1、2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文史類)第 I 卷一、選擇題： (本大題共 12 題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，中有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1) 已知集合A = 1,3,5,7,9, B = 0,3,6,9,12,則A B =(A)(C)3,53,7(B) 3,6(D) 3,93 + 2i(2) 復(fù)數(shù) =2 - 3i(A) 1 (B) -1 (C) i (D)-i(3)對(duì)變量x, y 有觀測(cè)數(shù)據(jù)( x ， y ) (i = 1,2,.,10 )，得散點(diǎn)圖 1；對(duì)變量u, v 有觀測(cè)1 1數(shù)據(jù)( u ，v ) (i=1,2,， 10) ,得散點(diǎn)圖 2. 由這兩個(gè)散

2、點(diǎn)圖可以判斷。1 1(A)變量x 與 y 正相關(guān)， u 與 v 正相關(guān) (B)變量x 與 y 正相關(guān)， u 與 v 負(fù)相關(guān)(C)變量x 與 y 負(fù)相關(guān)， u 與 v 正相關(guān) (D)變量x 與 y 負(fù)相關(guān)， u 與 v 負(fù)相關(guān)(4)有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：x x 1p ： 3 x= R, sin 2 +cos2 = p : 3x, y = R , sin(x - y) = sin x - sin y1 2 2 2 2p : V x= 0, 冗 , 1- cos 2x = sin x p : sin x = cos y 亭 x + y = 冗3 2 4 2其中假命題的是(A) p ， p (B)

3、 p ， p (3) p ， p (4) p ， p1 4 2 4 1 3 2 3(5) 已知圓C ：(x +1)2 +(y _ 1)2 =1，圓C 與圓C 關(guān)于直線x _ y _ 1 = 0 對(duì)稱， 則圓C 的 1 2 1 2方程為(A) (x + 2)2 +(y _ 2)2 =1 (B) (x _ 2)2 +(y + 2)2 =1(C) (x + 2)2 +(y + 2)2 =1 (D) (x _ 2)2 +(y _ 2)2 =1(|2x + y 之 4,(6)設(shè) x, y 滿足|l,2, 則 z = x + y(A)有最小值 2，最大值 3(C)有最大值 3，無最小值(B)有最小值 2，

4、無最大值(D)既無最小值，也無最大值(7)已知a = (_3,2 ),b = (_1,0)，向量入 a + b 與a _ 2b 垂直，則實(shí)數(shù)入 的值為1 1 1 1(A) _ (B) (C) _ (D)7 7 6 6(8)等比數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為S ，已知 a + a _ a2 = 0 ， S = 38 ,則m =n n m_1 m+1 m 2m_ HYPERLINK l _bookmark1 1(A) 38 (B) 20 (C) 10 (D) HYPERLINK l _bookmark2 9(9) 如圖，正方體 ABCD _ A B C D 的棱線長(zhǎng)為 1，線段1 1 1 11B D

5、上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) E，F(xiàn)，且EF = ，則下列結(jié)論中錯(cuò)1 1 2誤的是(A) AC BE(B) EF / 平面ABCD(C)三棱錐 A _ BEF 的體積為定值(D) AAEF的面積與ABEF的面積相等(10)如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入 x = _2, h = 0.5 ，那么輸出的各個(gè)數(shù)的和等于(A) 3 (B) (C) 4 (D)(11)一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位： cm2 )為(A) 48 + 12 2 (B) 48 + 24 2(C) 36 + 12 2 (D) 36 + 24 2(12)用 mina,b,c表示 a,b,c 三個(gè)數(shù)中的最小值。設(shè) f (x) = min

6、2x, x + 2,10 - x (x 0), 則 f (x) 的最大值為(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13 題) 第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第(22 題) 第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分。(13)曲線 y = xex + 2x +1 在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為 。(14)已知拋物線 C 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，直線 y=x 與拋物線 C 交于A，B 兩 點(diǎn)，若P(2,2 )為 AB 的中點(diǎn)，則拋物線 C 的方程為 。(15)等比數(shù)列 a 的公比 q

