1、PAGE PAGE 10數(shù)學模擬試卷參考答案詳解一、選擇題（110小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).）（1） B【詳解】 所以選B【重點提示】 要善于利用等價無窮小的替換，如當時，等都是等價無窮小，也是比較常用的等價無窮小（2） D【詳解】=，積分收斂，=，積分發(fā)散.【重點提示】 直接計算相應積分，判定其斂散性即可。廣義積分斂散性的判斷，一般只要求掌握通過計算能判定的情形。（3）B【詳解】把兩邊對求導，有，再求導，有 a 再把兩邊對求導，有 b由a與 b得【重點提示】本題的重難點是對多元函數(shù)求偏導，計算時要仔細，要

2、注意當具有連續(xù)二階偏導數(shù)時，。（4）A【詳解】 在區(qū)域上，有，從而有由于在 上為單調減函數(shù)，于是因此 ，故應選(A)【重點提示】 本題比較二重積分大小，本質上涉及到用重積分的不等式性質和函數(shù)的單調性進行分析討論，關鍵在于比較、與在區(qū)域上的大?。?） A【詳解】 因為可微，所以連續(xù)，則，因為，所以 所以是的極小值【重點提示】 注意當時，是的駐點，此時，若，則在處取得極小值，反之則在處取得極大值若，則不是極值點（6） A【詳解】 設，是連續(xù)函數(shù)，所以可導，且若為奇函數(shù)，則，此時為偶函數(shù)【重點提示】 直接利用定義求出原函數(shù)，本題也可通過舉反例來一一排除，如等（7）A【詳解】：把兩邊同時轉置，得，則與

3、互為逆矩陣，則【重點提示】本題屬于基本題型，直接利用概率基本公式求解即可（8） A【詳解】 初等行變換不改變矩陣的列向量之間的線性關系，對于變換后的矩陣，顯然有，所以【重點提示】 初等行變換不改變矩陣的列向量之間的線性關系，初等列變換不改變矩陣的行向量之間的線性關系，這是矩陣變換的基本性質（9）B【詳解】 由題設，知，又事件與相互獨立，于是有【重點提示】首先所有概率求和為1，可得, 其次，利用事件的獨立性又可得相關等式由此可確定a , b的取值即=，由此可解得=0.4, b=0.1（10） C【詳解】 因為不相關，所以相關系數(shù)，從而，【重點提示】 注意不論如何都得不到，這個等式絕對不成立二、填

4、空題（1116小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.）（11）【詳解】 【重點提示】 本題屬于基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可，若在某變化過程下，則如當時，等都是等價無窮?。?2）【重點提示】 直接積分即可.本題雖屬于基本題型， 也可先變形 ，再積分求解【詳解】 原方程可化為，積分得 ，代入初始條件得C=2，故所求特解為 （13）【詳解】 原方程可寫為令，則，代入原方程，得，分離變量得兩邊積分得：即（其中C為任意常數(shù)）【重點提示】 這是微分方程中比較常見的題型，是齊次方程與可分離變量方程的復合形式，解分離變量方程的方法必須掌握（14） 【詳解】 由題設，有 , 得，但

5、題設，故【重點提示】個4維向量線性相關，必有其對應行列式為零，由此即可確定當向量的個數(shù)小于維數(shù)時，一般通過初等變換化階梯形討論其線性相關性（15） 0【詳解】 ，解得：又因為A可對角化，所以A的屬于特征值的線性無關的特征向量有2個，即有非零解所以，而，所以【重點提示】 容易先求出A的特征值，然后根據(jù)可對角化方陣的性質，得到的秩不是滿秩，再通過行列式為0來求解的值（16）【詳解】 因為，所以與相互獨立，又，則，所以【重點提示】 如果，所以與相互獨立，這是判斷獨立的一種方法。相互獨立的正態(tài)變量的線性運算仍是正態(tài)變量，要注意運算后的正態(tài)變量的數(shù)學特征的變化三、解答題（1724小題，共86分.解答應寫

6、出文字說明、證明過程或演算步驟.）（17）【詳解】 由已知條件可得，所以 =【重點提示】 先求出二階偏導數(shù)，再代入相應表達式即可，但在求偏導數(shù)的過程中應注意計算的準確性（18）【證明】 (I)設，則在上連續(xù)，且，由介值定理可知存在，使，即(II)設，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且又由羅爾定理可知，存在，使得即【重點提示】 先構造函數(shù)，再根據(jù)連續(xù)與可導的性質，利用中值定理證明問題，其中關鍵在于構造函數(shù)，這就需要經(jīng)驗，要掌握一些比較常見的函數(shù)的構造（19）【詳解】 （I）由題意可知總利潤函數(shù)，令，解得。又產(chǎn)量和不受限制，所以計算表明當時可獲得最大利潤，且最大利潤為，即為所求（II）由題意得此時可引入拉格

7、朗日函數(shù)，令，解得，。所以當時可獲得最大利潤，且最大利潤為， 【重點提示】 先求出總利潤函數(shù)，再通過導數(shù)為0來求極值，求出最大利潤。在第（II）問中，由于總產(chǎn)量固定為30不變，故通過構造拉格朗日函數(shù)來求極值（20）【證明】 設，則F(x)在0，1上的導數(shù)連續(xù)，并且，由于時，因此，即F(x)在0，1上單調遞減又，=，所以F(1)=0.因此時，由此可得對任何，有【重點提示】 可用參數(shù)變易法轉化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過分部積分討論對于積分不等式的證明，主要有兩個途徑：一是轉化為函數(shù)不等式，二是通過恒等變形，如變量代換、分部積分等，再用積分的不等式性質進行討論（21）【詳解】 因為

8、線性方程組（i）、（ii）有公共的非零解，所以它們的聯(lián)立方程組（iii）有非零解，即（iii）系數(shù)矩陣A的秩小于4。對矩陣A進行初等行變換，得，所以且此時可解方程組，得，即為（iii）的一個非零解又，所以構成（iii）的基礎解系。因此，（i）和（ii）的全部公共解為（其中k為任意常數(shù)）【重點提示】 若方程組有非零解，系數(shù)矩陣的秩小于n（n為未知數(shù)的個數(shù)），求解線性方程組是非常重要的一個知識點（22）【詳解】（ = 1 * ROMAN I） ，可知（ = 2 * ROMAN II）因為是線性無關的三維列向量，可知矩陣可逆，所以，即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值. ，得矩陣B的特征值，也即矩陣A的特征值為（ = 3 * ROMAN III）對應于，解齊次線性方程組(E-B)X=0，得基礎解系，；對應于，解齊次線性方程組(4E-B)X=0，得基礎解系令矩陣，則又因為，令矩陣=，則P即為所求的可逆矩陣【重點提示】 利用( = 1 * ROMAN I)的結果相當于確定了A的相似矩陣，求矩陣A的特征值轉化為求A的相似矩陣的特征值，這是問題的關鍵（23）【詳解】 因為，相互獨立，所以，的聯(lián)合密度函數(shù)為：當時，當時，當時， 所