1、微分的其他應(yīng)用應(yīng)用微分作近似計算微分的思想就是一個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函數(shù)曲線的局部，用直線代替曲線，而線性函數(shù)總是比較容易進行數(shù)值計算的，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計算結(jié)果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想通過對如下的微分概念的圖形表示，可以更進一步理解這種近似的含義。從圖中可以看到，隨著b點趨向于a點， 的值也趨向于f（b）-f（a）的值，它們的差值是a與b之間差值的高階無窮小，因此對于任意函數(shù)在某點的取值，我們總是可以在函數(shù)的這點的的附近找到一個比較容易計算的點，再從這點出發(fā)，在通過這點的函數(shù)曲線的切線上面計算所需要求的點的函數(shù)值的近似值，

2、顯然我們選取的計算點與本來要求計算的點的差距越小，則計算的近似程度越高。泰勒定理及其應(yīng)用上面利用微分所作的線性近似，畢竟還是相當(dāng)粗略的，因為所謂線性近似，就是用直線代替函數(shù)在某點附近的曲線，而畢竟直線與函數(shù)本身所代表的曲線，還是相差不少的，如果要更進一步進行精細(xì)的近似計算，則需要更為逼近函數(shù)本來的曲線的相對簡單函數(shù)的曲線，利用下面的更為一般的泰勒定理，我們就可以通過構(gòu)造比較簡單的，容易進行數(shù)值計算的函數(shù)，來獲得比線性函數(shù)更好的近似性質(zhì)。首先我們構(gòu)造這樣的簡單函數(shù)形式，即所謂泰勒多項式：如果函數(shù)y=f（x）在點a處具有直到n階導(dǎo)數(shù)，那么多項式稱為函數(shù)y=f（x）在x=a處的n階泰勒多項式?；蛘哌@

3、是一個精確成立的恒等式，因此不僅給出了近似計算法，也給出了誤差估計。一般地，除了分析函數(shù)增量的近似以外，利用泰勒多項式，還可以給出函數(shù)在的近似表示如下：如果函數(shù)f在點a具有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，則可以把函數(shù)表示為這就是函數(shù)f在點a處的n階泰勒公式。這兩個定理是分析一般函數(shù)最為有力的工具之一，它不僅是表現(xiàn)在進行近似計算方面，它同樣給出了函數(shù)的在某點的性態(tài)。實際上，前面的線性近似是包含在泰勒近似當(dāng)中的，即對函數(shù)進行1次逼近就是線性近似。（1）如果函數(shù)f（x）是區(qū)間a，b上的凸函數(shù)，則對于任意不同的屬于這個區(qū)間的兩點c和d，有下面的不等式成立：（2）如果函數(shù)f（x）是區(qū)間a，b上的凸函數(shù)，則對于任意不同的

4、屬于這個區(qū)間的兩點c和d，以及任意大于0，小于1的數(shù)k，有下面的不等式成立：特別地，如果我們?nèi)=1/2，那么上面的不等式就變成了這個不等式更為常用。進一步，如果函數(shù)f（x）是區(qū)間a，b上的凸函數(shù)，則在這個區(qū)間上-f（x）被稱為凹函數(shù)。而如果函數(shù)是某個閉區(qū)間上的2階可微凹函數(shù)，則函數(shù)在這個區(qū)間的2階導(dǎo)數(shù)小于等于0，其中至多只是在有限個點成立等號。然后我們定義什么是函數(shù)圖形上的拐點：如果連續(xù)函數(shù)在某點a附近發(fā)生凸性的變化，則稱點（a，f（a）為函數(shù)的拐點。通過上面的這些幾何特征的定義，以及判別條件，我們就可以做到畫出一般函數(shù)的草圖，這是我們應(yīng)該掌握的一個重要技能，因為給函數(shù)畫出草圖往往是我們直觀

5、了解這個函數(shù)的關(guān)鍵前提，特別是如果這個函數(shù)比較復(fù)雜，即使是經(jīng)過解析方面的分析，仍然是表示為非常復(fù)雜的解析表達式，這種情況下，只有幾何方面的特征能夠給人足夠清晰的印象。根據(jù)上面的定義，我們就可以這樣來理解函數(shù)的漸近線，設(shè)函數(shù)y=f（x）具有漸近線y=ax+b，那么我們可以得到：當(dāng) 時， ，其中 表示一個無窮小。 這樣我們就可以得到一個近似表達式這就充分表達了我們研究漸近線的最終目的之一，就是希望在x充分大時，應(yīng)用這個近似表達式進行近似計算，而實際上這個表達式同時也提供了在實際問題當(dāng)中求漸近線的方法。函數(shù)作圖運用我們以及學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)概念，函數(shù)作圖的一般步驟如下：（1）求出函數(shù)的定義域和值域。（2）確

