1、考慮重力二階效應(yīng)的框架動力響應(yīng)摘要：P-A效應(yīng)是引起結(jié)構(gòu)在地震作用下倒塌的主要原因之一。以鋼框架結(jié)構(gòu)為研究對象，采用靜力凝聚 法將框架簡化為桿系-層間剪切模型，基于框架動力響應(yīng)時程分析計算的時間步內(nèi)一階位移增量，根據(jù) DAlembert原理導(dǎo)出豎向力附加彎矩相應(yīng)產(chǎn)生的加速度激勵增量，由此建立迭代計算格式考慮P- 效應(yīng) 對框架位移、速度和加速度的影響，并分析了結(jié)構(gòu)在考慮P5效應(yīng)時的地震響應(yīng)特征。最后通過算例檢驗(yàn) 文中方法的可行性，并考察P-效應(yīng)對框架地震響應(yīng)全過程的影響。關(guān)鍵詞：靜力凝聚法；時程分析；P-效應(yīng)；附加動力增量；迭代計算Research on collapse of structur

2、e under earthquakes withconsideration of Second-order effect of gravityAbstract： P-A effect is one of the crucial reasons causing the collapse of the structure under earthquake excitations. Take the steel frame structure for the study, adopting the static condensation method, the frame is simplified

3、 to member-relative storey shear model in this paper. Based on the first order displacement increment within time steps of the dynamic time-history analysis of frames, the acceleration incentive increment caused by additional moments of vertical forces is derived according to the DAlembert theory, a

4、nd a iteration formula is established, and then introduced to the time-history analysis, to study the influence of the P-A effect to the displacement, velocity and acceleration of frames. Finally, examples are made to verify the feasibility of the method, and investigate the influence of the P-A eff

5、ect to the overall progress seismic response of frames.Key words: static condensation； time-history analysis； PA effect； acceleration incentive increment； iteration computations0引言結(jié)構(gòu)倒塌可分為局部倒塌和整體倒塌，局部倒塌主要指豎向支承構(gòu)件失效或水平與豎向 構(gòu)件之間的剪力傳遞失效，整體倒塌可能由局部倒塌引發(fā)，也可能由于結(jié)構(gòu)側(cè)向位移較大， 產(chǎn)生較明顯的p-效應(yīng)引起。國內(nèi)外學(xué)者通過理論分析、數(shù)值模擬、試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)倒

6、 塌主要與地震往復(fù)作用下強(qiáng)度、剛度的退化及明顯的p-a效應(yīng)有關(guān)。p-a效應(yīng)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的內(nèi) 力和側(cè)移增大，當(dāng)側(cè)向位移達(dá)到一定程度，抗力無法與豎向荷載相平衡，結(jié)構(gòu)就會出現(xiàn)整體 失穩(wěn)。從能量角度來說，p-a效應(yīng)可認(rèn)為是重力勢能的釋放產(chǎn)生了附加位移，并降低了結(jié)構(gòu) 所能吸收的地震能量。結(jié)構(gòu)二階效應(yīng)是小變形、大位移情況下的幾何非線性問題，常見算法有：將結(jié)構(gòu)連續(xù)化 為等代懸臂構(gòu)件計算，如根據(jù)最小勢能原理將高層框筒結(jié)構(gòu)連續(xù)化并建立微分方程組求解； 有限元法求解，具體如采用梁一柱理論法、插值法和虛功方程推導(dǎo)二階單元剛度矩陣等途徑； 其它如虛擬節(jié)點(diǎn)荷載法；折減剛度法等。一階變形基礎(chǔ)上，豎向力附加彎矩使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形

7、增量，又導(dǎo)致附加彎矩增大，和產(chǎn)生新的變形增量，最后趨于新的平衡狀態(tài)，其位移 即為二階位移。二階分析往往包含迭代求和過程，迭代又分增量迭代和全量迭代。結(jié)構(gòu)二階靜力分析已有文獻(xiàn)探討較多，而考慮其影響的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時程分析方法則少 有論及。采用靜力凝聚法，首先將框架等效為層間模型，然后根據(jù)時間步內(nèi)的框架一階位移 增量導(dǎo)出相應(yīng)的P-效應(yīng)加速度激勵增量，建立迭代計算格式并嵌入時程分析過程，從而 考察P-效應(yīng)對框架動力響應(yīng)的影響。1將框架簡化為桿系層間模型在對建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震設(shè)計時，應(yīng)按罕遇地震的地面運(yùn)動參數(shù)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性(彈塑性) 分析，檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)層間彈塑性變形是否滿足規(guī)范容許限值要求。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行時程分