7、0 , 已知 a =1， a + a = 6a ，則 a 的前 4 項(xiàng)和 n 2 n+2 n+1 n nS4= 。(16)已知函數(shù) f (x) = 2sin(ox +0) 的圖像如圖所示，則f (|( )| = 。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17) (本小題滿分 12 分)如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C 三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知AB = 50m ，BC = 120m ，于 A 處測(cè)得水深A(yù)D = 80m ，于 B 處測(cè)得水深BE = 200m ，于C 處 測(cè) 得 水 深 CF = 110m ， 求 DEF 的 余 弦 值 。(18) (本小題滿

8、分 12 分)如圖，在三棱錐P ABC 中，PAB 是等邊三角形，PAC= PBC=90 ()證明： ABPC()若PC = 4 ，且平面PAC 平面PBC ，求三棱錐P ABC 體積。(19) (本小題滿分 12 分)某工廠有工人 1000 名，其中 250 名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為 A 類工人)，另外 750 名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為 B 類工人) .現(xiàn)用分層抽樣方法(按 A 類， B 類分二層)從該 工廠的工人中共抽查 100 名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)) .() A 類工人中和 B 類工人各抽查多少工人？()從 A 類工人中抽查結(jié)果和從 B 類工人中的抽

9、查結(jié)果分別如下表 1 和表 2表 1：100,110)110,120)120,130)140,150)生產(chǎn)能力分130,140)組x4853人數(shù)表 2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)120,130)y110,120)6140,150)18130,140)36(1) 先確定x, y ，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言， A 類工人中個(gè)體間的差異程度與 B 類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更??？(不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)(ii)分別估計(jì) A 類工人和B 類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。(20) (12 分)已知橢圓

10、C 的中心為直角坐標(biāo)系xOy 的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1 ()求橢圓C 的方程()若P 為橢圓C 的動(dòng)點(diǎn)， M 為OP過P 且垂直于x 軸的直線上的點(diǎn)， = e ( e 為橢圓 C 的離心率)，求點(diǎn)M 的軌跡方程，OM并說明軌跡是什么曲線。(21) (本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f (x) = x3 一 3ax2 一 9a2 x + a3 .(1) 設(shè)a = 1 ，求函數(shù) f (x)的極值；(2) 若a 1 ，且當(dāng)x =1,4a時(shí)， f (x) 共 12a 恒成立，試確定a 的取值范圍. 4請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答

11、，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。(22) (本小題滿分 10 分)選修 4 1；幾何證明選講如圖，已知 編 ABC 中的兩條角平分線 AD 和CE 相交于 H ，三 B=60 ， F 在 AC 上，且AE = AF 。(1)證明： B, D, H , E 四點(diǎn)共圓； (2)證明： CE 平分三 DEF。(23) (本小題滿分 10 分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。(x = 4 + cos t, (x = 8cos9 ,已知曲線 C 1 ：y = 3 + sin t, (t 為參數(shù))， C 2 ：y = 3sin9 , (9 為參數(shù))。(

12、1)化 C ，C 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；1 2(2)若 C 上的點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t = ，Q 為 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ 中點(diǎn)M 到直線 1 2 2(x = 3 + 2t,C3 :y = 2 + t (t 為參數(shù))距離的最小值。(24) (本小題滿分 10 分)選修 4-5：不等式選講如圖， O 為數(shù)軸的原點(diǎn)， A, B, M 為數(shù)軸上三點(diǎn)， C 為線段OM 上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)x 表示C 與原點(diǎn)的距離， y 表示C 到 A 距離 4 倍與C 到 B 距離的 6 倍的和.(1)將 y 表示為x 的函數(shù)； (2)要使 y 的值不超過 70，x 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？參考答案：