6、定與函數(shù)定義域密切相關(guān)的幾何特征：奇偶性和周期性。（3）求出函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)與2階導(dǎo)數(shù)。（4）在函數(shù)定義域內(nèi)求出方程 的根，求出使得函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)與2階導(dǎo)數(shù)不存在的點，把所有這些點作為函數(shù)定義域的分界點，從而把函數(shù)的定義域分為一些部分區(qū)間。（5）在每一個這樣的部分區(qū)間內(nèi)，確定函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)與2階導(dǎo)數(shù)的符號，從而可以得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，凸凹區(qū)間，局部極值點，拐點。（6）利用求極限的方法，求出函數(shù)圖形的各種可能的漸近線。（7）給出極值點和拐點后，根據(jù)具體情況，有可能需要在各個部分區(qū)間再補充幾個點，根據(jù)上面所揭示的函數(shù)性質(zhì)，就可以聯(lián)結(jié)這些點而得到函數(shù)的草圖。曲率和曲率半徑的概念以及曲率和曲率半徑的計算

7、?；∥⒎旨捌溆嬎?。直觀地說，曲率就是表征曲線的彎曲程度。對于一段曲線來說，它的定義就是這段曲線的切線的角度的變化量除以這段曲線的長度，這個曲率稱為這段曲線的平均曲率，而對于曲線上面的任意一點來說，這點的曲率，就是這點的某個鄰域的平均曲率在鄰域長度趨向于0時的極限，也就是可以看到這個定義從數(shù)學(xué)意義來看，就是一種導(dǎo)數(shù)。因此關(guān)于曲線的曲率的研究實際上就是導(dǎo)數(shù)概念的一個應(yīng)用。還可以看到計算曲率，就意味著計算曲線弧長的微分與切線偏轉(zhuǎn)角度的微分，因此有必要引入弧微分的概念。設(shè)一段曲線由如下參數(shù)方程描述：其中函數(shù)f，g都存在連續(xù)的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)，并且 ，那么定義這段曲線的弧微分為利用弧微分的定義，我們可

8、以得到一般曲線的曲率的計算公式根據(jù)曲率的這個計算公式以及上面的弧微分的計算公式，我們可以計算一種特殊的曲線的平均曲率，即圓的平均曲率，可以得到圓的平均曲率實際上是一個常數(shù)，也就是說，圓周函數(shù)的任意點的曲率都是相同的，并且等于圓周的半徑的倒數(shù)，這就啟發(fā)我們對于一般的曲線，都可以定義它的任意一點的曲率的倒數(shù)稱為曲線在這點的曲率半徑。顯然，這個定義是具有非常直觀的意義的，因為根據(jù)上面的曲率的一般計算公式，可以看到一般曲線在某點的曲率完全由曲線在該點的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)決定，因此如果過曲線上任意一點作一個圓與曲線相切，它的半徑就是該點的曲率半徑，那么曲線在該點的只與該點處的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的性質(zhì)

9、，就完全可以通過研究通過該點的這個圓而得到，因為它們具有同樣的凸性和曲率，以及共同的切線。我們稱這個圓為曲線在該點的曲率圓，而這個圓的圓心則稱為曲線在該點的曲率中心。求方程近似解的二分法和切線法計算方程的近似根的所謂二分法直接來源于連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的一個性質(zhì)，即零值定理。因為我們知道零值定理實際上就是一個方程的根的存在性定理。只要通過零值定理判斷這個方程在給定的閉區(qū)間存在至少一個根，就可以通過不斷地把這個閉區(qū)間分成兩半，每次都可以判斷方程的根是存在于哪個閉區(qū)間，從而逐漸地逼近方程的根的位置。當(dāng)然二分法的效率是很低的，下面我們討論另一個效率更高的方程根的近似計算法，即切線法，或者稱為牛頓法。這種方法從幾何直觀的角度來看，是非常容易理解的，不過我們希望同學(xué)們能夠基于幾何意義，自己能夠推導(dǎo)出具體的解析計算公式，這也是