8、析時,其模型 主要有桿模型、層模型及桿系一層模型。桿系一層模型相對于前兩種模型，不但可確定結(jié)構(gòu) 的層間剪力與變形,尚可確定結(jié)構(gòu)各桿件的內(nèi)力與變形，且計算量較桿模型大為減少。靜力凝集法是大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)縮減動力分析自由度的計算方法之一。選擇梁柱節(jié)點(diǎn)水平方 向運(yùn)動自由度為主坐標(biāo)，轉(zhuǎn)動自由度為副坐標(biāo)；假設(shè)樓板是剛性的，則結(jié)構(gòu)的靜力凝聚變換 為：(1)-K-1 k 一II IB=cII加，丁仔二式中，七為主坐標(biāo)向量，即結(jié)構(gòu)層節(jié)點(diǎn)水平位移向量；土為副坐標(biāo)向量，即梁柱節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn) 角位移向量；Tg為靜力凝聚變換矩陣。下標(biāo)B和I分別表示水平運(yùn)動和繞節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動自由度 坐標(biāo)。結(jié)構(gòu)靜力凝聚剛度矩陣為：匕=KB + tKB

9、= KB -七占爵Kb(2)式中，Kb Kb、Kq K為剛度矩陣的子模塊矩陣。將結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中于各層節(jié)點(diǎn)，不計轉(zhuǎn)動慣量，靜力凝聚質(zhì)量矩陣為：m2 .(3).mm1M =Gn式中, m1，m2，mn結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量。采用比例阻尼矩陣：C g=aMg + P匕(4)(5)p 一 2(&2氣七儀1)2 0 221式中，C g為比例阻尼矩陣；七和s2分別為框架一階和二階固有頻率；g1和g2為相應(yīng)的振 型阻尼比?？蚣芙?jīng)靜力凝聚變換等效為桿系層間模型，動力平衡方程為：M x (t)+ C x (t)+ K x (t)二日(t)M I(6)G：BG BG BGG G式中，G(t)為地面運(yùn)動加速度；I g為元素為1

10、的列向量。2考慮重力二階效應(yīng)的時程分析2.1豎向力附加彎矩的分配水平地震作用下，有側(cè)移框架的二階效應(yīng)包括梁柱撓曲效應(yīng)和P一效應(yīng)，撓曲二階變 形在總變形中占比通常很小，文中僅討論P(yáng)一效應(yīng)。若框架第i層一階層間位移為 i， 則加載于框架柱的總豎向力附加彎矩如圖1所示，柱上下端a和b彎矩分別為：(7)iM = 0ab ,i圖1豎向力附加彎矩圖P一效應(yīng)變形增量包括純彎曲變形增量和純剪切變形增量。圖1(c)彎矩對應(yīng)純剪切變 形增量，將加載于桿系層間模型；而圖1(b)彎矩對應(yīng)的純彎曲變形增量不增加層剪力，一部 分將使框架柱產(chǎn)生軸力增量，對應(yīng)框架整體如懸臂桿產(chǎn)生純彎曲變形增量；另一部分使梁柱 節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)

11、角增量，進(jìn)而使框架梁產(chǎn)生剪力增量，而框架梁剪力增量的傳遞與前述框架 柱的軸力增量相對應(yīng)。故不是全部豎向力附加彎矩均加載于桿系層間模型，1(b )圖彎矩將在桿系層間模型和如 純彎懸臂桿的框架整體之間分配，分別由層節(jié)點(diǎn)和層截面抵抗。為簡化算式，假設(shè)同層各框架梁、柱的線剛度相同，各梁柱節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角相同，及跨度相同， 如圖2所示，近似確定其配系數(shù)。3k +12 k頂層P =二，口15k + 125k +13k +1k非頂層P =,P=13k +123k +1式中，k為框架當(dāng)層的跨數(shù)。(8)(9)圖2框架層節(jié)點(diǎn)和層截面抵抗彎矩示意圖考慮框架的層截面彎曲系數(shù)遠(yuǎn)大于桿系層間模型柱的截面彎曲系數(shù),P 一效應(yīng)使框架