13、DCCABBACDBAC (13) y = 3x +1 (14) y2 = 4x (15) 152(16)0(17) 解：作DM / AC 交 BE 于 N，交 CF 于MDF = MF2 + DM2 = 302 +1702 = 10 198 ，DE = DN2 + EN2 = 502 +1202 = 130 ，EF = (BE FC)2 + BC2 = 902 +1202 = 150 6 分在DEF 中，由余弦定理，DE2 + EF 2 DF 2 1302 +1502 102 298 16cos 三DEF = = = .2DE EF 2 130 150 6512 分(18)解： ()因?yàn)?P

14、AB 是等邊三角形， 三PAC = 三PBC = 90 ,所以RtPBC RtPAC ,可得AC = BC 。如圖，取 AB 中點(diǎn)D ，連結(jié)PD , CD ,則PD AB , CD AB ,所以AB 平面PDC ,所以AB PC 。6 分()作BE PC ，垂足為E ，連結(jié) AE 因?yàn)?RtPBC RtPAC ，所以 AE PC ， AE = BE 由已知，平面PAC 平面PBC ，故三AEB = 90 8 分因?yàn)镽tAEB RtPEB ，所以AEB, PEB, CEB 都是等腰直角三角形。由已知PC = 4 ，得 AE = BE = 2 ， AEB 的面積S = 2 因?yàn)镻C 平面AEB ，

15、1 8 所以三角錐P ABC 的體積V = S PC =3 312 分(19)解： () A 類工人中和B 類工人中分別抽查 25 名和 75 名。4 分() ( )由4 + 8 + x + 5 + 3 = 25，得x = 5 ， 6 + y + 36 +18 = 75 ，得 y = 15 。頻 率 分 布 直 方 圖 如 下8 分從直方圖可以判斷： B 類工人中個(gè)體間的差異程度更小。 9 分4 8 5 5 3(ii) xA = 25 105+ 25 115+ 25 125+ 25 135+ 25 145 = 123 ，6 15 36 18x = 115+ 125+ 135+ 145 = 13

16、3.8 ，B 75 75 75 7525 75x = 123+ 133.8 = 131.1100 100A 類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)， B 類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的la +c = 7估計(jì)值分別為 123，和.(20)解： ()設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及分別為 a,c,由已知得(a -c = 1x2 y2解得 a=4,c=3,所以橢圓C 的方程為 + = 1.16 71 x2 + y2()設(shè) M (x,y) ,P(x, y ),其中x =-4,4 . 由已知得 x2 + y = e2 .而 e = 3 ，故16(x2 + y2 ) = 9(x2 + y2 ).4 1由點(diǎn) P 在橢

17、圓 C 上得 y2 = 112 - 7x2 ,1 16代入式并化簡(jiǎn)得9y2 = 112,所以點(diǎn) M 的軌跡方程為y = 士 4 73(-4 共 x 共 4), 軌跡是兩條平行于 x 軸的線段(21)解： ()當(dāng) a=1 時(shí)，對(duì)函數(shù)f (x) 求導(dǎo)數(shù)，得 f (x) = 3x2 - 6x - 9.令 f (x) = 0, 解得x = - 1,x = 3. 列表討論 f (x), f (x) 的變化情況：1 2(-1，3)30極小值-26(-w, - 1) +-10極大值 6(3,+w) +xf (x)f (x)所以， f (x) 的極大值是f (-1) = 6 ，極小值是 f (3) = -26

18、.() f (x) = 3x2 - 6ax - 9a2 的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a 對(duì)稱.若 -12a, 且f (4a) = 15a2 共 12a.由 f (1) -12a得- 1 共 a 共 1,由f (4a) 共 12a得0 共 a 共 4 .3 5所以a e ( 1 ,1 一 1 ,1 0, 4,即a e( 1 , 4.4 3 5 4 5若 a1,則| f (a) |= 12a2 12a.故當(dāng)x e1,4a時(shí) | f (x) |共 12a 不恒成立.所以使| f (x) |共 12a(x e1,4a) 恒成立的 a 的取值范圍是(1 , 4 .4 5(22)解：( )在ABC 中，因?yàn)锽=60，所以BAC+BCA=120.因?yàn)?AD,CE 是角平分線，所以HAC+HCA=60，故AH