2+2x=13,2y=6,解得x=4,y=3或x=403,y=3.因?yàn)?3-2x=x2+y20,所以x132,故x=403舍去,故z=4+3i.12.解析(1)因?yàn)閎是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的實(shí)數(shù)根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故b2-6b+9=0,a=b,解得a=b=3.(2)由(1)得,b=3,所以|z-b|=1即為|z-3|=1,設(shè)z=m+ni(m,nR),則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(m,n),|z-3|