12、 整體如懸臂桿產(chǎn)生的純彎曲變形增量相對很小，忽略不計。根據(jù)以上分配，將式(7)修正 為： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 1(1)M =- PA ,M = 1 - PA(10)ab ,i2 2 i iba ,i 2 2 j i i相應(yīng)地將框架第i層的附加層剪力表示為：V = V = Mab,i + M；,i =(i 2)P A i(11)ab ,iba ,ihhii2.2附加加速度增量激勵2.1節(jié)討論了根據(jù)框架一階層間位移計算附加層剪力的方法，動力響應(yīng)時程分析時，相 應(yīng)可由時間步內(nèi)的框架一階層間位移增量確定附加層剪

13、力增量，進(jìn)而導(dǎo)出框架的附加加速度 增量。如圖3所示，根據(jù)DAlembert原理有：m 5 x + m 5 x + m 5 x*12*2m 5 x + m 5 x +*22*3+ m 5x =5V+ m 5x =5Vba ,2m 5 x 1 + m 5 x m5x =5V=5 Vba ,n-1式中，5 為時間步內(nèi)框架第i層的附加層剪力增 ba,i(12)圖3附加層剪力作用及效應(yīng)示意圖量。1111:11. 11-110B=-10110 11 _-11 _(15)將式(12)其中：P5AoV -日i(13)寫成矩陣形式有：AM 5 X = (1-冉)PBAx(14)式中，Ax為時間步內(nèi)的框架位移增量

14、向量；5x為與位移增量Ax對應(yīng)的附加加速度增量向 量。又因A-1 = Bt，式(14)可表示為：MO x = (1 -%) BtPBAx若將式(6)表示為增量形式并與式(16)兩邊求和，則：M (Ax + 5x)+ C Ax +K-(1-口 )BtPBAx = Ap (t)M IGG2gG G式(17)中的剛度矩陣為考慮P-A效應(yīng)后的框架折減剛度矩陣，令：K = K - BtPB若退化為靜力分析，令:r=1/ (i - btpbK-1)則x(2)=I+(r-1 )+(r-1 )2 + x(D =(21-r)-1 x(1)(16)(17)(18)(19)(20)式中，I為單位矩陣；x(1)和x(

15、2)分別為一階和二階靜力分析的框架水平位移?？疾焓?12)及圖3,若時間步內(nèi)框架產(chǎn)生位移增量Ax，則豎向力附加彎矩增量作用下， 框架相應(yīng)產(chǎn)生附加加速度增量5x。豎向力附加彎矩增量作用可用式(16)表示的水平作用等 效，令：5r (t )=(1-日)BtPBAx(t )(21)i2i式中，5 r (t )為第i時間步內(nèi)與框架一階位移增量對應(yīng)的附加水平激勵。進(jìn)一步建立時間 i步內(nèi)框架的P一效應(yīng)迭代計算格式，由5 r (t )計算出P一位移增量伍r (t )；返回代 TOC o 1-5 h z ii 1入式(21)確定相應(yīng)的附加水平激勵，并計算P一位移增量5r(t)2，；以此類推，時間步內(nèi)的框架位移

16、增量修正為： HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 只(2)(t )=Ax(t )+5x(t ) +5x(t )1 +(22)ii i i 2 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 3模型及分析一棉10層鋼筋混凝土框架，受如圖4所示水平荷載作用，頂層荷載4.78kN/m2, 標(biāo)準(zhǔn)層荷載5.747 kN/m2, 一個開間寬6.1m。采用文中式(20)計算的框架二階層間 位移如表1所示。表1中，D,為框架各層的一階層抗推剛度，(1)為一階層間位移，(2)為 二階層間位移。 *為框架二階層間位移數(shù)值解。5和5

17、 *分別為計算結(jié)果的相對誤差。ii i圖4 10層框架計算簡圖124S kN97.63 kN87.57 kN76.54 成65.99 kN55.40 kN44.86 k 理 343j kN 23,76 kN 13.22 k理表1框架的計算參數(shù)、一階分析及考慮P效應(yīng)層間位移值層號h, /P: /D /wi*/s8.=&* =tilkN(kX tn-1)tlllliniTmm(夔)/留)/%(,* 一苛)/A* /%1h 5729 45132 5.9319, 4320, 7720. 384. 89L 8723. 6578 49031 78219.5121. 0120., 625. 69L 8533

18、. 6577 52927 08222. 0223. 7523.335. 951. 7643. 6576 56826 39921.2922. 8822. -115. 262. 0553. 6575 60722 27123. 222 L H-24. 165, 34L 7663. 6571 64520 22522. 8324. 3623,934. 82L 773, 6573 68417 17623. 012 1. 1 :i24.074, 17L 5983. 6572 72316 01019.91?! . 9520. 633. 461, 5393. 657I 76212 42218.691 . 119

19、.22i1. 48103. 65780110 24213, 1313. 5613,482, 670. 59框架按文中式(20)計算的二階層間位移與文獻(xiàn)9數(shù)值解比較，最大相對誤差為 2.05%，且離散性小，考慮到式(20)不計及梁柱撓曲效應(yīng)，對P一效應(yīng)計算的誤差較小， 是合理的。而若采用全部豎向力附加彎矩均由框架梁、柱節(jié)點(diǎn)抵抗，則計算值大于文獻(xiàn)10 數(shù)值解，相對不合理。對算例1框架作動力響應(yīng)時程分析，以文中式(21)建立P一效應(yīng)迭代計算格式，時程 分析采用wilson-0法11-12,輸入最大幅值0.3 g的EL-centro波，框架各層阻尼比均 取& =0.02?？蚣芤浑A位移響應(yīng)、P一效應(yīng)位移

20、響應(yīng)曲線比較見圖5和圖6；表2對比了 一階分析的層間位移最大值。表1、表2及圖5、圖6顯示，考慮P一效應(yīng)時，動力分析獲得的框架最大位移幅值 并不一定比靜力分析時大；且動力分析時，考慮P一效應(yīng)的框架最大層間位移不一定比一 階分析時大，下部各層的層間位移較一階分析時增大、而上部則減小。隨著振動的持續(xù)，框 架P一位移響應(yīng)曲線逐漸滯后于一階位移響應(yīng)曲線，框架振動后期P一效應(yīng)對位移的放 大作用較前期明顯。當(dāng)框架層間位移增大時豎向力附加彎矩做正功，反之做負(fù)功，故框架彈性振動時P一 效應(yīng)對框架的能量輸入總體上不明顯；但P一效應(yīng)將逐漸延長框架振動周期，且使振動能 量由高振型向低振型振動遷移，故導(dǎo)致框架下部層間

21、位移最大值增大而上部減小、且P一 位移響應(yīng)曲線逐漸滯后于一階位移響應(yīng)曲線及后期對框架位移的放大作用較前期明顯。201OO-1O-20-3O圖5框架結(jié)構(gòu)一層位移響應(yīng)分析曲線表2 框架一階和P動力響應(yīng)層間位移最大值比較層號I2345678910階響應(yīng)/mm20. 8618. 4 717.8616. 4816. ?!14. 5322. 8624.6230. 6127. 72P A響應(yīng)尸/mm21.0519, 0118,5717. 2417. 631 L 1820, 4923.5130. 5326. 528* =岳一刑)/&】0. 912, 923. 984,615,31一2. 11h 044. 5 L0, 26L 33片位移響應(yīng)1020304()5060時間底圖6框架結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)分析曲線4結(jié)論框架彈性振動時豎向力附加彎矩的能量輸入總體上并不明顯，但將導(dǎo)致高階振型振動能 量向低階振型遷移，以及逐漸延長振動的周期。受振型振動能量遷移的影響，P一效應(yīng)使 框架下部層間位移響應(yīng)最大